1、函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性，图象变换综合知识专题湖南省张家界市武陵源一中 高飞 颜建红 电话 13170446290 邮编：4274001， 奇偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的2， 奇函数 f(-x)=-f(x)或偶函数 f(-x)= f(x)和周期性 f(x+T)= f(x)(T0)是定义域上的恒等式3， f(x)为奇函数 图象关于原点对称，f(x)为偶函数 图象关于 y 轴对称4， T 为 f(x)的一个周期则 f(x+nt)= f(x)(nZ)若 f(x)对定义域中 xD 满足 f(x+a)=-f(x) 或 f(x+a)=- (a0)则 f(x)为周期函数，
2、一个周期为 2a)(1xf5， 若函数 f(x)具有奇偶性， 又有一条平行 y 轴的对称轴则 f(x)为周期函数6， 自对称，函数 f(x) 图象关于直线 x=a 对称则有 f(a-x)=f（a+x）或 f(x)=f(2a-x), 若函数 f(x)满足 f（ a+x）= f(b-x) 则函数 f(x) 图象关于直线 x= 对称2ba7， 互对称，函数 y= f(a-x)与 f（b+x）图象关于直线 x= 对称(令 a-x=b+x)8， 点（x 0,yo）关于（a,b）的对称点为（2a-x 0,2b-y0）, 函数 f(x) 图象 关于点（a,b ）对称则有 f(x)+ f（ 2a-x）=2b
3、f(x)为偶函数则 f(-x)= f(x)=f(|x|)9， 正，余弦函数在对称轴上取最植，其对称点为零点习题 1，f(x)=2sin( x+ ),f( -x)= f( +x)则 f( )=_3332, 函数 f(x)=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=- 对称,求 a 的值83.设函数 f(x)= 的图象关于直线 x=1 对称求 a 的值ax4.已知函数 f(x)=2 sin2（ +x）- cos2x-1 若函数 h(x)=f(x+t) 图象 关于点(- ,0) 对称且43 6t (0, )求 t 的值5，已知函数 f(x)= 是奇函数，则 m=_若函数 f(x)在区间-1，a-0
4、,2xm2上单调递增，求实数 a 的取值范围6, 已知函数 f(x)=ax2+(b-1)x+3a+b 的定义域为a-1 ，2a 且为偶函数则函数 f(x)值域为_7，函数 y=f(x)则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象 关于直线_对称8,函数 y=2x 与 y=21-x 关于_对称9，.函数 y=f(x)满足 x1 则 f(x)=_10， 用 mina,b表示 a,b 俩数中的最小值，若函数 f(x)= min|x|,|x+t|的图象 关于直线x=- 对称,则 t=_ 2111， 变式: 对于定义在 R 上的函数 = 的最大值记为 M(a)，)(xf3,12xa求 M(a)的最
5、小值12， f(x)= 最大值为 M 最小值为 m 求 M+m=_xcosin212，已知函数 y=f(x)是定义在 上的单调函数 都有 则,0x,021xf_。51f13， x ,都有 f(x) ,且 f(x)满足:f(n+1)f(n),f(f(n)=3n,则 f(1)= ,f(10)N=_.14，函数 f(x)的定义域为 D，若对于任意 x1,x2D,当 x10)在区间 上有四个不同的根 ,则8,1234,x1234_.xx23，以 4 为周期的函数 = 若方程 = 恰有 5 个实数)(f)3,1(21x)(xf0k解，求 k 的取值范围24，函数 = 为 R 上的单调函数，那么实数 的取
6、值范围是_)(xf02xea a25.设 是定义在 R 上的偶函数， ，且当)(f xff2,，若关于 x 的方程 在区间1,022xx 10logaa内恰有三个不同实根，求实数 a 的取值范围626，已知函数 f(x)= ，且当 时。f(x)= ，设xf2,xsin试比较 a,b,c 的大小。3,2,1cbfa27，函数 ()x的定义域为 R，若 与 (1)fx都是奇函数，则函数 y=f(x)在区间f上至少有_个零点。0,28.若函数 f(x)=(1 x2)(x2 ax b)的图像关于直线 x=2 对称，则 f(x)的最大值是_.29，已知定义在 R 上的函数 ，满足 f(2-x)= f(2
7、+x),且在区间 上是减函数，)(xf 2,若 ，有 求证， 。12x12xff412x30,已知函数 f(x)与 g(x)图象关于原点对称且 f(x)=x2+2x, h(x)= g(x)- f(x)+1 在 上是增1,函数，求实数 的取值范围。31，函数 f(x) 都有 f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3,并且当 x0 时, f(x)3 () 求证 f(x)是Rx21,R 上的增函数 ()判断 f(x)-3 的奇偶性，并予以证明() f(x) 最大值为 M，f(x) 最小值为 m，求 M+m ()若 f(3)=6,解不等式 f(a2-3a-9)0， () 判断 f(x)在（-1
8、 ，1）上的奇偶)()(xyYffx)0,1(性及 f(x)在（0 ，1）上的单调性并说明理由 （） 满足nxf,(21求证 。)(,221Nnxxn 1321)( xffL38，定义在 R 上的函数 f(x)= 是奇函数， （1）求 的值（2）对abx12 ba.恒成立求实数 的取值范围0)()2(, ktftft k39， 求 ，f(-1) 的值，判断并证明 f(x)的奇偶),()(, abffafRb)1(,f性若 f(2)=1，求 f( )= 并求 f( )=21n240，定义在 R 上的函数 f(x) 当 x1 时, f(x) g(x) ()如果 且 f(x1)=f(x2) 求证 x
9、1+x22.21x1O y x10，设函数 f(x)=ax+ 曲线 y=f(x)在点（2， ）处的切线方程为 ),(1Zbax )(f 3y（1）求 f(x)的解析式 （2）证明函数 y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心（3）证明曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 所围三角形的面积为定值并xy求此定值11， f(x)是定义在 上的奇函数 1,0,21)(0,1xafx（1）求 f(x)的解析式 1,0x（2）若 f(x)在 上为增函数求实数 a 的取值,（3）求 f(x)在 上最大值 1,0x（4） 解不等式a64)2(aXf12，定义域为 R 的偶函数 f
10、(x)当 时 f(x)= 若方程 f(x)=0 恰有 5 个不同0x)(,lnRxx的实数解求实数 a 的取值并写出函数 f(x)的解析式13，设 f(x)是定义在 R 上的奇函数且已知函数 Y=g(x)的图象与 y= f(x)的图象关于直线 x=1对称，当 x2 时, g(x) = （ 为常数） （1）求函数 f(x)的解析式3)2()(xaa（1） 若 f(x)对区间 上的每个 x 值恒有 成立求实数 a 的取值范围,1f2)(15，已知 )(xf是定义在 ,e上的奇函数，当 ,0(ex时 ()2ln,().fxaxR（1）求 的解析式； （2）是否存在实数 a，使得当 0fe时的最小值是
11、 4？如果存在，求出 a的值；如果不存在，请说明理由【解析】 （1）设 ,0)(,xexe则 ()2ln().fxax()f是奇函数， ()2ln.ffa（3 分） 又 0f（4 分）故函数 )(xf的解析式为：l(),0)()02ln,(,xxefa（5 分）（2）假设存在实数 a，使得当 ,)xe时()ln()fx有最小值是 4. 2(.axfx（6 分）当 0a或2,e2a即时，由于 .0)(,xfx则 故函数 ()2ln(),0fxaxe是 上的增函数。min()24,fea所 以解得 6（舍去）（9 分）当2,0a,即 时 则x2(,)ea2(,0)a来源:21 世纪教育网)(f +x min22()()ln()4,ffaa解得 2eks*5（12 分）u综上所知，存在实数 e，使得当 )(,0xfx时最小值 4。（13 分）
