1、第三讲 柯西不等式与排序不等式第一节 二维形式的柯西不等式 一、选择题1若 a，bR，且 a2b 210，则 ab 的取值范围是 ( )A 2 ，2 B2 ，2 5 5 10 10C ， D ， 10 10 5 5解析 (a 2b 2)12( 1)2(ab) 2，|ab| 2 ，ab2 ，2 20 5 5 5答案 A2已知 4x2 5y21，则 2x y 的最大值是 ( )5A. B1 2C3 D9解析 2x y2x 1 y15 5 .2x2 5y2 12 12 1 2 22x y 的最大值为 .5 2答案 A3已知 x，yR ，且 xy1，则 的最小值为 ( )(1 1x)(1 1y)A4
2、B2 C1 D.14解析 24，故选 A.(1 1x)(1 1y) (1 1xy)答案 A4设 a、bR ，且 ab，P ，Qab，则 ( )a2b b2aAPQ BPQCP0， b0， ab0. (ab)(a2b b2a) a b2a b又ab，而等号成立的条件是 ，ab b ba a即 ab， a b.即 PQ.(a2b b2a)答案 A二、填空题5函数 y 2 的最大值是_x 5 6 x解析 根据柯西不等式，知 y1 2 x 5 6 x 12 22 . x 52 6 x2 5答案 56设 a，b，c ，d，m，n 都是正实数，P ，Q ，ab cd ma ncbm dn则 P 与 Q 的
3、大小_解析 由柯西不等式，得P Q.ambm ncdn am2 nc2 ( bm2) ( dn2) am nc bm dn答案 PQ7函数 y2cos x 3 的最大值为_1 cos 2x解析 y2cos x3 2cos x3 1 cos 2x 2sin2 x .cos2 x sin2 x22 322 22当且仅当 ，即 tan x 时，函数有最大值 .cos xsin2 x 232 322 22答案 228函数 y2 的最大值为_1 x 2x 1解析 y2 11 x 2x 1 22 2x 2x 1 3. 22 12 2 2x2 2x 12 3 3当且仅当 1 取等号2 2x 2 2x 1即
4、22x4x2，x0 时取等号答案 3三、解答题9若 2x3y1，求 4x29y 2 的最小值，并求出最小值点解 由柯西不等式(4x 29 y2)(121 2)(2x 3y) 21，4x 29y 2 .12当且仅当 2x13y 1，即 2x3y 时取等号由Error! 得 Error!4x 29y 2 的最小值为 ，最小值点为 .12 (14，16)10设 a，bR ，若 ab2，求 的最小值1a 1b解 (ab) (1a 1b)( )2( )2a b (1a)2 (1b)2 2(1 1) 24.(a1a b1b)2 4 ，即 2.(1a 1b) (1a 1b)当且仅当 ，即 ab 时取等号，a1b b1a当 ab1 时， 的最小值为 2.1a 1b11已知 a2b 21，a，bR，求证：| acos bsin |1.证明 (acos bsin )2(a 2b 2)(cos2sin 2)11 1，|acos bsin |1.
