1、【教学目标】1了解导数概念的实际背景 2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数【教法指导】本节学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念本节学习难点：平均变化率、瞬时变化率的概念，导数的概念【教学过程】复习引入某市 2016 年 5 月 30 日最高气温是 33.4，而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4和 18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市 2013 年 4 月 28 日最高气温 3.5和 5 月
2、28 日最高气温 18.6进行比较，可以发现二者温差为 15.1，甚至超过了 14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快” ，而后者变化得“缓慢” ，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.探索新知思考 1：气球膨胀率很多人都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答：气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L)之间的函数关系是 r(V) ，33V4(2)当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时，气球半径增加了 r
3、(2) r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L)r 2 r 12 1可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了结论 当空气容量从 V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率是 .r V2 r V1V2 V1思考 2：高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)4.9 t26.5 t10.计算运动员在时间段0 t0.5，1 t2 内的平均速度 ，并思考平均速度有什么作用？v答：在 0 t0.5 这段时间里， 4.05(m/s)；vh 0.5 h 00.5 0在 1 t2 这段时间
4、里， 8.2(m/s)vh 2 h 12 1由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢思考 3：思考 3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考 1 和思考 2 中的平均变化率分别表示什么？思考 4：平均变化率也可以用式子 表示，其中 y、 x 的意义是什么？ 有什么几何意 y x y x义？答： x 表示 x2 x1是相对于 x1的一个“增量” ； y 表示 f(x2) f(x1) x、 y 的值可正可负， y 也可以为零，但 x 不能为零观察图象可看出， 表示曲线 y f(x)上两点( x1， f(x1)、 y x(x2， f(x2)连线的斜率【小结】 平均变化率为
5、，其几何意义是：函数 y f(x)的图象上两 y x f x2 f x1x2 x1点( x1， f(x1)、( x2， f(x2)连线的斜率思考 5：物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答：不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度 h 与起跳时间 t 的函数关系 h(t)4.9 t26.5 t10，易知 h( ) h(0)， 0，而运动员依然是运动6549 vh 6549 h 06549 0状态思考 6：什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态如求 t2 时的瞬时速度，可考察在 t2 附近的一个间
6、隔 t，当 t 趋近于 0 时，平均速度 v 趋近于 lim t 0，这就是物体在 t2 时的瞬时速度类似可以得出平均变化率与瞬时h 2 t h 2 t变化率的关系，我们把函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 lim x 0 叫做函数 y f(x)在 x x0处的导数f x0 x f x0 x lim x 0 y x思考 7：(1)计算函数 h(x)4.9 x26.5 x10 从 x1 到 x1 x 的平均变化率，其中 x 的值为2；1；0.1；0.01.(2)思考：当| x|越来越小时，函数 h(x)在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：(1) y h(1 x) h(1)4.9(
7、 x)23.3 x， 4.9 x3.3. y x当 x2 时， 4.9 x3.313.1； y x当 x1 时， 4.9 x3.38.2； y x当 x0.1 时， 4.9 x3.33.79； y x当 x0.01 时， 4.9 x3.33.349. y x(2)当| x|越来越小时，函数 f(x)在区间上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.思考 8：导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答：导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度2函数在某点处的导数：我们称函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率为函数 y f(x)在x x0处的导数，记作 f( x0)或 y| x x0，
8、即 f( x0) lim x 0f x0 x f x0 x.lim x 0 y x2、例题剖析例 1 已知函数 f(x)2 x23 x5.(1)求当 x14， x25 时，函数增量 y 和平均变化率 ； y x(2)求当 x14， x24.1 时，函数增量 y 和平均变化率 ； y x(3)若设 x2 x1 x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义解： f(x)2 x23 x5， y f(x1 x) f(x1)2( x1 x)23( x1 x)5(2 x 3 x15)2123 x2( x)2(4 x13) x2( x)219 x. 2 x19. y x 2 x 2 19 x x(1)当
9、x14， x25 时， x1， y2( x)219 x21921， 21. y x(2)当 x14， x24.1 时 x0.1， y2( x)219 x0.021.91.92.2 x1919.2. y x(3)在(1)题中 ， y x f x2 f x1x2 x1 f 5 f 45 4它表示抛物线上点 P0(4,39)与点 P1(5,60)连线的斜率在(2)题中， ， y x f x2 f x1x2 x1 f 4.1 f 44.1 4它表示抛物线上点 P0(4,39)与点 P2(4.1,40.92)连线的斜率【反思与感悟】求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量 y f(x2) f(
10、x1)(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1.(3)得平均变化率 . y x f x2 f x1x2 x1例 2 利用导数的定义求函数 f(x) x23 x 在 x2 处的导数【反思与感悟】 求一个函数 y f(x)在 x x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量 y f(x0 x) f(x0)；(2)求平均变化率 ； y x f x0 x f x0 x(3)取极限，得导数 f( x0) .lim x 0 y x例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第 x h 时，原油的温度(单位：)为 y f(x) x27 x15(0 x8)计算第 2
11、h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f(2)和 f(6)根据导数的定义， y x f 2 x f 2 x 2 x 2 7 2 x 15 22 72 15 x x3，4 x x 2 7 x x所以， f(2) ( x3)3.lim x 0 y x lim x 0同理可得， f(6)5.在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3 与 5.它说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 /h 的速率下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 5 /h 的速率上升课堂提高1如果质点 M 按规律 s3 t
12、2运动，则在一小段时间中相应的平均速度是( )A4 B4.1 C0.41 D3【答案】B【解析】 4.1.v 3 2.12 3 220.12函数 f(x)在 x0处可导，则 ( )limh 0f x0 h f x0hA与 x0、 h 都有关B仅与 x0有关，而与 h 无关C仅与 h 有关，而与 x0无关D与 x0、 h 均无关【答案】B3已知函数 f(x)2 x21 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1 x,1 y)，则 等于( ) y xA4 B4 x C42 x D42( x)2【答案】C4已知函数 f(x) ，则 f(1)_.1x【答案】12【解析】 f(1) lim x 0f 1 x f 1 x lim x 011 x 1 x .lim x 0 11 x 1 1 x 125求函数 f(x)3 x22 x 在 x1 处的导数【解析】 y3(1 x)22(1 x)(31 221)3( x)24 x， 3 x4， y x 3 x 2 4 x x y| x1 (3 x4)4.lim x 0 y x lim x 06高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)之间的关系式为 h(t)4.9 t26.5 t10，求运动员在 t s 时的瞬时速度，并解释此时的6598运动状况说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处
