1、教 师 备 课 纸 1第十节 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值 对于在区间 I 上有定义的函数 f(x) 如果有 x0I 使得对于任一 xI 都有f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ) 则称 f(x0 )是函数 f(x)在区间 I 上的最大值（最小值） 例如 函数 f(x)1sin x 在区间0 2上有最大值 2 和最小值 0 又如 函数 f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1 和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x 的最大值和最小值都是 1 但函数 f(x)x 在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 定理 1（有界性与最大值最小值定理）在闭
2、区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值 定理 1 说明 如果函数 f(x)在闭区间 a b上连续 那么至少有一点 1a b 使f(1)是 f(x)在 a b上的最大值 又至少有一点 2a b 使 f( 2)是 f(x)在 a b上的最小值 注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例 在开区间(a b) 考察函数 yx 又如 如图所示的函数在闭区间0 2上无最大值和最小值 21 30)(xxfy二、零点定理与介值定理教 师 备 课 纸 2零点 如果 x0 使 f(x0 )0 则 x0 称为函数 f(x)的零点 定理
3、 2（零点定理）设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且 f(a)与 f(b)异号 那么在开区间(a b) 内至少有一点 使 f()0定理 3（介值定理）设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且在这区间的端点取不同的函数值f(a)A 及 f(b)B那么 对于 A 与 B 之间的任意一个数 C 在开区间(a b)内至少有一点 使得f()C 定理 3 的几何意义 连续曲线弧 yf(x)与水平直线 yC 至少交于一点 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值 例 1 证明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根 证 函数 f(x) x 34x 21 在闭区间0 1上连续 又 f(0)10 f(1)20 根据零点定理 在(0 1) 内至少有一点 使得 f()0 即 34 210 (01) 这等式说明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根是 课堂练习P70,1,5课后作业P70,2,3
