1、圆的解析式 圆函数 在平面直角坐标系里画圆表述方式一：平面直角坐标系中，以点 (a,b) 为圆心且半径为 r 的圆，其解析式为 。表述方式二：平面直角坐标系中，关于 x 的两个函数 的图象组成以点 (a,b) 为圆心且半径为 r 的圆。表述方式三：平面直角坐标系中有一以点 (a,b) 为圆心且半径为 r的圆，则此圆上任一点都满足关系式。表述方式四：平面直角坐标系中以点 (a,b) 为圆心且半径为 r 的圆，是满足 的所有点的集合。推导简要过程 已知：平面直角坐标系 xOy，定点 M(a,b) 。以点 M 为圆心、 r 为半径作圆，此圆上有一点 P(x,y)。过点 M和点 P分别作 x 轴和 y
2、 轴的平行线各种证矩形，线段长都可以用字母表示出来。更严谨的话，应该加绝对值，不过后面用的是勾股定理，都平方了，就无所谓了。由勾股定理，整理可得 将其视为关于 y 的一元二次方程，由一元二次方程求根公式可得 。则满足 的点，一定满足 ，即线段 PM的长一定等于 r，点一定在圆 M上。若将 视为 y 是 x 的两个函数，则自变量 x 的取值范围为 。 进一步讨论 对于上面的函数，不难发现，被开方数可以利用完全平方公式因式分解，即可化为： 。看到这个玩意儿我觉得有点眼熟跟二次函数的顶点式有点儿像啊！先请看这个函数： 。特征为：根号下 x二次项系数为-1，后面加一个非负的常数。两边分别平方之后就可以
3、得到 ，这个很好理解，勾股定理嘛，图像画出来是一个以原点为圆心的圆。那么，我们把这个函数 平移，向上平移 b 个单位，再向右平移 a 个单位，按照传说中的杨凡艺大法之二，平移之后的解析式就是：。嗯，实际上就是平移圆心嘛，跟平移抛物线的时候平移顶点类似。然后把被开方数展开，哇哈，这不就是任意圆的解析式了嘛！观察一下这个函数，被开方数实际上是个二次三项式，看来这玩意儿和二次函数还真有不少联系。我给它起了个名字：圆函数。圆函数的特征就是被开方数是二次三项式，即形如 的函数。仿照二次函数的说法，这个 便是圆函数的一般式。二次函数还有顶点式，那么这个 就是圆函数的圆心式 啦；由于 与 这两个式子实际上是等价的，可以推知：如果把 的图像画在坐标系中，肯定是一个圆，就可知这个圆的圆心为 ，半径为。至于圆和坐标轴的交点个数情况，与二次函数的判别式 一样，
