1、1.3.2函数的奇偶性(1),考察下列两个函数： (1) ; (2) .,思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,观察下图，思考并讨论以下问题：,思考2： 相应的两个函数值对应表是如何体现函数图象关于y轴对称的？,f(-3)=-9=f(3) f(-2)=-4=f(2) f(-1)=-1=f(1),f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1),f(x)=-x2,f(x)=|x|,思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，函数值有何特征，如何用文字语言表达？如何用数学符号表达？反之成立吗？,思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么
2、怎样定义偶函数？,f(x)=f(-x),自变量互为相反数时函数值相等。,1偶函数,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数,例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.,思考5:函数 是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？,偶函数的定义域关于原点对称,考察下列两个函数： (1) ; (2) .,思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-
3、1=-f(1),观察两个图象，完成两个函数值对应表。,思考2:这两个函数的函数值对应表是如何体现图象关于原点对称的？,思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称，用文字语言与数学符号语言各是怎么描述其函数值特征的？反之成立吗？,思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？,f(x)=-f(-x),自变量互为相反数时函数值也互为相反数。,2奇函数,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,3、奇、偶函数定义反过来也成立，即 若f(x
4、)为奇函数，则有f(-x)=-f(x) 成立. 其图象关于y轴对称。 若f(x)为偶函数，则有f(-x)=f(x) 成立. 其图象关于原点对称。,2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个条件是：对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,注意：,1、函数的奇偶性是函数的整体性质，不能说一个函数在某个区间上具有奇偶性。,例1判断下列函数的奇偶性：,解：,(1)对于函数 ，其定义域为( -,+ )., 对定义域内的每一个x，都有, 函数 为偶函数。,例1判断下列函数的奇偶性：,求函数定义域，判断是否关于原点对称,计算f(-x),判断f(-x)=-f(
5、x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,下结论,关于原点对称,解：,(2)对于函数 ，其定义域为( -,+ )., 对定义域内的每一个x，都有, 函数 为奇函数。,例1判断下列函数的奇偶性：,关于原点对称,解：, 对定义域内的每一个x，都有,(3)对于函数 ，其定义域为 x|x0 ., 函数 为奇函数。,例1判断下列函数的奇偶性：,关于原点对称,解：, 对定义域内的每一个x，都有,例1判断下列函数的奇偶性：,(4)对于函数 ,其定义域为R., 函数 既不是奇函数也不是偶函数。,关于原点对称,总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 关于原点对称；若不关于
6、原点对称，则f(x)既不是 奇函数也不是偶函数。确定f(-x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0， 则f(x)是偶函数；若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0， 则f(x)是奇函数,课堂练习,判断下列函数的奇偶性：,利用函数的奇偶性补全函数的图象,例2如图是函数 图像的一部分，你 能根据 的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？,解：, 对定义域内的每一个x，都有,对于函数 ，其定义域为(-,+)., 函数 为奇函数。,奇函数的图象关于原点 对称，因此可以画出函数的图象：,练习P36第2题： 已知函数y=f(x)是偶函数
7、，它在y轴右边的图象如 下图，画出在y轴左边的图象.,解：画法略,练习P36第2题： 已知函数y=g(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如 下图，画出在y轴左边的图象.,本课小结,1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数,2.用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；,(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,(3)、得出结论。,3.奇偶函数图象的性质,1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.,2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.,说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性,
