1、本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数 的最值时，可利用条件式消去一个参量，(,)fxy从而将二元函数 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。(,)fxy例 1、已知 、 且 ，求 的值域。R2360yx2y解：由 得 ，即 。2360xy2x239()xx当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值 0。即 的xy20x2y2xy值域为 90,2二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数 出现在一个有()fx实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次
2、方程有实根的充要条件 来求出 的最值。0例 2、求函数 的最值。2()1xf解：由 得x，2()()()0fffx因为 ，所以 ，即 ，解得 。xR24()0fx2()3fx因此 的最大值是 ，最小值是2。()f3三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。例 3、求 在区间 内的最值。2()4xxfA1,0解：配方得 243()3x，所以 ，从而当 即 时， 取得最大值 ；当1,0x2x2log3()fx43即 时 取得最小值 1。21x0()fx四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为、 均为常数） ，则可用辅助角公式()sincosfab(a来求函数 的最值。2inrcta
3、)bxx()fx例 4、求函数 的值域。1s()of解：由 化为i2cxx，即sin()s1()0ff，从而21iartn2()1xfx。2()()ff 43()40()3f fx因此 的值域为 。fx0,五、三角代换法：例 5、求函数 的值域。2()43fxx解：由 ，令 ，其中 ，则2()1f sinx,2，()2sinco2sin4fx 因为 ，所以 ，从而 ，因此,3,2sin(),14。()1,2fx六、基本不等式法：运用基本不等式求函数的最值时要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。例 6、求函数 的值域。25()4xf解：22223() 4fxx。当且仅当 ，即 时，等号成立，所
4、以234x5420x5(),f七、求导法：例 7、用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为 x m 容器容积为 y m3，则另一边为 (x+0.5)m,高为14.8(0.5)32xh 0x1.602.3xy=x(x+0.5)(3.2-2x) (0x1.6)，即 y=-2x3+2.2x2+1.6x令 y=-6x2+4.4x+1.6=0 ,即 15x2-11x-4=0，解得x1=1，x 2=- (舍)54在(0,16)内只有在 x=1 处使 y=0,若 x 接近 0
5、或接近 1.6 m 时，y 接近 0.故当 x=1，y 最大 =1.8 当高为3.2-21=1.2 m 时容器最大为 1.8 m3。八、函数的单调性法：在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。例 8、设函数 是奇函数，对任意 、 均有关系 ，若 时，()fxxyR()()fxyfyx0且 。求 在 上的最大值和最小值。()0fx12()f3,解：先确定 在 上的单调性，设任意 、 且 ，则 。()fx, 1x23,12x1x2121()()0fxff即 。21()fxf在 上是减函数。3,因此 的最大值是()fx3(21)f()1()6ff的最小值是()fx36九
6、、利用函数 在区间 、 上递增，在区间 、 上递()(0)kfx(,k,),0)k(,减来解例 9、求函数 的值域。2()sinfx解：因为 ，易证 在 或 上都是减函数，所以当 时，si1,0,x()f1,0, sin1x取得最大值3；所以当 时， 取得最小值 3。()fxsin1x()fx。,3,十、数形结合法：数形结合法是解决最值和值域问题的重要方法，在运用中要实现问题的转化，充分利用图形的直观性。1、利用两点的距离公式及点到直线的距离公式是解决某些最值问题的一种重要方法。例 10、求函数 的最小值。261086)(22 xxxf分析： 1= 2222 )()5()30()(xx表示动点
7、 到定点 ， 的距离之和，而 A、B 两点分别位于 X 轴的上下两侧，由此)0,(P,A,B连接 交 X 轴于一点，易证该点即是所求的 P 点。AB解：由题意及分析易得直线 AB 的方程为 ，令 得 即所求的 P 点为231xy0y3x（3，0） 。此时 的最小值是()fx。()45f2、利用直线的斜率求最值。例 11、求函数 的值域。1sin()2coxf解：令 ，则 可以看成坐标平面内过点 、 的直线的斜kxk(cos,in)Ax(2,1)B率。因为 点在圆 上运动，因此，当直线 是此圆的切线时，斜率 取得最(cos,in)A21XY k值。设过 点的切线方程为 ，则有 ，解得 ， 。B(
8、)k21k10k243因此 的值域为 。()fx40,33、线性规划法：对于一个线性最值问题，首先应作出约束条件所确定的可行域，则其最值一定在可行域的边界上取到。例 12、设 x，y 满足约束条件： ，求 z3x2y 的最大值。1yx20解：画出可行域（见兰色区域） ，并画出经过可行域的一组平行线 （见红线） ，23zxy如下图所示：由图可知，当直线 过点 A(1,1)时，截距 最大，即 z 最大，23zxy2zz max=31+21=5十一、待定系数法：例 13、若实数 x、y 满足 的最大值。2839,20xyzxy求解：因为实数 x y 满足 , 230y 8 9所以设 z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y), ,12533n z= (2x+y)+ (x+3y) 8+ 9=7.5151即 的最大值为 7。z十二、万能公式法：对于由同角的正弦和余弦组成的一次分式函数的最值问题，可以通过万能公式把含正弦和余弦的函数化为只含正切的函数来求出。例 14、求函数 的值域。1sin()2coxf解：令 （ ） ，则tanxtR221sin()2co3ttxyf t由于 ，所以用判别式法可解。即由 得tR21ty，从而2(1)310yty当 时， ；t当 时，由 得 ，解得 。所以函数 的值域yA4(1)30y43y1sin()2coxf为 。40,3
