1、1实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合， （ ）是不可数集合。所有系数为有理数的多项式集合； 中的无理数集合；.A.B0,1单调函数的不连续点所成集合； 以直线上互不相交的开区间为元素的集。CD2、设 是可测集， 是不可测集， ，则 是（ ）EAmEA可测集且测度为零； 可测集但测度未必为零；.A.B不可测集； 以上都不对。3、下列说法正确的是（ ）在 可积 在 可积；.()fx,abL()fx,abL在 可积 在 可积；BRR在 可积 在 可积；.C()fx,()fx,在 广义可积 在 可积Da,abL4、设 是一列可测集， 则有（ ）nE12nE； ； .A1()limnn.B1()l
2、imnnE； 以上都不对。 .C1()linnE.D5、 成立的充分必要条件是（ ）ABC； ；.BA； 。C6、设 是闭区间 中的无理点集，则（ ）E0,1； ；.Am.B0mE是不可测集； 是闭集。D7、设 ， 是 上几乎处处有限的可测函数列， 是 上几乎处处有限的可测函nfxfxE数，则 几乎处处收敛于 是 依测度收敛于 的（ ）fxnf2必要条件； 充分条件；.A.B充分必要条件； 无关条件。CD8、设 是 上的可测函数，则（ ）fxE是 上的连续函数； 是 上的勒贝格可积函数；.A.BfxE是 上的简单函数； 可表示为一列简单函数的极限。cCfx二、填空题：1、设 ， ，如果 的任何
3、邻域中都含有 的 点，则称 是 的聚点。nER0n0xE0xE2、设 ，若 是有界 点集，则 至少有一个聚点。3、设 是 上的可测函数， ，则 是 上的 函数。fxmAfxA4、设在 上， 依测度收敛于 ，则存在 的子列 ，使得在 上，Enf nfknfxE敛于 。knfxfx5、设设 ,则 _。1,2,(2.)nAnlimnA6 设 P 是 Cantor 集， ，则 _。0,GP7、写出一个 与 之间一一对应关系式_ 。(,1)8.设 ，则 。 2,xef是 有 理 数是 无 理 数 01()Lfxd，9、设 是 中有理数全体，则 的闭包 为_。E01E10、直线上的任意非空开集可以表示成_
4、的并集。三、判断题。1、 与 的势是不等的。( )2R32、设 ， 为 上一列 有限的可测函数，若在 上 收敛于mE()nfxE.aeE()nfx.ae有限的可测函数 ，则 在 上依测度收敛于 。( ).ae()nfx3、若 则 。( )(),1lim,P pnnfxLpLlim0npf4、设 在 上 可积,则 在 上必 可积。( )0,R()fx0,)35、若 不是 的聚点，则 是 的孤立点。( )PEPE6、设 ，则对 上的任何实值函数 都有 。( )0m()fx()0Efxd7、设 在 上可测，则由 在 上可积可以推出 在 上可积，但反之不对。fqRf( )8、若 为 上非负单调可测函数
5、列，且 ，则nfElim()nfxf。( )lim()()xdfx四、计算题与证明题1、证明：若 ， ，则 。ABC:A:2、设 是 上的实值连续函数， 是任意给定的实数，证明 是开集。fx1RaGxfa3、设 ， 都是可测集，试证： 。1E2 121212mEEm4、设在可测集 上， ，且 于 1,2En ，试证明：Enfxfx 1.nnffxae于 .lim.nfae5、设 , ,则 )(xgf在 E上几乎处处成立.nfxfx ngx 46、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.7、计算 。201lim()nnxd8、若 且有关函数的积分存在，证明： 。1,0,rpqrqrpqfgf答案一选择题1
6、B 2C 3A 4. B 5.D 6.A 7.B 8.D二填空题1.无穷多个 2.无穷 3.可测 4.几乎处处收敛 5. 6.1 7. 1,2yctgx8. 9. 10.有限个或可列个构成区间130,1三、判断题1 2. 3. 4. 5. 6. 7、 8. 四、证明与计算1.证明：根据集合的性质有：ABCABACBC并且集合 与 ， 与 是不相交的。由于 ，因此 ，由题设 可知 ，:AB:于是 。AC:52、设 ，则存在 中的互异点列 ，使得 ，因 连续，所以/0xAnx0nxf，而 ，由极限的保号性， ，因此limnnffx,12,fa 0fxa，故 是闭集。0x由于 ，故 是开集。 GA3
7、、证明：由于 ， 都是可测集，根据可测集的性质， 和 都是可测集。1E2 12E12如果 和 中至少有一个为 ，则结论显然成立。m设 ， 。根据集合的性质可知122121212EEE而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有 1221212121mmmEEE所以 成立。122124、证明：因 ，则由黎斯定理，存在子列 ，使得 于 。nfxfknfxlim.knfxfaeE令 ，则 。对任意 ，有011 knnnEffxEfxf0E00，且 。00nnfxf00limnkff由于 是增加数列，故 ，因此在 上恒有0liknxxf0成立，故 于 .limnfxfli.nf
8、faeE5、.证明: 由于 )(gf)()(xgfxfkk,故对任何自然数 , 1|:|nfEx21|:|nfEk21|:|ngfEk,从而 )|:|(gfm)|:|(fxmk)21|:|(ngfxmk6令 k,即得 )1|:|(ngfExm0.但是 :gfx|:|1fn故 0)(, 即 )(xg a.e.于 E.6叙述：设 是 上 a.e.有限的函数，若对任意 ，存在闭子集 ，使(fxE0FE在 上连续，且 证明： 是 上的可测函数。()fF(),mF()fxE证明： 闭集 在 连续。令 则,nN,n1,2nn1,nk在 连续 在 F 连续，又对()kxxfx()fx，,()(nnnkkmEFmE()2nkkm故 ， 在 连续，又 ，所以 是0)fx()0(fx上的可测函数，从而是 E 上的可测函数。7解：令 ，易见21()nnfx若 ，则021()nxf若 ，则1x22124() .1)()()nnnxf x令 20()4gxx则在 上 ，由 与 知0， ()nfg10()xd1()gxd在 是可积函数，()gxR于是由控制收敛定理得：。00lim()li()0nnfdfxd8证明：若 则 ，于是由 不等式1,rpqrq1rpHolder7()()prqrEEEfgdxfdxgdx令 ，则得到,rrf()()prqrEEExfxx
