1、函数定义域的类型和求法,1.当函数是整式时例如 那么函数的定义域是实数集R。 2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。 3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x0。 5.对数的真数必须大于零。 6.对数的底数满足大于零且不等于1。,求函数定义域注意以下几点：,一、常规型,即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。,例1求函数,的定义域。,解:要使函数有意义,则必须满足,由解得x-3或x5 ,由解得x5或x-11 ,由和求交集得x-3且x-
2、11或x5,故所求函数的定义域为x| x-3且x-11x|x5。,例2 求函数,的定义域。,解：要使函数有意义，则必须满足,由解得2kx+2k,kZ 由解得-4x4 ,由和求公共部分，得-4x-或0x故函数的定义域为(-4,-(0, 和怎样求公共部分？你会吗？,(-2,-11,2),(2x4且x3,（1/2,1,X1/10,且x1）,二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域。 其解法是:已知f(x)的定义域是a,b求fg(x)的定义域是解ag
3、(x)b,即为所求的定义域。 例1 已知f(x)的定义域为2,2,求f(x2-1)的定义域。 解：令-2x2-12，得-1x23，即0x23，因此,，从而,故函数的定义域是,（2）已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知fg(x)的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为1,2,求f(x)的定义域。 解：因为1x2, 22x4, 32x+15. 即函数f(x)的定义域是x|3x5。,(3)已知f(2x-1)的定义域是0,1,求f(3x)的定义域。 解:因为0x1,02x2,-12x-1
4、1. 所以函数f(3x)的定义域是-13x1即x|-1/3x1/3。,例4 若f(x)的定义域为3，5,求g(x)f(x)f(x2)的定义域 解：由f(x)的定义域为3,5，则g(x)必有,即,解得 - x,所以函数g(x)的定义域为 , ,例5 已知函数,的定义域为R求实数m的取值范围。,分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m0，使一切xR都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m0进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R； 当m0时，mx2-6mx+8+m0是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是,综上可知0m1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解
5、决问题。,例6 已知函数,的定义域是R，求实数k的取值范围。,解:要使函数有意义,则必须kx2+4kx+30恒成立, 因为f(x)的定义域为R,即kx2+4kx+3=0无实数根 当k0时，=16k2-43k0恒成立，解得,当k=0时，方程左边=30恒成立。综上k的取值范围是,四.实际问题型:函数的定义域除满足解析式外, 要注意问题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。 例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。,解:设矩形一边为x,则另一边长为,于是可得矩形面积,由问题的实际意义，知函数的定义域应满足,故所求函数的解析式为,定义域为(
6、0, ),五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对字母分类讨论。 例9已知f(x)的定义域为0,1,求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域。 解：因为f(x)的定义域为0,1，即0x1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集：,，即,即两个区间a,1a与a,1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知,(1)当,时，F(x)的定义域为x|-ax1+a；,(2)当,时，F(x)的定义域为x|ax1-a；,(3)当 或,时,上述两区间的交集为空集,此时F(x)不能构成函数。,在区间(-1,1上是增函数，在区间 1,3)上是减函数。,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间(
7、-,1上是增函数;在区间1,+)上是减函数,而,六、隐含型 有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。 例10 求函数,的单调区间。,解：由-x2+2x+30,即x2-2x-30，解得-1x3。即函数y的定义域为（1，3）。 函数,是由函数,复合而成的。,在其定义域上单调增；,(-1,3)(-,1=(-1,1, (-1,3)1,+)= 1,3),，所以函数,令g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 (1)由题意可知 g(x)=0恒成立 所以判别式0 即g(x)开口向上且与x轴无交点 所以-5/11=0 考虑最大程度 即x=-2或者1时g(x)=0 得a=-5 2 -1/2 经验证-1/2不符合题意 因为g(x)开口向下 (1-a2)0 所以a=-5或2,
