1、福建省厦门市 2018 届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ，集合 ，则 图中阴影部分所表示的集合是（ ）UR260,1,234AxBVenA B C D1,22,33,42,342.已知 ，则 的值是（ ）4sin,05sin2A B C D 451215253.若 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项是（ ）13nxA1215 B135 C18 D94.执行如图的程序框图，若输出 的值为 55，则判断框内应填入（ ）SA
2、B C D9?n10?n1?n12?n5.等边 的边长为 1， 是边 的两个三等分点，则 等于（ ）C,DEBAEA B C D 1383413326.从装有形状大小相同的 3 个黑球和 2 个白球的盒子中依次不放回地任意抽取 3 次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）A B C D 151413127.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图 1 阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等22S弦 矢 +矢于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式： 圆面积 矢12V.球缺
3、是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图 3)，若该体育馆占312矢地面积约为 18000 ，建筑容积约为 340000 ，估计体育馆建筑高度(单位： )所在区间为（ ）2m3mm参考数据: ， ， ，3180687418046513031806945， .387347A B C D 32,434,636,838,408.设 满足约束条件 且 的最大值为 8，则 的值是（ ）,xy0,2,xyazxyaA B C D21669.函数 在区间 单调递减，在区间 上有零点，则 的取值范cos20fx,6,06围是（ ）A B C D ,625,362,3,3210.已知函数
4、，若 ，则（ ）xaxfe3logabcA B fafbfcfffaC Dffffcfbf11.抛物线 的准线与 轴的交点为 ，直线 与 交于 两点，若 ，2:4EyxxK:1lykxE,AB:3:1KB则实数 的值是（ ）kA B C D 312312.已知函数 ， 若关于 的方程 有两个不等实根3sinfxx1,0ln,xgx0fgxm，且 ，则 的最小值是（ ）12,x1221A2 B C D 3ln4ln233ln2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知复数 满足 ，则 等于 z31izz14.斜率为 2 的直线 被双曲线 截得的弦
5、恰被点 平分，则 的离心率是 l2:10,()xyCab2,1MC15.某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是 16.等边 的边长为 1，点 在其外接圆劣弧 上，则 的最大值为 ABCPABPABCS三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 满足 .na2,nakR（1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 .214nbanbnS18.已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， 为PABCD/ADBC,3,2ABCADE的中点， .CDE（1）证明:平面 平面 ；PBDAC（2）若 与平面 所成的角
6、为 ，求二面角 的余弦值.,4BPDC19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程 的行业标准，予以地方财政补贴.其补R贴标准如下表:2017 年底随机调査该市 1000 辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程 ，得到频率分布直方图如图所示.R用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计 2017 年其充电站 100 天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018 年 2 月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型
7、充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩 5 万元/台，每台每天最多可以充电 30 辆车，每天维护费用 500 元/台； 交流充电桩 1 万元/台，每台每天最多可以充电 4 辆车，每天维护费用 80 元/台.该企业现有两种购置方案：方案一:购买 100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩；方案二:购买 200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生 25 元的收入，用 2017 年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润 日收入 日维护费用）20.椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ， 为 的上顶点， 的
8、内2:10xyEab12,F12PE12FP切圆面积为 .3（1）求 的方程；（2）过 的直线 交 于点 ，过 的直线 交 于 ，且 ，求四边形 面积的取值范1F1lE,AC2F2lE,BD12lABCD围.21.设函数 ， .2ln1fxaxbxge（1）当 时，函数 有两个极值点，求 的取值范围；0bf a（2）若 在点 处的切线与 轴平行，且函数 在 时，其图象上yfx1,xhxfgx1,每一点处切线的倾斜角均为锐角，求 的取值范围.a请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ( 为参数）
9、.以坐标原点为极点，以xOy21:4xCy2cos:inxCy轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x（1）求 的极坐标方程；12,C（2）射线 的极坐标方程为 ，若 分别与 交于异于极点的 两点，求 的最大值.l 0l12,C,ABOA23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ，其中 .2fxxa（1）求函数 的值域；f（2）对于满足 的任意实数 ，关于 的不等式 恒有解，求 的取值范围.21bc,bcx3fxbca试卷答案一、选择题1-5: CABCA 6-10: DBBCC 11、12：DD二、填空题13. 14. 15. 2 16. 2212三、解答题17. 解：（1）（法一）由 ，令 ，21n
10、ak1,3n得到 12330,4kkka 是等差数列，则 ，即n21a20234kk解得： 1k由于 21nan ，10（法二） 是等差数列，公差为 ，设nad11nadnad 2111d 对于 均成立221dnank*nN则 ，解得 ，1adk11na（2）由 2222144411nbnn12211113572nS n1272n 21n18.（1）证明：由 是直角梯形， ，ABCD3,2ABCAD可得 2,23D从而 是等边三角形， ， 平分3 为 的中点， ，EC1EADBAE又 ， 平面,PBAPD 平面 ，平面 平面C（2）法一：作 于 ,连 ,O平面 平面 ,平面 平面PBDACPB
11、AB 与平面平面 为 与平面 所成的角， ，C4CO又 , 为 中点,PBDOB,3BDP以 为 轴建立空间直角坐标系， ,OBCP,xyz1,0,30,1,0,3BCDP，,P设平面 的一个法向量 ， ,nxyz由 得 ，0nCPD30yxz令 得 ，1z,1又平面 的一个法向量为 ，B0,1m设二面角 为 ，则 PDC15cosn所求二面角 的余弦值是 .B5解法二：作 于点 ,连 ，OO平面 平面 ，平面 平面PBDACPBDACBD 平面O 为 与平面 所成的角 ,C4O又 , 为 中点，PBDB,3CBDP作 于点 ,连 ,则 平面 ，则 ，OHHHC则 为所求二面角 的平面角CP由
12、 ，得 , , .332152C5cosO19.（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为 (万元)30.24.50.395（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）3014906可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）()2560.260.85108940若采用方案二，200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆） 3024076可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设
13、备产生的日利润均值为(元) 2560.270.360.5208450( )20.解：（1）设 内切圆的半径为 ，则 ，得 12FPr3r设椭圆 的焦距 ，则 ，Ec12FPScb又由题意知 ，12a所以 ，12 12FPSr 32acac所以 ，3acb结合 及 ，解得 ，2e2c2,3,1abc所以 的方程为 .E143xy（2）设直线 的交点为 ，,ACBDM则由 知，点 的轨迹是以线段 为直径的圆，其方程为 .12MF12F21xy该圆在椭圆 内，所以直线 的交点 在椭圆 内，从而四边形 面积可表示为E,ABEABCD.2SACBD当直线 与坐标轴垂直时， .12SCD 216ba当直线
14、 与坐标轴不垂直时，设其方程为 ，设 ，0xty12,AxyC联立 ，得 ，2143xty24690tyt其中 ，22261ttt，12129,3434yytt所以 .222112134tACty由直线 的方程为 ，同理可得 .BD1xyt2221433ttBDt所以 22221713434tttS22714tt.222711 1ttt令 ，所以 ，2,0,1mt221mtt令 ，2,1gm所以 ，4912,gm从而 .8,6S综上所述，四边形 面积的取值范围是 .ABCD28,64921.解：法一：（1）当 时， ， ，0b2lnfxaxln2fxax令 ，ln2pxax12pa 时， ，
15、在 单调递增，不符合题意；,0a0x0, 时，令 ， ， 在 单调递增；令 ， ，,px1,2apx10,2a0px1,2a在 单调递减；px1,2a令 ， ln01,2e又因为 ， ，且 ，1pln04paa214a所以 时， 有两个极值点.0,2ae2lfxx即 与 的图像的交点有两个.ylnm法二：（1) ）当 时， ， ，0b2lnfxaxln2fxax所以 有两个极值点就是方程 有两个解，2lnfxal0即 与 的图像的交点有两个.2yxm ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调21lx 0,e0mxx,xe0mxx递减. 有极大值又因为 时， ；当 时， .0,1x0x1,x
16、102xe当 时 与 的图像的交点有 0 个；,2ae2yalnm当 或 时 与 的图像的交点有 1 个；,0elx当 时 与 的图象的交点有 2 个；1,2ayalnx综上 .0,e（2）函数 在点 处的切线与 轴平行，所以 且 ，因为yfx1,fx10ff，ln2fxaxb所以 且 ；b1在 时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，2l xhxxe1,即当 时， 恒成立，即10hfg，ln20xeae令 ，l2xt a12xtea设 ， ，因为 ，所以 ， ，1xe2xe 21,xe0x 在 单调递增，即 在 单调递增， ,t1, ，当 且 时， ，12txea2ea0tx所以 在 单
17、调递增；lnxt1, 成立10tx当 ，因为 在 单调递增，所以 ， ，2eatx1,120tea1ln220ltaa所以存在 有 ；0,lnxa0t当 时， ， 单调递减，所以有 ， 不恒成立；1,thx01txt0tx所以实数 的取值范围为 .a1,2e22.解：（1） ， ，21:4Cxycos,inxy故 的极坐标方程： .123sin14的直角坐标方程： ，2xy ，故 的极坐标方程: .cos,inxy2C4cos（2）直线 分别与曲线 联立，得到l1,，则 ，23sin42243sin1OA，则 ，4cos2216coB 2224cos3in1OBA22ii令 ，则2sint2243184BttOA所以 ，即 时， 有最大值 .13tsiBA323.解：（1） ，0a2 2,xfxa故 .2,f（2） ， ，2104bcbc 2bc ， ， .2c22133c当且仅当 时， ，3bmax3bcmax2b关于 的不等式 恒有解xfxaxa3fc即 ，故 ，又 ，所以 .23a23a02
