1、第二章测评 B(高考体验卷)(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015福建高考 )若双曲线 E:=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( )A.11 B.9 C.5 D.3解析:由双曲线的定义知,|PF 1|-|PF2|=6.因为|PF 1|=3,所以 |PF2|=9.答案:B2.(2015浙江高考 )如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B
2、在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是( )A. B.C. D.解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x 1+1,|BF|=x2+1,则,故选 A.答案:A3.(2015广东高考 )已知双曲线 C:=1 的离心率 e=,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1解析:因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5,0),所以 c=5.因为离心率 e=,所以 a=4.又 a2+b2=c2,所以 b2=9.故双曲线 C 的方程为=1.答案:C4.(2015天津高考 )已知双曲线=1(a 0,b0
3、)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1解析:因为双曲线=1( a0,b0)的渐近线方程为 y=x,所以. 又因为抛物线 y2=4x 的准线为 x=-,所以 c=.由 ,得 a2=4,b2=3.故所求双曲线的方程为 =1.答案:D5.(2015四川高考 )设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5) 2+y2=r2(r0)相切于点 M,且 M 为线段 AB的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( )A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(
4、2,4)解析:如图所示,设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减,得(y 1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当 l 的斜率不存在,即 x1=x2 时,符合条件的直线 l 必有两条.当 l 的斜率 k 存在,即 x1x2 时,有 2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即 k=.由 CMAB,得 kCM=-,即 x0=3.因为点 M 在抛物线内部,所以b0,椭圆 C1 的方程为= 1,双曲线 C2 的方程为 =1,C1 与 C2 的离心率之积为,则 C2 的渐近线方程为( )A.xy=0 B.xy=0C.x2y=0 D.2xy=0解析:由题意,知椭圆 C1
5、的离心率 e1=,双曲线 C2 的离心率为 e2=.因为 e1e2=,所以,即,整理可得 a=b.又双曲线 C2 的渐近线方程为 bxay=0,所以 bxby=0,即 xy=0.答案:A9.(2014课标全国 高考) 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若= 4,则|QF|=( )A. B.3 C. D.2解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离 p=|FM|=4.过 Q 作 QHl 于 H,则|QH|=|QF|.由题意,得PHQPMF ,则有, |HQ|=3. |QF|=3.答案:B来源:学优高考网 gkstk1
6、0.(2014重庆高考 )设 F1,F2 分别为双曲线=1(a0,b 0)的左、右焦点 ,双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.3解析:根据双曲线的定义|PF 1|-|PF2|=2a,可得|PF 1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=4a2.而由已知可得|PF1|2+2|PF1|PF2|+|PF2|2=9b2,两式作差可得-4|PF 1|PF2|=4a2-9b2.又|PF 1|PF2|=ab,所以有 4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得 4a=3b,平方得 16a2=
7、9b2,即 16a2=9(c2-a2),即 25a2=9c2,所以 e=,故选 B.答案:B二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.(2015湖南高考 )设 F 是双曲线 C:=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 . 解析:不妨设 F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为 B(0,b),依题意得点 P 为(-c,2b),又点 P 在双曲线上,所以= 1,得= 5,即 e2=5,因为 e1,所以 e=.答案:12.(2015山东高考 )平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:
8、=1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点 ,则 C1 的离心率为 . 解析:双曲线的渐近线为 y=x.由得 A.由得 B. F 为OAB 的垂心 , kAFkOB=-1.即=- 1,解得 , ,即可得 e=.答案:13.(2015陕西高考 )若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p= . 解析:双曲线 x2-y2=1 的焦点为 F1(-,0),F2(,0).抛物线的准线方程为 x=-.因 p0,故-=-,解得 p=2.答案:214.(2015江苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中
9、,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立 ,则实数 c 的最大值为 . 解析:直线 x-y+1=0 与双曲线的渐近线 y=x 平行,且两平行线间的距离为.由图形知,双曲线右支上的动点 P 到直线 x-y+1=0 的距离的最小值无限趋近于,要使距离 d 大于 c 恒成立,只需 c 即可,故 c 的最大值为.答案:15.(2014江西高考 )过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C:=1(ab0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 解析:由题意可设 A(x1,y1),B(x2,y2)
10、,则可得 - ,并整理得=-.(*) M 是线段 AB 的中点,且过点 M(1,1)的直线斜率为-, x1+x2=2,y1+y2=2,k=-. (*)式可化为,即 a2=2b2=2(a2-c2),整理得 a2=2c2,即. e=.答案:三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6 分)(2015安徽高考)设椭圆 E 的方程为= 1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点M 在线段 AB 上 ,满足|BM|= 2|MA|,直线 OM 的斜率为.(1)求 E 的离心率 e;(2)设点 C 的坐
11、标为 (0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为,求 E 的方程.解:(1)由题设条件知,点 M 的坐标为,又 kOM=,从而,进而得 a=b,c=2b,故 e=.(2)由题设条件和 (1)的计算结果可得 ,直线 AB 的方程为= 1,点 N 的坐标为 .设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为,则线段 NS 的中点 T 的坐标为.又点 T 在直线 AB 上,且 kNSkAB=-1,从而有解得 b=3.来源 :学优高考网 所以 a=3,故椭圆 E 的方程为=1.17.(6 分)(2015湖南高考)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆
12、 C2:=1(ab0)的一个焦点,C 1 与 C2 的公共弦的长为 2.(1)求 C2 的方程;(2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点 ,且同向. 若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率; 设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M.证明:直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形.解:(1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1).因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以 a2-b2=1.又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x2=4y,由此易知
13、C1 与 C2 的公共点的坐标为,所以= 1.联立 , 得 a2=9,b2=8.故 C2 的方程为 =1.(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 因同向,且|AC|=|BD|,所以,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是 (x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4. 来源 :学优高考网 gkstk设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.由得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2 是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.由得(9+8k 2)x2+16kx-64=0.而 x
14、3,x4 是这个方程的两根,所以 x3+x4=-,x3x4=-.将 , 代入 ,得 16(k2+1)=,即 16(k2+1)=,所以(9+8k 2)2=169,解得 k=,即直线 l 的斜率为 . 由 x2=4y 得 y=,所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y-y1=(x-x1),即 y=.令 y=0 得 x=,即 M,所以.而= (x1,y1-1),于是 -y1+1=+10,因此AFM 是锐角 ,从而MFD=180-AFM 是钝角.故直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形.18.(6 分)(2014江西高考)如图,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C
15、 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点).(1)证明:动点 D 在定直线上 ;(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相交于点 N2,证明:|MN 2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x2=4y,得 x2=4(kx+2),即 x2-4kx-8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8,直线 AO 的方程为 y=x;BD 的方程为 x=x2.来源 :gkstk.Com解得交点 D 的坐标为注意到
16、x1x2=-8 及 =4y1,则有 y=-2.因此 D 点在定直线 y=-2 上(x 0).(2)解:依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a0),代入 x2=4y 得 x2=4(ax+b),即 x2-4ax-4b=0,由 =0 得(4a) 2+16b=0,化简整理得 b=-a2.故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2.分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为N1,N2.则|MN 2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN 2|2-|MN1|2 为定值 8.19.(7 分)(2015天津高考)已知椭圆=1(ab0)的左焦点为 F(-c,0)
17、,离心率为,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c,|FM|=.(1)求直线 FM 的斜率;(2)求椭圆的方程 ;(3)设动点 P 在椭圆上 ,若直线 FP 的斜率大于,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.解:(1)由已知有,又由 a2=b2+c2,可得 a2=3c2,b2=2c2.设直线 FM 的斜率为 k(k0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c).由已知,有,解得 k=.(2)由(1)得椭圆方程为=1,直线 FM 的方程为 y=(x+c),两个方程联立,消去 y,整理得 3x2+2cx-5c2=0,解得 x=-c,或x=c.因为点 M 在第一象限 ,可得 M 的坐标为.由|FM|=,解得 c=1,所以椭圆的方程为 =1.(3)设点 P 的坐标为 (x,y),直线 FP 的斜率为 t,得 t=,即 y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程联立消去 y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得 t=,解得-0,于是 m=,得 m. 当 x(- 1,0)时,有 y=t(x+1)0,因此 m0,于是 m=-,得 m.综上,直线 OP 的斜率的取值范围是.
