1、第 1 页（共 75 页）2016 年 10 月 26 日二次函数压轴 2一解答题（共 30 小题）1如图，在ABC 中，BAC=90，BCx 轴，抛物线 y=ax22ax+3 经过ABC 的三个顶点，并且与 x 轴交于点 D、E，点 A 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）连接 CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点 P 使PCD 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（1，0） （1）求抛物线的函数关系式及顶点 D 的坐标；（2）若点 M 是抛物线对称
2、轴上的一个动点，求 CM+AM 的最小值3如图，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B抛物线 y=x2+bx+c 经过A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 4，求点 F 的坐标；（3）连接 B、C，点 P 是线段， AB 上一点，作 PQ 平行于 x 轴交线段 BC 于点 Q，过 P作 PM x 轴于 M，过 Q 作 QNx 轴于 N，求矩形 PQNM 面积的最大值和 P 点的坐标第 2 页（共 75 页）4在平面直角坐标系中，抛物线
3、 y= x2x2 的顶点为点 D，与直线 y=kx 在第一象限内交于点 A，且点 A 的横坐标为 4；直线 OA 与抛物线的对称轴交于点 C（1）求AOD 的面积；（2）若点 F 为线段 OA 上一点，过点 F 作 EFCD 交抛物线于点 E，求线段 EF 的最大值及此时点 E 坐标；（3）如图 2，点 P 为该抛物线在第四象限部分上一点，且POA=45，求出点 P 的坐标5如图，已知抛物线 L1：y 1= x2，平移后经过点 A（ 1，0） ，B（4，0）得到抛物线L2，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线 L2 的解析式；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）点 P 为抛物线 L2 上
4、的动点，过点 P 作 PDx 轴，与抛物线 L1 交于点 D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由第 3 页（共 75 页）6抛物线 y=ax2+bx+c（a 0 ）的顶点为 P（1， 4） ，在 x 轴上截得的线段 AB 长为 4 个单位，OAOB，抛物线与 y 轴交于点 C（1）求这个函数解析式；（2）试确定以 B、C、P 为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点 F 使得ACF 周长最小，请写出 F 点的坐标7如图，已知抛物线 与 x 轴交于 A （4，0）和 B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点（1）求此抛物线的解析式；（2）若 P 为抛物
5、线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q 点，当 P 点运动到什么位置时，线段 PQ 的长最大，并求此时 P 点的坐标8如图，抛物线 y=x2+ax+8（a 0）于 x 轴从左到右交于点 A，B 于 y 轴交于点 C 于直线y=kx+b 交于点 c 和点 D（m，5） ，tanDCO=1（1）求抛物线与直线 CD 的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有点 E，使 EA+EC 的值最小，求最小值和点 E 的坐标；（3）点 F 为在直线 CD 上方的抛物线上任意一点，作 FGCD 于点 G，作 FHy 轴，与直线 CD 交于点 H，求FGH 的周长的最大值和对应的
6、点 F 的坐标第 4 页（共 75 页）9如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 P 在直线 AC 上，若 SPAO ：S PCO =2：1，求 P 点坐标；（3）如图，若点 C 关于对称轴对称的点为 D，点 E 的坐标为（2，0） ，F 是 OC 的中点，连接 DF，Q 为线段 AD 上的一点，若 EQF=ADF，求线段 EQ 的长10如图，直线 y=x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于点 B，点 C，经过 B、C 两点的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴的另一交点为 A，顶点为
7、 P，且对称轴是直线 x=2（1）求 A 点的坐标及该抛物线的函数表达式；（2）求出PBC 的面积；（3）请问在对称轴 x=2 右侧的抛物线上是否存在点 Q，使得以点 A、B、C、Q 所围成的四边形面积是PBC 的面积的 ？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 页（共 75 页）11已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点 A 的坐标为（1，0） ，对称轴为直线 x2，点 C 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 是抛物线上另一点，已知以 OC 为一边的矩形 OCDE 的面积为 8（1）写出点 D 坐标并求此抛物线的解析式；（2）若点 P 是抛物线在 x 轴上方的
8、一个动点，且始终保持 PQx 轴，垂足为点 Q，是否存在这样的点，使得PQBBOC ？若存在求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由12如图，已知二次函数图象的顶点为（1，3） ，并经过点 C（2，0） （1）求该二次函数的解析式；（2）直线 y=3x 与该二次函数的图象交于点 B（非原点） ，求点 B 的坐标和AOB 的面积；（3）点 Q 在 x 轴上运动，求出所有 AOQ 是等腰三角形的点 Q 的坐标13如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 x 轴交于另一点 C，与 y 轴交于点 B（0，3） ，对称轴是直线 x=1，顶点是 M（1）
9、直接写出二次函数的解析式： ；（2）点 P 是抛物线上的动点，点 D 是对称轴上的动点，当以 P、D、B、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点 D 的坐标： ；（3）过原点的直线 l 平分 MBC 的面积，求 l 的解析式第 6 页（共 75 页）14已知抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的顶点坐标为（4， ） ，且与 y 轴交于点 C（0，2） ，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） （1）求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请
10、说明理由15已知二次函数 y=ax24x+c 的图象过点（1，0）和点（ 2，9） （1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；（2）已知点 P（2， 2） ，连结 OP，在 x 轴上找一点 M，使OPM 是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标（不写求解过程） 16如图，已知直线 y=x+3 分别交 x 轴、y 轴于 B、C 两点，抛物线 y=ax2+bx+c 经过B、C 两点，点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与 B 点不重合） 连接AC，AO：CO=1 ：3（1）求ABC 的面积；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上，是否存在与点 C 不重合的一点 P，使 PAB 的面积与ABC
11、的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由17已知：二次函数 y=x2+2x3 与 x 轴交于点 A、点 B（点 A 在点 B 左边） ，与 y 轴交于点C，点 D 是抛物线的顶点连接 AD、CD，过点 A、点 C 作直线 AC（1）求点 B、D 的坐标及直线 AC 的解析式；（2）若点 E 为抛物线上一点，点 F 为直线 AC 上一点，且 E、F 两点的纵坐标都是 2，求线段 EF 的长；第 7 页（共 75 页）（3）该抛物线上是否存在点 P，使得APB=ADC？若存在，求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由18在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点
12、 A（3，0） 、B（0，3） 、C（1，0）三点（1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标；（2）若在该抛物线的对称轴 l 上存在一点 M，使 MB+MC 的值最小，求点 M 的坐标以及MB+MC 的最小值；（3）若点 P、Q 分别是抛物线的对称轴 l 上两动点，且坐标标分别为 m，m +2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点 P、Q 的坐标以及四边形 CBQP 周长的最小值19如图，抛物线 y=ax2+bx（a0）与双曲线 相交于点 A，B已知点 B 的坐标为（2 ， 2） ，点 A 在第一象限内，且 tanAOx=4 过点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C（1）请直接写出双曲
13、线和直线 AB 的解析式，求出抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上能否找到点 D，使BCD 周长最短，请求出点 D 的坐标和直接写出此时BCD 周长；（2）在直线 AB 的下方的抛物线上找一点 P，使ABP 的面积最大并求出点 P 的坐标和ABP 的最大面积第 8 页（共 75 页）20如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于 A（0，4） ，且抛物线经过点 C（3， 2） ，对称轴 x= （1）求出抛物线的解析式；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于 B 点，连接 AC，AB，若在抛物线上有一点 D，使得 ABC =SBCD ，求 D 点的坐标；（3）记抛物线与 x
14、 轴左交点为 E，在 A、E 两点之间的抛物线上有一点 F，连接AE、FE、FA，试求出使得 SAEF 面积最大时，F 点的坐标以及此时的面积21如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 的坐标为（1，0） ，抛物线的对称轴为直线 点 M 为线段 AB 上一点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于 P，交过点A 的直线 y=x+n 于点 C（1）求直线 AC 及抛物线的解析式；（2）若 ，求 PC 的长；（3）过 P 作 PQAB 交抛物线于点 Q，过 Q 作 QNx 轴于 N，若点 P 在 Q 左侧，矩形PMNQ 的周长记为 d，求 d 的最大值第 9 页（共
15、75 页）22如图，已知二次函数 y= x2+ x+4 的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC（1）点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ；（2）ABC 是直角三角形吗？若是，请给予证明；（3）线段 AC 上是否存在点 E，使得EDC 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由23如图，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 y=x2+bx+c 过点 A（4，0） 、B（1，3） （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标；（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点 P，使得PAB 是等腰三角形？若存在
16、，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由24如图，直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A（ 1，0） ，交 y 轴于 B 点，tanBAO=3；过 A、B两点的抛物线交 x 轴于另一点 C（3，0） 第 10 页（共 75 页）（1）求直线 AB 的表达式；（2）求抛物线的表达式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由25如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）与直线 y=kx+b 交于 A（3，0） 、C（0，3）两点，抛物线的顶点坐标为 Q（2， 1） 点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点
17、 A 运动（点 P 与 A 不重合） ，过点 P 作 PDy 轴，交直线 AC 于点 D（1）求该抛物线的解析式；（2）设 P 点的横坐标为 t，PD 的长度为 l，求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 P 的坐标（3）在问题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 经过原点O，点 B（2，n）在这条抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）将直线 y=2x 沿 y 轴向下平移 b 个单位后得到直线 l，若直线 l 经过 B
18、 点，求 n、b 的值；第 11 页（共 75 页）（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C，直线 l 与 y 轴交于点 D，且与抛物线的对称轴交于点 E若 P 是抛物线上一点，且 PB=PE，求 P 点的坐标27如图，已知抛物线 y=x2（m 22）x2m 与 x 轴交与点 A（x 1，0） ，B （x 2，0） ，与 y 轴交与点 C，且满足 （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点 M 是这条抛物线对称轴上的一个动点，当 MB+MC 的值最小时，求点 M 的坐标28如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴正半轴交于点 B，且OA=OB
19、（1）求 b+c 的值；（2）若点 C 在抛物线上，且四边形 OABC 是平行四边形，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点 P（不与 A、C 重合）是抛物线上的一点，点 M 是 y 轴上一点，当BPM 是等腰直角三角形时，求点 M 的坐标29如图，抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B（x 20） ，其中 x1x 2，与 y 轴交于点 C（0，3） ，且 x1，x 2 满足 2（x 1+x2）+x 1x21=0第 12 页（共 75 页）（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）P 为线段 BD 上的一个动点，过点 P 作 PMX 轴于点 M，求
20、四边形 PMAC 的面积的最大值和此时点 P 的坐标30如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（2，0） P 为抛物线在 x 轴上方的一点（不落在 y 轴上） ，过点 P 作 PDx 轴交 y 轴于点 D，PC y 轴交 x 轴于点 C设点 P 的横坐标为 m，矩形 PDOC 的周长为 L（1）求 b 和 c 的值（2）求 L 与 m 之间的函数关系式（3）当矩形 PDOC 为正方形时，求 m 的值第 13 页（共 75 页）2016 年 10 月 26 日二次函数压轴 2参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1 （2014无锡校级模拟
21、）如图，在ABC 中，BAC=90 ，BC x 轴，抛物线y=ax22ax+3 经过ABC 的三个顶点，并且与 x 轴交于点 D、E，点 A 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）连接 CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点 P 使PCD 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】 （1）BC 与抛物线的对称轴于 F 点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线 x=1，由于 BCx 轴，根据抛物线的对称性得到 B 点和 C 点关于直线 x=1 对称轴，则 AB=AC，于是可判断A
22、BC 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF=BF=1，所以可确定 A 点坐标为（1，4） ，然后把 A 点坐标代入 y=ax22ax+3 求出 a 即可得到抛物线解析式为 y=x2+2x+3；（2）先根据抛物线与 x 轴的交点问题得到 D 点坐标为（1，0） ，设 P 点坐标为（1，t） ，利用两点之间的距离公式得到 CD2=32+（2+1） 2=18，PC 2=12+（t3） 2，PD 2=22+t2，然后分类讨论：当 CD2=PC2+PD2，即 18=12+（t 3） 2+22+t2，解得 t1= ，t 2= ，此时 P 点坐标为（1， ） ， （1， ） ；当 PD2=CD2
23、+PC2，即22+t2=18+12+（ t3） 2，解得 t=4，此时 P 点坐标为（1，4） ， ；当 PC2=CD2+PD2，即12+（t3 ） 2=18+22+t2，解得 t=2，此时 P 点坐标为（1，2） 第 14 页（共 75 页）【解答】解：（1）BC 与抛物线的对称轴于 F 点，如图，抛物线的对称轴为直线x= =1，BCx 轴，B 点和 C 点关于直线 x=1 对称轴，AB=AC，而BAC=90，ABC 为等腰直角三角形，AF=BF=1，A 点坐标为（1，4） ，把 A（1，4）代入 y=ax22ax+3 得 a2a+3=4，解得 a=1，抛物线解析式为 y=x2+2x+3；（
24、2）令 y=0，则 x2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3，D 点坐标为（1，0） ，设 P 点坐标为（1，t ） ，CD 2=32+（2 +1） 2=18，PC 2=12+（t 3） 2，PD 2=22+t2，当 CD2=PC2+PD2，即 18=12+（t 3） 2+22+t2，解得 t1= ，t 2= ，此时 P 点坐标为（1， ） ， （1， ） ；当 PD2=CD2+PC2，即 22+t2=18+12+（t 3） 2，解得 t=4，此时 P 点坐标为（1，4） ， ；当 PC2=CD2+PD2，即 12+（t3） 2=18+22+t2，解得 t=2，此时 P 点坐标为（1，
25、2） ；符合条件的点 P 的坐标为（1， ）或（1， ）或（1，4）或（1，2） 第 15 页（共 75 页）【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标，令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式2 （2014镇江一模）如图，抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（1，0） （1）求抛物线的函数关系式及顶点 D 的坐标；（2）若点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，求 CM+AM 的最小
26、值【考点】抛物线与 x 轴的交点；轴对称-最短路线问题菁优网版权所有【分析】 （1）把 A 的坐标代入抛物线的解析式可求出 b 的值，进而得到抛物线的解析式，利用配方法即可求出顶点 D 的坐标；（2）首先求出 C，A，B 的坐标，根据抛物线的对称性可知 AM=BM所以AM+CM=BM+CMBC=2 【解答】解：（1）点 A（ 1，0）在抛物线 y= x2+bx2 上，b= ，抛物线解析式 y= x2 x2，抛物线 y= x2 x2= （x ） 2 ，顶点 D 的坐标（ ， ） ；（2）当 x=0 时，y= 2，C（0， 2）OC=2，当 y=0 时，0= x2 x2，解得：x=4 或 1，B（
27、4，0） ，OB=4，由抛物线的性质可知：点 A 和 B 是对称点，AM=BM，第 16 页（共 75 页）AM+CM=BM +CMBC=2 CM+AM 的最小值是 2 【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利用抛物线的对称性得到 AM+CM=BM+CMBC=2 是解题的关键3 （2014重庆模拟）如图，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B抛物线y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点
28、的三角形面积为 4，求点 F 的坐标；（3）连接 B、C，点 P 是线段， AB 上一点，作 PQ 平行于 x 轴交线段 BC 于点 Q，过 P作 PM x 轴于 M，过 Q 作 QNx 轴于 N，求矩形 PQNM 面积的最大值和 P 点的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）由直线解析式可求出 A、B 点的坐标，将其代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；（2）由直线解析式和抛物线对称轴解析式可求出交点 E 的坐标，可随之求出 AE 的长度，由三角形的面积为 4，可得出点 F 到直线 AB 的距离，设出 F 点的坐标，套用点到直线的距离公式即可求得 F 的坐标；（3）设出 P
29、点的坐标，用未知数 n 表示出 Q 的坐标，由矩形的面积公式可得出含 n 的代数式，利用解极值问题即可得出矩形 PQNM 面积的最大值和 P 点的坐标【解答】解：（1）直线 y=x+3 与 x、y 轴的交点分别为 A（3，0） 、B（0，3） ，将 A、B 坐标代入抛物线解析式得：，解得 抛物线的解析式为 y=x22x+3（2）抛物线的解析式 y=x22x+3=（x+1） 2+4，抛物线的对称轴为 x=1，解 ，得 ，第 17 页（共 75 页）即点 E 坐标为（1，2） ，AE=2 设 F 点坐标为（m ，m 22m+3） AEF 的面积为 4，F 点到直线 AE 的距离为 = =2 ，即|
30、m 2+3m|=4，解 m2+3m=4，得 m1=1，m 2=4；解 m2+3m=4，无解点 F 在第三象限，m0，即 m=4，此时点 F 的坐标为（ 4，5） （3）依照题意画出图形，如下，令 y=（ x+1） 2+4=0，解得 x=1，x=3，点 C 坐标为（1，0） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 ，即直线 BC 的解析式为 y=3x+3设 P 点坐标为（n，n+3） （其中3n0） ，则 Q 点坐标为（ ，n+3） ，M 点坐标为（n，0） ，N 点坐标为（ ，0） PM=n+3，PQ= n= n，第 18 页（共 75 页）矩形 PMNQ 的面积=PMPQ=（n
31、+3）（ n）= （n 2+3n）= +3故当 n= 时，矩形 PMNQ 的面积最大，最大面积为 3此时 P 点坐标为（ ， ） 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键：（1）由直线解析式求出 A、B 两点坐标，再代入抛物线解析式即可；（2）先找出线段 AE 的长度，再根据点到直线的距离来表示出面积；（3）设出 P 点坐标，利用含 n 的代数式表示出矩形面积，由求极值的方法解决问题4 （2014沙坪坝区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2x2 的顶点为点 D，与直线 y=kx 在第一象限内交于点 A，且点 A 的横坐标为 4；直线 OA 与抛物线的对称轴交于点 C（1）求
32、AOD 的面积；（2）若点 F 为线段 OA 上一点，过点 F 作 EFCD 交抛物线于点 E，求线段 EF 的最大值及此时点 E 坐标；（3）如图 2，点 P 为该抛物线在第四象限部分上一点，且POA=45，求出点 P 的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）在图 1 中求出的 A、D 坐标，利用 SAOD =S 梯形 AHMDSAOH SDOH 即可求解（2）直线 OA 的解析式为 y= x，EFy 轴，可以假设 E（m， m2m2） ，F（m ， m） ，根据 EF= m（ m2m2）= （m ） 2+ 即可解决（3）在图 2 中，构造AEOHMA，只要证明OAH 是等
33、腰直角三角形，求出点 H 坐标，再求出直线 OH 与抛物线的交点 P 即可【解答】解：（1）如图 1 中，作 AHy 轴 DMy 轴垂足分别为 H、My= x2x2= （x 1） 2 ，第 19 页（共 75 页）顶点 D 坐标（1， ） ，点 A 横坐标为 4，点 A 的坐标为（4，2） ，S AOD =S 梯形 AHMDSAOH SDOH = 1 24=6（2）直线 OA 的解析式为 y= x，EFy 轴，可以假设 E（m， m2m2） ，F（m， m） ，EF= m（ m2m2）= （m ） 2+ ，当 m= 时， EF 有最大值= ，此时的 E 坐标为（ ， ） （3）如图 2 中，作
34、 AEy 轴垂足为 H，延长 EA 到 M 使得 AM=EO，过点 M 作MHEM，过点 A 作 AO 的垂线交 MH 于 HAEO=OAH=AMH=90，EOA +EAO=90， EAO+MAH=90，EOA=MAH，在AEO 和 HMA 中，AEO HMA，OA=AH，AE=HM=4 ，OAH=90 ，AOH=AHO=45 ，点 H 坐标为（6，2） ，设直线 OH 为 y=kx，点 H 坐标代入得到 k= ，直线 OH 为 y= x，由 解得 ，点 P 在第四象限，点 P 坐标为（ ， ） 第 20 页（共 75 页）【点评】本题考查二次函数的有关性质、一次函数的性质、坐标系中三角形面积
35、的计算，第三个问题巧妙构造全等三角形，解决 45 度角问题，属于中考压轴题5 （2014广东模拟）如图，已知抛物线 L1：y 1= x2，平移后经过点 A（1，0） ，B（4，0）得到抛物线 L2，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线 L2 的解析式；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）点 P 为抛物线 L2 上的动点，过点 P 作 PDx 轴，与抛物线 L1 交于点 D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由第 21 页（共 75 页）【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程
36、中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为 ，已知了平移后的抛物线经过 x 轴上的 A、B 两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；（2）由坐标轴上点的特征可得 C（0， 3） ，根据两点间的距离公式得到 AB，BC，AC 的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；（3）可设 P（a， a2 a3） ，D（a， a2） ，根据 PD=2OC，列出方程即可求解【解答】解：（1）设抛物线 L2 的解析式为 y= x2+bx+c，经过点 A（1，0） ，B（4，0） ，根据题意，得 ，解得抛物线 L2 的解析式为 y= x2 x3（2）ABC 的形状是等腰三角形理由：根据题意，得 C（0，
37、3） ，AB=4（1） =5，BC= =5，AC= = ，ABC 的形状是等腰三角形（3）存在 PD=2OC设 P（a， a2 a3） ，D（a， a2） ，根据题意，得 PD=| a2 a3 a2|=| a+3|，OC=3，第 22 页（共 75 页）当| +3|=6 时，解得 a1= ，a 2=4P 1（ ， ） ，P 2（4，18） 【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等6 （2014哈尔滨校级模拟）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 P（1，4） ，在 x 轴上截得的线段
38、 AB 长为 4 个单位，OAOB，抛物线与 y 轴交于点 C（1）求这个函数解析式；（2）试确定以 B、C、P 为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点 F 使得ACF 周长最小，请写出 F 点的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）根据抛物线的顶点坐标以及在 x 轴上截得的线段 AB 长为 4 个单位，OAOB，得出 A，B 点坐标，进而得出抛物线解析式即可；（2）利用网格以及勾股定理得出 PC，BC，BP 的长，进而得出BCP 的形状；（3）利用轴对称求最短路径的方法，首先确定 F 点位置，再求出直线 BC 的解析式，进而得出 F 点坐标【解答】解：（1）如图
39、所示：抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的顶点为 P（1， 4） ，在 x 轴上截得的线段 AB 长为 4 个单位，OAOB，A 点到对称轴直线 x=1 的距离为 2，B 点到对称轴直线 x=1 的距离为 2，A 点坐标为；（1，0） ，B 点坐标为；（3，0） ，设抛物线解析式为：y=a（x1） 24，0=a（ 11） 24，解得：a=1，函数解析式为：y=x 22x3；（2）如图所示：y=x 22x3 的图象与 y 轴交于点 C（0，3） ，PC= ，BC=3 ，BP= =2 ，PC 2+BC2=BP2，以 B、C 、P 为顶点的三角形的形状是直角三角形；（3）存在；理由：如图所示：A
40、，B 点关于直线 x=1 对称，BC 与直线 x=1 的交点即为 F 点，此时ACF 周长最小，第 23 页（共 75 页）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b， ，解得： ，直线 BC 的解析式为：y=x3，当 x=1 时，y=2，F（1，2） 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理以及逆定理和待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称求最短路径应用等知识，根据题意正确画出图形，利用数形结合得出是解题关键7 （2014封开县二模）如图，已知抛物线 与 x 轴交于 A （4，0）和B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点（1）求此抛物线的解析式；（2）若 P 为抛物线上 A、C 两点间
41、的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q 点，当 P 点运动到什么位置时，线段 PQ 的长最大，并求此时 P 点的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）直接将 A（4，0） ，B（1，0）两点代入抛物线解析式求出即可；第 24 页（共 75 页）（2）首先求出直线 AC 的解析式，再利用抛物线上和直线上点的坐标性质得出 PQ 的长度即可【解答】解：（1）由二次函数 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A（4，0） ，B（1，0）两点可得：，解得： ，故所求二次函数解析式为：y= x2+ x2；（2）由抛物线与 y 轴的交点为 C，则 C 点坐标为：（0， 2
42、） ，若设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，则有 ，解得： ，故直线 AC 的解析式为：y= x2，若设 P 点的坐标为：（a， a2+ a2） ，又 Q 点是过点 P 所作 y 轴的平行线与直线 AC 的交点，则 Q 点的坐标为：（a， a2） ，则有：PQ= a2（ a2+ a2）= a22a= （a+2） 2+2，即当 a=2 时，线段 PQ 的长取最大值，此时 P 点的坐标为（ 2，3） 第 25 页（共 75 页）【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，根据图象上点的坐标性质表示出 PQ 的长是解题关键8 （2014重庆模拟）如图，抛
43、物线 y=x2+ax+8（a0）于 x 轴从左到右交于点 A，B 于 y轴交于点 C 于直线 y=kx+b 交于点 c 和点 D（m ，5） ，tanDCO=1（1）求抛物线与直线 CD 的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有点 E，使 EA+EC 的值最小，求最小值和点 E 的坐标；（3）点 F 为在直线 CD 上方的抛物线上任意一点，作 FGCD 于点 G，作 FHy 轴，与直线 CD 交于点 H，求FGH 的周长的最大值和对应的点 F 的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）作 DMx 轴于点 M，根据 tanDCO=1，则DCM=45 ，CDM 是等腰直角三角形，求得
44、D 的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线和直线 CD 的解析式；（2）首先求得 A 和 B 的坐标，以及抛物线的对称轴，直线 BC 与对称轴的交点就是点E，首先求得 BC 的解析式，则 E 的坐标即可求得；（3）FGH 是等腰直角三角形，当 FG 最大时，FGH 的周长的最大，设与 CD 平行，且与抛物线只有一个公共点的直线，利用根的判别式即可求得直线的解析式，进而求得唯一的公共点，即 F 的坐标，求得FGH 的周长【解答】解：（1）作 DMx 轴于点 M在 y=x2+ax+8 中令 x=0，则 y=8，则 C 的坐标是（0，8） ，即 OC=8D 的纵坐标是 5，M 的坐标是（0，5） ，即
45、 OM=5CM=OCOM=85=3 tanDCO=1，DCM=45，则CDM 是等腰三角形DM=CM=3，D 的坐标是（3，5） 把（3，5）代入 y=x2+ax+8 得： 9+3a+8=5，解得：a=2则二次函数的解析式是 y=x2+2x+8；设 CD 的解析式是 y=kx+b，第 26 页（共 75 页）则 ，解得： ，则直线 CD 的解析式是 y=x+8；（2）抛物线的对称轴是 x=1在 y=x2+2x+8 中，令 y=0，则x 2+2x+8=0，解得：x=4 或2则 A 的坐标是（2，0） ，B 的坐标是（4，0） ，BC= =4 ，EA+EC 的值最值是 4设 BC 的解析式是 y=
46、dx+e，则 ，解得： ，则 BC 的解析式是 y=2x+8令 x=1，y= 2+8=6，则 E 的坐标是（1，6） ；（3）设与 CD 平行，且与抛物线只有一个公共点的直线解析式是 y=x+d，则x 2+2x+8=x+d，即 x23x+（d 8） =0，=94（ d8）=0，解得：d= 当 d= 时，x= ，y= + = 则 F 的坐标是（ ， ） 在 y=x+8 中，令 y= ，则x+8= ，解得 x= ，即 H 的坐标是（ ， ） HF= + = 则 FG=HG= HF= = ，则FGH 的周长是 2 + = 第 27 页（共 75 页）【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，理解直
47、线与抛物线的交点的个数的判断，求得 F 的坐标是解决本题的关键9 （2014竹山县模拟）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 P 在直线 AC 上，若 SPAO ：S PCO =2：1，求 P 点坐标；（3）如图，若点 C 关于对称轴对称的点为 D，点 E 的坐标为（2，0） ，F 是 OC 的中点，连接 DF，Q 为线段 AD 上的一点，若 EQF=ADF，求线段 EQ 的长【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）把 B（1.0） 、C（0，3）两点代入 y=x2+bx+c 即可解决第 28 页（共 75 页）（2）如图中，作 PMAB 垂直为 M，由 PMCO，得 = = 求出 AM，即可解决问题（3）如图中，连接 CD，延长 DF 交 x 轴于 H，先证明 HD=HA，再证明QAEFDQ，得 = ，设 AQ=m，则 DQ=ADAQ= m，列出方程即可解决【解答】解：（1）把 B（1.0 ） 、C （0，3）两点代入
