1、第四章 函数的插值与拟合法,4.1 引言 4.2 插值多项式的构造 4.3 分段低次插值 4.4 最小二乘法,一、插值问题的提出：在许多实际问题中，f(x)往往有两种情况，一是f(x)是 表格函数；二是f(x)是解析函数，但表达式复杂，不易计算，而我们往往要研究函数的性质。为此，我们想构造一个新的函数来逼近原来的函数。插值就是求函数的近似表达式的一种方法。,4.1 引言,具体地说，给出f(x)在n+1个点上的函数值。,问题是根据该表格构造一个新的函数,一、插值多项式：所谓插值多项式就是构造一个代数多项式来近似f(x)。 即已知f(x)在n+1个点上的函数值，求一个n次多项式 , 使,该处：,插
2、值条件：,插值区间：,几何意义：,所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 存在且惟一，证毕。,证,问题：由 确定一个次数不超过n次的代数插值多项式 满足 存在且惟一。,二、插值多项式的唯一性,注： 唯一，但表达形式可以不唯一。,4.2 插值多项式的构造,一、基本插值多项式,适合下列表函数,1.定义,的插值多项式 叫做以 为节点的基本插值多项式。,因为我们想一下子构造一个插值多项式比较困难，所以先构造最简单的。,由定义可知,2. 构造,由上， 有n个互不相同的零点，,Lagrange基本插值多项式,注：1.n+1个节点n+1个基本插值多项式。2. 仅与节点有关，与f(x)无关。,二
3、、Lagrange插值多项式,抛物插值 (n=2),线性插值 (n=1),注：1. 是 的线性组合。2. 与节点的排列顺序无关。3. 与节点及其值有关，而与f(x)无关。,解：,若是线性插值，取,若是线性插值，取,三、Lagrange插值多项式的余项,证:(作辅助函数）,注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式,（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。,推论,例 4.1 给定函数表试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。,作线性插值 得,作抛物插值 得,解,4.2.2 牛顿均差插值多项式,一、均差，均差表,节点 函数值
4、一阶均差 二阶均差 三阶均差,四阶均差 五阶均差,一、均差，均差表,其中：,注：,推论 ：若f(x)是一个次数不超过n次多项式，则它的插 值多项式就是它自己。,例1：已知,(2)与0.596最接近的三个,0 0.40 0.41075 1 0.55 0.57815 1.1160 2 0.65 0.69615 1.1860 0.2800 3 0.80 0.88811 1.2757 0.3583 0.197 4 0.90 1.02652 1.3848 0.4336 0.214 0.034 5 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.034 0,i 一阶 二阶 三阶 四阶
5、 五阶,解: (1),例 2 给定表格函数试求均差,首先由定义得,解,均差的性质：,这性质又称为均差关于自变量对称,例 4.3 试用列表法对例4.2的表格函数求 f1, 3, 5, 7,列表计算得,所以 f 1, 3, 5, 7 = 1.125,解,Nn(x)称为牛顿均差插值多项式。,证,此外，我们可利用插值多项式进行“反插”计算。,例 4 给定表格函数,（1）试用二次牛顿均差插值法求 f (2.8) 的近似值；（2）设 f (x)=-1.166 已知，试用（1）中构造的插值多项式求 x 的近似值。,解,4.3 分段低次插值（略）,4.4 最小二乘法,4.4.1 最小二乘法的提出,已知,二、用最小二乘法求数据的曲线拟合,解,它称为法方程组（或正规方程组）。,(2)建立关于 的正规方程组。,解得,例 5 试对以下数据进行多项式拟合,解,例 4.6 用最小二乘法求形如 y = ax + bx2 的多项式，使与下列数据拟合（得数保留三位小数）,解,例 4.7 给定数据试求形如 y = a + bx2 的拟合多项式（得数保留三位小数）。,解,4.4.3 最小二乘法的应用例,4.4.3.1 数据的指数拟合,例 4.8 试对下表数据进行指数拟合,解,4.4.3.2 超定方程组的最小二乘解,例 4.9 试求以下超定方程组的最小二乘解。,解,
