1、指对数运算及幂指对函数专题本专题重点：指数幂的运算性质、对数的运算性质；指数函数、对数函数的概念、图象和性质。指数函数和对数函数的性质与底数 的取值有关，在求解含有参数的指数函数、对数函数、a幂函数问题时，常运用划归思想，将复杂的问题化为较简单的问题，应注意分类讨论、数形结合、类比、换元等数学思想和方法的灵活应用。1 （1）计算： 25.02121325.032 6)3.0().()8()94(8 ；（2）化简： 5323233214 )(aabab。解：（1）原式= 41322132 )065(140)8()9478( 9)7(105394 ；（2）原式= 51323123131231 )(
2、)()( ababa 2331653131312aba 。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。2 （1）已知123x，求23x的值解：12， ()9x， 1， 7x， 12()49， 247x，又31122()()3(7)18xx， 3238x。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。对数运算 1计算（1） 2(lg)l50lg2；（2） 3948(log2l)(log3
3、l)；（3） 1.l236.l16l )(8解：（1）原式 22(lg)l5)gl(lg51)l2g51)；（2）原式 l2l3l2l3l()()g94g83lg2g 3l56；（3）分子= 3)2lg5(l3g)2(llg(l ；分母= 4106ll103l)26(lg；原式= 43。2设 a、 b、 c为正数，且满足 22abc 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （1）求证： 22log(1)lo()；（2）若 4a， 83c，求 a、 b、 c的值。证明：（1）左边 222llglog()bb2222()loglogll1abcccaa；解：（2）由 4log(1)bca
4、得 14bca， 30abc由 82log()3得238c 由 得 由得 cab，代入 22得 (4)0ab， 0， 430由、解得 6， 8，从而 10c。指数、对数方程1(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中)已知定义域为 R 的函数 abxfx12(是奇函数.（1）求 a,b 的值；（2）若对任意的 t，不等式 0)2()ktftf 恒成立，求 k 的取值范围.解 （1） 因为 )(xf是 R 上的奇函数，所以 1,1, ba解 得即从而有 .21)(afx 又由 ff 24)1()知 ，解得 2（2）解法一：由（1）知 ,2(1xx由上式易知 )(f在 R 上为减函数，又因 )
5、(f是奇函数，从而不等式02(kttf等价于 ).2()(2ktfktft 因 x是 R 上的减函数，由上式推得 .2即对一切 ,3tt有 从而 31,014解 得解法二：由（1）知 ,2)(1xf又由题设条件得 02122 ktt即 0)1)()( 22 11 ktkt 整理得 3t，因底数 21，故 32t 上式对一切 R均成立，从而判别式 .3,4解 得2、设 a，若函数 axye， R有大于零的极值点，则（ B ）A 3B 3C 13aD 1a【解析】 ()axf，若函数在 上有大于零的极值点，即 0xe有正根。当有 ()0axfe成立时,显然有 0,此时13ln()xa，由 0x我们
6、马上就能得到参数 a的范围为 3.第三节 幂函数、指数函数及对数函数2013.3 中学数学若函数 是指数函数，则 。2()3)xfxaa已知 当 时，有 ，则 的1,(1),gb12()fxg12xab、大小关系是 。已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关52a()xfamn、 ()ffnm、系是 。若关于 的方程 有正根，求 的取值范围.x1430xxm若函数 有两个零点，求 的取值范围.()(,1)faaa若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3 倍，则 .0,x,2a典例 1 已知 ，求实数 取值范围。11332aa分析：左右两边幂的形式中，底数不同，幂指数相等。可利用幂函数 是
7、上的单调增函数的性质得到实数 的取值范围。13yxRa12aa练习1、 已知 ，求实数 取值范围。1122a答案：注意取值范围。答案： 2、 已知 ，求实数 取值范围。33a分析：幂函数 在 上单减，在 上单减。yx0,+,0或 或10,2a12,a12,-a122aa或故实数 取值范围 。1或3、 已知 ，求实数 的取值范围。132xx分析：考察幂函数 和 的图像，得到实数 的取值范围是12yx13x1,4、 （05 江西理 10）已知实数 a, b 满足等式 下列五个关系式,)31(2ba00,a1) 的图象过点(2,1), 其反函数的图像过点(2,8),则 a+b 等于( C )A.6
8、B.5 C.4 D.3解：反函数的图像过点(2,8)，则原函数的图像过点(8,2),故:故选 Clog(2)134.8abab另解：函数 f(x)=loga(x+b)(a0，a1)的图象过点(2，1) ，其反函数的图象过点(2，8) ，则 ， ， 或 (舍 )，b=1，a+b=4，选 Cl)og2a232a3、方程 的解为 ，方程 的解为 ，求 的解。x1x2logx2x12答案： 1234、 （09 辽宁理 12）若 满足 ， 满足 ，则 + =（ 1x25x22log(1)5x1x2C ）5()2A()3B7()C()4DO xy【解析】： ， ，25x2log(1)5xx即 ， ，1x2
9、l()作出 ， 的图像（如图） ，,yx2l()yx与 的图像关于 对称，12x2log(1)1它们与 的交点 A、 B 的中点为 与5y52yx的交点 C， ， + = 。1x1274x175、 （09 湖南理 8）设函数 ()yf在 ,)内有定义.对于给定的正数 K，定义函数 (),.KfxKf取函数 fx2xe。若对任意的 (,)x，恒有()ff，则【 D 】AK 的最大值为 2 BK 的最小值为 2CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 1 解: 由 ()fx恒成立知 ,故 K 有最小值，可排除 A,C,因此只需求 f(x)的最max)(f大值。由直觉知 所以 0时 f(x)的最大值，
10、代入原函数得知 ；或推理计算，又)(xf由 得 x时，并且由 知函数 f(x)1)(xef 0,;0)(, ffx在 0x处取得唯一的极大值， ， ，排除 B,因此选 D.12)(maf6、 （07 山东理 6）给出下列三个等式： ， ， ()xyfy()()fxfy，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ B ）()(1fxyfyfA B C D)3xf()sinx2()logfx(tan7、 （06 天津理 10）已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于)(xfyxay01a直线 对称，记 若 在区间 上是增函数，xy()21gxf)(g2,2xOy1352y12x21x2log(1)
11、yA3CB则实数 的取值范围是（ D ）aA B C D ),2)2,1(0)1,221,0(解：已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线(xfyxay0a对称,则 ，记 =x)loga()()ff当 a1 时，若 在区间 上是2(log)(l1aaxg2,1增函数， 为增函数，令 ， t , ，layxloatloala要求对称轴 ，矛盾；当 0a1 时，若 在og21la )(xgy区间 上是增函数， 为减函数，令 ，,1logayxloatt , ，要求对称轴 ，log2a 21lga解得 ,所以实数 的取值范围是 ,选 D.1 a0(2012.1、2 上半月设 是实数, .a2()()1xfR(1)试证明：对于任意 ， 在 上为增函数；af(2)试确定 的值，使 为奇函数.()x已知 且 ， .0a121log()afx(1)求函数 的解析式;()fx(2)判断函数 的单调性;(3)对于函数 ，当 时，有 ，求实数 的取值范围.()fx(1,)2()(1)0fmfm已知过原点 的一条直线与函数 的图象交于 两点，分别过点 作O8logyxAB、 AB、轴的平行线与函数 的图象交于 两点.y2lCD、(1)证明：点 和原点 在同一直线上;CD、(2)当 平行于 轴时，求点 的坐标.BxA
