1、第二章 2.3 2.3.2 第 2 课时一、选择题1直线 y (x )与双曲线 y 21 的交点个数是( )13 72 x29A0 B1C2 D4答案 B解析 直线与渐近线平行，有一个交点2已知双曲线 1，离心率 e(1,2) ，则 m 的取值范围是( )x24 y2mA(12,0) B(，0)C(3,0) D( 60， 12)答案 A解析 显然 m0，m b0)的离心率互为倒数，那么以x2a2 y2b2 x2m2 y2b2a、b、m 为边的三角形是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D锐角或钝角三角形答案 B解析 由题意 ，a2 b2a mm2 b2即 m2a 2b 2，选 B.4
2、双曲线 x2y 21 的顶点到其渐近线的距离等于( )A. B.12 22C1 D. 2答案 B解析 x 2y 21 的一个顶点为 A(1,0)，一条渐近线为 yx ，则 A(1,0)到 yx 距离为d .12 225(2015全国卷理，11)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120， 则 E 的离心率为( )A. B25C. D.3 2答案 D解析 设双曲线方程为 1(a0，b0)，如图所示，| AB|BM|，ABM120，x2a2 y2b2过点 M 作 MNx 轴，垂足为 N，在 RtBMN 中，|BN| a，|MN| a，故点
3、M 的坐标为3M(2a， a)，代入双曲线方程得 a2b 2c 2a 2，即 c2 2a2，所以 e ，故选 D.3 26直线 y x 与双曲线 C： 1(a0，b0)左右两支分别交于 M，N 两点，F3x2a2 y2b2是双曲线 C 的右焦点，O 是坐标原点，若| | |，则双曲线的离心率等于( )FO MO A. B. 13 2 3C. 1 D22 2答案 B解析 由题知|MO|NO| |FO|，MFN 为直角三角形，且MFN90 ，取左焦点为 F0，连结 NF0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形 NFMF0 为平行四边形又MFN90，四边形 NFMF0 为矩形，|MN | |F0F|
4、2c ，又直线 MN 的倾斜角为 60，即NOF60 ，NMF30，|NF |MF 0|c ，|MF| c，3由双曲线定义知|MF | MF0| cc 2a，e 1，故选 B.3ca 3二、填空题7已知 F 为双曲线 C： 1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点，若 PQ 的长等于虚x29 y216轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_答案 44解析 如图，由条件知，双曲线右焦点为 A(5,0)，则|PF| |PA| 2a|PA|6，| QF|QA|6，所以|PF| QF| PQ|124b12 28，PQF 的周长为 281644.8过点 P(8,1)的直线与双曲
5、线 x24y 24 相交于 A、B 两点，且 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的方程为_答案 2xy 150解析 设 A、 B 坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)，则 x 4y 421 21x 4y 42 2得(x1x 2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)0.P 是线段 AB 的中点，x 1x 216，y 1y 22， 2.y1 y2x1 x2 x1 x24y1 y2直线 AB 的斜率为 2，直线 AB 的方程为 2xy 150.三、解答题9双曲线的中心在原点，实轴在 x 轴上，与圆 x2y 25 交于点 P(2，1)，如果圆在点 P 的切线平行于双曲线的左
6、顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程解析 双曲线的中心在原点，实轴在 x 轴上，双曲线方程可设为 1(a0 ，b0)x2a2 y2b2点 P(2，1)在双曲线上， 1.4a2 1b2又圆 x2y 25 在点 P 处的切线平行于双曲线左顶点 ( a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率 k 切 与 kOP的乘积为1，k 切 2，即 2，b2a.ba解得得 a2 ，b 215，双曲线方程为 1.154 4x215 y215一、选择题1设 P 是双曲线 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F 1、F 2x2a2 y29分别是双曲线的左、右焦点若|PF 1|3，则|
7、PF 2|( )A1 或 5 B6 C7 D9答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程为 3x2y 0， ，b3，a2.ba 32又|PF 1|PF 2|2a4，|3|PF 2|4.|PF 2| 7 或| PF2|1( 舍去)2已知双曲线 1 的焦点为 F1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF1x 轴，则 F1 到x26 y23直线 F2M 的距离为 ( )A. B.365 566C. D.65 56答案 C解析 如图所示，由 1 知，F 1(3,0)，F 2(3,0)设 M(3，y 0)，则x26 y23y0 ，取 M(3， )62 62直线 MF2 的方程为 x6y 0，62 362即 x2
8、y30.6点 F1 到直线 MF2 的距离为 d .| 3 3|1 24 653设 F1，F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线右支上存x2a2 y2b2在一点 P，满足| PF2|F 1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 e 为( )A. B.45 54C. D.35 53答案 D解析 设 PF1 的中点 M，连结 F2M，由题意知|F 1F2|PF 2|2c，则 F2MPF 1，所以|MF2|即为点 F2 到直线 PF1 的距离，故| MF2|2a.由双曲线的定义可知|PF 1| PF2|2a2a2c，从而|F 1M|ac
9、，故(2c) 2(ac )2(2a) 2，得 e (e1 舍去)ca 534设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成的角为 60的直线A1B1 和 A2B2，使| A1B1|A 2B2|，其中 A1，B 1 和 A2，B 2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A( ，2 B ，2)233 233C( ，) D ，)233 233答案 A解析 由条件知 tan30且 tan60ba ba此时 e 且 e2，所以离心率取值范围是 ( ，2 233 233二、填空题5设双曲线 1(a0，b0)的半焦距为 c.已知原点到直线 l：bxayab
10、 的距离x2a2 y2b2等于 c1，则 c 的最小值为 _14答案 4解析 根据已知，得 c1，又 ab ，故得 c1 ，解得aba2 b2 14 a2 b22 c22 14 2cc4，即 c 的最小值为 4.6过双曲线 1(a0，b0)的左焦点 F 作圆 x2y 2 的切线，切点为 E，延x2a2 y2b2 a24长 FE 交双曲线右支于点 P，若 E 为 PF 的中点，则双曲线的离心率为_答案 102解析 设双曲线的右焦点为 F.由于 E 为 PF 的中点，坐标原点 O 为 FF的中点，所以 EOPF ，又 EOPF ，所以 PFPF，且|PF | 2 a，故|PF|3a，根据勾a2股定
11、理得| FF| a.所以双曲线的离心率为 .1010a2a 1027已知 A(1,2)，B(1,2)，动点 P 满足 .若双曲线 1( a0，b0)的渐近AP BP x2a2 y2b2线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_答案 (1,2)解析 设 P(x，y )，由题设条件，得动点 P 的轨迹为(x1)(x1) (y2)(y2)0，即 x2( y2) 2 1，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆又双曲线 1( a0，b0)的渐x2a2 y2b2近线方程为 y x，即 bxay0，由题意，可得 1，即 1，所以 e 1，故 1e2.故填(1,2) 三、解答题8已知双曲线的
12、中心在原点，焦点 F1、F 2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4 ，2)点 M(3， m)在双曲线上10(1)求此双曲线方程；(2)求证： 0.MF1 MF2 解析 (1)e ，可设双曲线方程为 x2y 2(0)2过点(4， )，1610，即 6.10双曲线方程为 x2y 26.(2)证明：由(1)可知，双曲线中 ab ，c2 ，6 3F 1(2 ，0) 、F 2(2 ，0) ，3 3kMF 1 ，kMF 2 ，m3 23 m3 23kMF1kMF2 ，m29 12 m23点(3，m) 在双曲线上， 9m 26，m 23，故 kMF1kMF21，MF 1MF 2. 0.MF1 MF2 9已知
13、双曲线 C y 21，P 是 C 上的任意点x24(1)求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点 A 的坐标为(3,0) ，求|PA|的最小值解析 (1)设 P(x1，y 1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是 x2y0 和 x2y0.点 P(x1，y 1)到两条渐近线的距离分别是 和 .|x1 2y1|5 |x1 2y1|5它们的乘积是 .|x1 2y1|5 |x1 2y1|5 |x21 4y21|5 45点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设 P 的坐标为(x ，y)，则|PA|2(x3) 2 y2(x 3) 2 1x24 2 .54(x 125) 45|x |2，当 x 时，|PA| 2 的最小值为 ，即|PA |的最小值为 .125 45 255
