1、第三章 3.2 3.2.2 一、选择题1点 A(a,0,0)， B(0，b,0)，C(0,0，c) ，则平面 ABC 的一个法向量为 ( )A(bc， ac，ab) B(ac，ab，bc)C(bc，ab，ac) D( ab，ac，bc)答案 A解析 设法向量为 n(x，y，z)，则 n0， n0，则AB AC Error!n(bc，ac，ab)故选 A.2在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于( )AAC BBD CA 1D DA 1A答案 B解析 直线 CE 在平面 AC 内的射影为 AC，又 ACBD，BDCE，故选 B.3若平面 、 的法
2、向量分别为 u(2,3，5) ，v(3，1,4) ，则( )A BC、 相交但不垂直 D以上均不正确答案 C解析 u(2,3，5)，v(3，1,4) ，u 与 v 不平行且 u 与 v 不垂直，故选 C.4设平面 的法向量为(1,2，2) ，平面 的法向量( 2 ，4，k)，若 ，则 k( )A2 B4 C4 D2答案 C解析 ， ，1 2 2 4 2kk4，故选 C.5已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若cos ，则 l 与 所成的角为( )12A30 B60C120 D150答案 A解析 设 l 与 所成角为 ，cos ，又直线与平面所成角 满足 090.sin
3、| |， 30.12 126若直线 l 的方向向量为 a (1,0，2)，平面 的法向量为 u(4,0,8)，则( )Al Bl Cl Dl 与 斜交答案 B解析 u4a，u a ，a，l.故选 B.二、填空题7已知 l，且 l 的方向向量为(2，m, 1)，平面 的法向量为 ，则(1，12，2)m_.答案 8解析 设 a(2 ，m,1)，b(1，2) 12l，a b，2 m20，m8.128已知平面 ABC，且 A(1,2，1)，B(2,0，1) ，C (3，2,1)，则平面 ABC 的一个法向量为_答案 (2,1,0)(答案不唯一)解析 (1，2,0)， (2，4,2) ，设平面 ABC
4、的法向量为 n( x，y，z)，则AB AC Error!即Error!解得Error!令 x2，则一个法向量为(2,1,0)三、解答题9如图所示，M、N、P 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1中的棱 CC1、BC、CD 的中点求证：A 1P平面 DMN.证明 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则 D(0,0,0)，A 1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)向量 (0,1,0)(2,0,2) ( 2,1，2)，A1P (0,2,1)(0,0,0)(0,2,1)， (1,2,0)DM DN (2,1，2)(0,2,1)A1P DM (2)012
5、( 2)10. (2,1 ，2)(1,2,0)A1P DN (2)112( 2)00. ， ，A1P DM A1P DN 即 A1PDM ，A 1PDN，又 DMDND，A 1P平面 DMN.一、选择题1已知平面 ， 的法向量分别为 a(1，y,4)，b( x，1，2)且 ，则 xy的值为( )A4 B4C8 D8答案 D解析 由已知得 ab0，即xy80，则 xy 8.2若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，能使 l平面 的是( )Aa(1,0,0)， n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0， 1)Da(1，1,3)，n (0,3,1
6、)答案 D解析 若 l ，则 an0.而 A 中 an2；B 中 an 156；C 中 an1；只有 D 选项中 an330.3已知平面 的一个法向量是 a(cos，sin ， )，平面 的一个法向量2b(cos，sin， )，若 ，则 ( )22A. B. k( kZ)2 2C. 2k(kZ) D. 2 32答案 B解析 由已知得 ab0，即 cos2sin 210，则 cos21，22k(k Z)，则 k (k Z)24已知 (1,5，2)， (3,1，z )，若 ， (x1，y，3) ，且 BP平AB BC AB BC BP 面 ABC，则实数 x，y，z 分别为( )A. ， ，4 B
7、. ， ，4337 157 407 157C. ，2,4 D4， ，15407 407答案 B解析 ， 0，AB BC AB BC 即 352z0，得 z4.又 BP平面 ABC，BPAB，BPBC.(3,1,4)，则BC Error!解Error!.二、填空题5若直线 l 的方向向量与 的法向量分别是 a(1,0 ，2)，b( 1，0,2)，则直线 l与 的位置关系是 _答案 l解析 ab，l.6已知正四棱锥(如图所示)，在向量 ， ， ， PA PB PC PD PA PC PB PD PA 中，不能作为底面 ABCD 的法向量的向量是_PB PC PD 答案 PA PB PC PD 解析
8、 0，不能作为这个平面的法向量，对其它三PA PB PC PD BA DC 个化简后可知均与 共线而 PO平面 ABCD，它们可作为这个平面的法向量PO 7如图所示，已知矩形 ABCD，AB1，BCa，PA平面 ABCD，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于_答案 2解析 以 A 为原点，建立如图所示坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,0) ，D(0，a,0)，C(1，a,0) ，设 Q(1，x,0)，P(0,0，z)， (1，x，z)， ( 1，ax,0)PQ QD 由 0，得1x (ax)0，PQ QD 即 x2ax10.当 a 24 0，即 a2 时，Q
9、只有一个三、解答题8在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E，F，G ，H ，M，N 分别是正方体六个表面的中心，求证：平面 EFG平面 HMN.解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 2，易得 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2) ， M(1,2,1)，N(0,1,1) (0 ，1,1)， (1,0,1)，EF EG (0,1， 1)， (1,0，1)HM HN 设 m(x 1，y 1，z 1)，n(x 2，y 2，z 2)分别是平面 EFG、平面 HMN 的法向量，由Error!得Error!，令 x11，得 m(1 ，1，1)由Er
10、ror!得Error!.令 x21，得 n(1，1， 1)mn，即平面 EFG平面 HMN.9如图所示，ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PA AD，M、N、Q 分别是PC、AB 、CD 的中点(1)求证：MNPAD；(2)求证：平面 QMN平面 PAD；(3)求证：MN平面 PCD.解析 (1)如图以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设 B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d) ，则 C(b，d,0)M，N，Q 分别是 PC，AB，CD 的中点，M ， N ，Q ，(b2，d2，d2) (b2，0，0) (b2，d，0) ，MN (0， d2， d2)平面 PAD 的一个法向量为 m(1,0,0) m0，即 m，MN 不在平面 PAD 内，MN MN MN平面 PAD，(2) (0， d,0)， m，QN QN 又 QN 不在平面 PAD 内，又 QN平面 PAD.又MNQNN，平面 MNQ平面 PAD.(3) (0，d，d)， (b,0,0)，PD DC d (d)0， 0，MN PD ( d2) ( d2) MN DC ， ，又 PDDCD， 平面 PCD.MN PD MN DC MN
