1、要点梳理 1.三种增长型函数模型的图象与性质,2.8 函数模型及其应用,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,函数,性质,基础知识 自主学习,2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a1)与幂函数y=xn (n0)在区间(0,+)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,当xx0时有_.,y轴,x轴,快于,axxn,（2）对数函数y=logax (a1)与幂函数y=xn (n0)对数函数y=logax (a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_y=xn的增长速度,因而在定义域内总
2、存在一个实数x0,使xx0时有_.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（0,+)上，总会存在一个x0，使xx0时有_.,慢于,logaxxn,axxnlogax,3.常用的几类函数模型(1)一次函数模型 f(x)=kx+b (k、b为常数，k0);(2)反比例函数模型 (k、b为常数,k0);(3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数，a0)；(4)指数函数模型 f(x)=abx+c （a、b、c为常数，a0,b0,b1）；(5)对数函数模型 f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m 0, a0,
3、a1）;(6)幂函数模型 f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a0,n1).,4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果 要回到实际问题中写答案.,基础自测 1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为 （ ）A.2 B.6 C.8 D.10解析 依题意解得2x8,则x的最小值为2.,A,2.从1
4、999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于 （ ）A.3万4万元 B.4万5万元C.5万6万元 D.2万3万元解析 设存入的本金为x，则x2%20%=138.64，,A,3.在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800元；购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨,单价应该是 （ ）A.820元 B.840元 C.860元 D.880元解析
5、 依题意，可设y与x的函数关系式为y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000,可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000,将y=400代入得x=860.,C,4.某物体一天中的温度T(单位:)是时间t(单位:h) 的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午1200，其后t 取正值,则下午3时温度为 （ ） A.8 B.78 C.112 D.18解析 由题意，下午3时，t=3，T(3)=78.,B,5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文已知加密为y=ax-2 （x为明文,y为密文）,
6、如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_.解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2，解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由14=2x-2,解得x=4.,加密,发送,解密,4,题型一 一次、二次函数模型 【例1】如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b （ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH,CG,CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的
7、最值问题求出S的最大值.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设四边形EFGH的面积为S， 则SAEH=SCFG= x2, SBEF=SDGH= (a-x)(b-x)，由图形知函数的定义域为x|0xb. 又0ba,0b,若 b,即a3b时， 则当 时，S有最大值 若 即a3b时,S(x)在（0,b上是增函数， 此时当x=b时，S有最大值为综上可知，当a3b时， 时， 四边形面积Smax= 当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.,探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建 立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的 最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取 值范围，根
8、据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解.,知能迁移1 某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为321.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.图1 图2,(1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用 最省？ (1)证明 图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次 逆时针旋转90，180,270后得到， EF=FG=G
9、H=HE， CFE为等腰直角三角形， 四边形EFGH是正方形.,(2)解 设CE=x，则BE=0.4-x， 每块地砖的费用为W， 制成CFE、ABE和四边形AEFD三种材料的每平 方米价格依次为3a、2a、a（元），=a(x2-0.2x+0.24） =a(x-0.1)2+0.23 （00，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省. 答 当CE=CF=0.1米时，总费用最省.,题型二 分段函数模型 【例2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中图（一条折线）、图
10、（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系.,(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关 系； (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若 没有，请说明理由.,思维启迪 第(1)问就是根据图和所给的数据, 运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2）问 先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是 否有解. 解 (1)图是两条线段,由一次函数及待定系数法,图是一个二次函数的部分图象，,(2)每件样品的销售利润h（t
11、）与上市时间t的关系为 故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的 关系为,当0t20时，F（t）在0，20上是增函数， F（t）在此区间上的最大值为 F（20）=6 0006 300. 当20t30时， 由F（t）=6 300，得3t2-160t+2 100=0, 解得t= (舍去)或t=30.,当30t40时， 由F（t）在（30，40上是减函数， 得F(t)F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300 万元，为上市后的第30天.(1)分段函数主要是每一段自变量变化 所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各 段的变化规律分别找出来，再将其合到一
12、起，要注意 各段自变量的范围，特别是端点值. (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段 合理不重不漏.,探究提高,知能迁移2 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数： 其中x是仪器的月产量. （1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）,解 （1）设月产量为x台， 则总成本为（20 000+100x）元，从而（2）当0x400时， 当x=300时，有最大值25 000； 当x400时，f(x)=60 000-100x是减函数，f(x)60 000-1
13、0040025 000. 所以，当x=300时，有最大值25 000. 所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最 大利润是25 000元.,题型三 指数函数模型与幂函数模型 【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）.(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？,（参考数据:1.01291.113，1.012101.127， lg
14、 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005,lg 1.0090.003 9）增长率问题是指数函数问题，利用指数函数模型，构造函数.,思维启迪,解 （1）1年后该城市人口总数为 y=100+1001.2%=100(1+1.2%) 2年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2% =100(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2% =100(1+1.2%)3. x年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)x.,(2)10年后，人口总数为 100(1+1.2%)101
15、12.7（万人). (3)设x年后该城市人口将达到120万人， 即100(1+1.2%)x=120,(4)由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2, 两边取对数得20lg(1+x%)lg 1.2=0.079, 所以 所以1+x%1.009,得x0.9, 即年自然增长率应该控制在0.9%.,探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以 用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长 率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础 数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到 对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.,知能迁移3 1999年10月
16、12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. （1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？ （2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？,以下数据供计算时使用：,解 （1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口 数为y， 则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30， 即30(1+x)40=60，(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg（1+x）=lg 2， 则lg（1+x）= =0.007 525， 1+x1.017，
17、得x=1.7%. （2）依题意，y12.48(1+1%)10， 得lg ylg 12.48+10lg 1.01=1.139 2, y13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有 13.78亿.,题型四 函数的综合应用 【例4】(12分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好的混合.用g（t）表示任一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足
18、关系式 (p0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数.,（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的 初始质量分数； （2）求证：当g(0) 时,湖泊的污染程度将越来越严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的5%？,（1）水污染质量分数为常数，即g(t) 为常数函数； (2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数； (3)转化为方程即可解决. (1)解 设0t1t2 , g(t)为常数，g（t1）=g(t2), 2分4分,思维启迪,(2)证明 设0t1t2, g(0)- 0,t1t2, g
19、(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2). 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来 越严重. 8分,(3)解 污染源停止，即p=0，此时 设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染 水平的5%. 即g(t)=5%g(0)，即有5%g（0）= 10分 由实际意义知g(0)0，即需要 天时间. 12分,探究提高 (1)对此类问题的解决关键是认真审题， 理顺数量关系. (2)应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析 式. (3)用函数、方程、不等式解答.,知能迁移4 经市场调查，某城市的一种小商品在过 去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足
20、g(t)=80-2t(件),价格近似满足(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.,解 （1）y=g（t） f（t）=（40-t）（40-|t-10|） = （2）当0t10时,y的取值范围是1 200,1 225, 在t=5时，y取得最大值为1 225； 当10t20时，y的取值范围是600，1 200， 在t=20时，y取得最小值为600. 答 第5天，日销售额y取得最大值为1 225元； 第20天，日销售额y取得最小值为600元 .,1.求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般程
21、序是：(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模:求解数学模型,得到数学结论；(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.几种重要的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k,b为常数,k0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0)；(3)反比例型函数模型: (k,b为常数,k0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1)；(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m
22、,n,a为常数，m0,a0,a1);(6)分段函数模型.,1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正确理解题意，选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.,失误与防范,一、选择题 1.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差 （ ） A.10元 B.20元 C.30元 D. 元,定时检测,解析 设A种方式对应的函数解析式
23、为S=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为S=k2t,当t=100时，100k1+20=100k2,当t=150时，150k2-150k1-20=故选A.答案 A,2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-,+) 上是 （ ） A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.先减后增解析 当x0且y0时，x2+y2=1,当x0且y0时，y2-x2=1,当x0且y0时，无意义.由以上讨论作图如右，易知是减函数.,B,3.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不 纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.
24、已知某人出版一本书,共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为 （ ） A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元,解析 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段 函数，由题意，得如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税 420元,所以稿费应在8004 000元之间, (x-800)14%=420,x=3 800. 答案 C,4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶 之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 （ ） 解析 根据汽车加速行驶 （a0），匀速行驶s=vt,减速行驶 (a0)结合函数图象可知选A.,A,
25、5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数 关系是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本）的最低产量是 （ ） A.100台 B.120台 C.150台 D.180台解析 设利润为f（x）(万元)，则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 0000,x 150.,C,6.已知a0且a1，f(x)=x2-ax,当x(-1,1)时均有f(x) 则实数a的取值范围是 （ ） A. B. C. D.,解析 由题意可知 在（-1，1）上恒成立， 令y1=ax, 由图象知：答
26、案 C,二、填空题 7.计算机的价格大约每3年下降 ,那么今年花8 100 元买的一台计算机,9年后的价格大约是_元.解析 设计算机价格平均每年下降p%， 由题意可得 9年后的价格,300,8.设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列命题：b=0,c0时，方程f(x)=0只有一个实数根；c=0时，y=f(x)是奇函数；方程f(x)=0至多有两个实根.上述三个命题中所有正确命题的序号为_.解析f(x)=x|x|+c=,如图，曲线与x轴只有一个交点， 所以方程f(x)=0只有一个实数根，正确. c=0时，f(x)=x|x|+bx，显然是奇函数. 当c=0,b0时， f(x)=x|x|+bx=
27、如图，方程f(x)=0可以有三个实数根. 综上所述，正确命题的序号为. 答案 ,9.已知f(x)= (x2-ax +3a)( 为锐角),在区间 2,+)上为增函数,则实数a的取值范围是_.解析 令u=x2-ax+3a, 在定义域内为减函数，f(x)= (x2-ax+3a)在2,+)上为增函数,则u=x2-ax+3a0在2,+)上恒成立,且为增函数,-4a4,三、解答题 10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这 些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租
28、金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y（元）表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）.,(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使 一日的净收入最多？ 解 （1）当x6时，y=50x-115, 令50x-1150，解得x2.3. xN*，x3，3x6，xN*， 当x6时，y=50-3（x-6）x-115. 令50-3（x-6）x-1150,有3x2-68x+1150, 上述不等式的整数解为2x20 (xN*）, 6x20 (xN*).,故 定义域为x|3x20,xN*
29、. (2)对于y=50x-115 (3x6,xN*). 显然当x=6时，ymax=185(元)， 对于y=-3x2+68x-115当x=11时，ymax=270（元）. 270185， 当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的 净收入最多.,11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注 意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t) 表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律(f(t) 越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：,(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能 持续多
30、少分钟？ (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时 学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生 的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能 否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？,解 （1）当0t10时，f(t)=-t2+24t+100 =-(t-12)2+244是增函数，且f(10)=240； 当20t40时，f(t)=-7t+380是减函数， 且f(20)=240. 所以,讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持 续10分钟. （2）f（5）=195，f（25）=205， 故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5 分钟更集中.,（
31、3）当024, 所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的 状态下讲授完这道题.,12.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？解 (1)每吨平均成本为 (万元).,当且仅当 即x=200时取等号. 年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元. (2)设年获得总利润为R(x)万元, 则R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000 =- +88x-8 000 =- (x-220)2+1 680(0x210). R(x)在0,210上是增函数, x=210时,R(x)有最大值为 - (210-220)2+1 680=1 660. 年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元.,返回,
