1、第三章 3.2一、选择题1炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( )A确定性关系 B相关关系C函数关系 D无任何关系答案 B2对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，( x2，y 2)，(x n，y n)，其回归方程的截距为( )A y x B a b a y b xC y x D a b a y b x答案 D解析 回归直线方程中截距为 ，a 由公式 得y b x a .故选 D.a y b x3若回归直线方程中的回归系数 b0，则相关系数为( )Ar1 Br1Cr0 D无法确定答案 C解析 因为 b 0，ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2所以 r 0.ni 1xiyi n
2、x yni 1x2i nx2ni 1y2i ny24下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )A BC D答案 B解析 由图可知，两个图反映了两个变量具有较强的线性相关关系，故选 B.5设有一个回归方程 y35x，变量 x 增加一个单位时 ( )Ay 平均增加 3 个单位 By 平均减少 5 个单位Cy 平均增加 5 个单位 Dy 平均减少 3 个单位答案 B解析 5 是斜率的估计值，说明 x 每增加一个单位时，y 平均减少 5 个单位故选 B.6观测两个相关变量，得到如下数据：x 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1y 0.9 2 3.1 3.9 5.
3、1 5 4.1 2.9 2.1 0.9则两变量之间的线性回归方程为( )A 0.5x1 B xy y C 2x0.3 D x1y y 答案 B解析 因为 0，x 0，根据回归直线方程必经过样y 0.9 2 3.1 3.9 5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.910本中心点( ， )可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选 B.x y 7已知回归直线斜率的估计值是 1.23，样本平均数 4， 5，则回归直线方程为( )x yA 1.23x4 B 1.23x5y y C 1.23x0.08 D 0.08x1.23y y 答案 C二、填空题8已知回归直线方程为 0.50x0.81，则 x25 时
4、，y 的估计值为_y 答案 11.69解析 y 的估计值就是当 x25 时的函数值，即 0.50x0.8111.69.9下列五个命题，正确命题的序号为_任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与该圆的半径具有相关关系；某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究答案 解析 变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系例如，中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个
5、变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的三、解答题10下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(t)与相应的生产能耗 y(t 标准煤 )的几组对照数据.x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 bxa；y (3)已知该厂技改前 100 t 甲产品的生产能耗为 90 t 标准煤试根据(2)求出的线性回归方程预测生产 100 t 甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435 464.566.5)解析 (1)由
6、题设所给数据，可得散点图如下图(2)由对照数据，计算得：86，4i 1x2i 4.5，x3 4 5 64 3.5，y2.5 3 4 4.54已知 iyi66.5，4i 1x所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为b 0.7，4i 1xiyi 4x y4i 1x2i 4x 2 66.5 44.53.586 44.52a b 3.50.74.50.35.y x因此，所求的线性回归方程为 y0.7x0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 t 甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90(0.7 1000.35)19.65(t 标准煤)一、选择题1由变量 x 与 y 相对应的一组数据(1，y
7、 1)、(5，y 2)、(7，y 3)、(13 ，y 4)、(19，y 5)得到的线性回归方程为 2x 45，则 ( )y y A135 B90 C67 D63答案 D解析 (1571319) 9， 2 45，x 15 y x 294563，故选 D.y 2两个相关变量满足如下关系：x 10 15 20 25 30y 1003 1005 1010 1011 1014两变量的回归直线方程为( )A 0.56x997.4 B 0.63x231.2y y C 50.2x501.4 D 60.4x400.7y y 答案 A解析 利用公式 b 0.56.ni 1xiyi nx yni 1x2i n x2
8、a b 997.4.y x回归直线方程为 0.56x 997.4.y 故选 A简解： 20， 1008.6，将 、 代入各直线方程检验可知选 Ax y x y3设某大学的女生体重 y(单位：kg) 与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据( xi，y i)(i1,2，n )，用最小二乘法建立的回归方程为 0.85x85.71，则下列结y 论中不正确的是( )Ay 与 x 具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心( ， )x y C若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kgD若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg答案 D解析
9、本题考查线性回归方程D 项中身高为 170cm 时，体重 “约为”58.79kg，而不是“确定” ，回归方程只能作出“估计” ，而非确定“线性”关系二、填空题4若预报体重 y(kg)和身高 x(cm)之间的线性回归方程为 0.849x85.712，如果要找到y 体重为 41.638kg 的人，_是在身高为 150cm 的人群中(填“一定”或“不一定”)答案 不一定解析 体重不仅受身高的影响，还受其他因素影响5已知两个变量 x 和 y 线性相关，5 次试验的观测数据如下：x 100 120 140 160 180y 45 54 62 75 92那么变量 y 关于 x 的回归方程是_答案 0.57
10、5 x14.9y 三、解答题6针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析：月份 产量(千件) x 单位成本(元/件)y x2 xy1 2 73 4 1462 3 72 9 2163 4 71 16 2844 3 73 9 2195 4 69 16 2766 5 68 25 340合计 21 426 79 1481求回归直线方程解析 设回归直线方程为 x ，y b a ， 71， 79， iyi1 481，x216 y 4266 6i 1x2i 6i 1x所以代入公式， 1.818 2，b 1 481 6216 7179 62162 105.571(1.818 2) 77.36，a 2
11、16故回归直线方程为 77.361.82x.y 7在一段时间内，某种商品价格 x(万元) 和需求量 Y(t)之间的一组数据为价格 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2需求量 Y 12 10 7 5 3(1)画出散点图；(2)求出 Y 对 x 的回归直线方程，并在(1)的散点图中画出它的图象；(3)如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少？( 精确到 0.01t)解析 (1)由题设所给数据，可得散点图如下：(2)采用列表的方法计算 a 与与回归系数 b.序号 x y x2 xy1 1.4 12 1.96 16.82 1.6 10 2.56 163 1.8 7 3.24 12.64 2 5
12、 4 105 2.2 3 4.84 6.6 9 37 16.6 62 91.8， 377.4，x15 y 15 11.5，b 62 51.87.416.6 51.827.411.51.828.1，a 则 Y 对 x 的回归直线方程为 x28.111.5x .y a b (3)当 x1.9 时，Y28.111.51.96.25，所以价格定为 1.9 万元，需求量大约是 6.25(t)8已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量 x(kg)与每单位面积蔬菜年平均产量 y(t)之间的关系有如下数据：年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992x(kg) 70 74
13、 80 78 85 92 90 95y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999x(kg) 92 108 115 123 130 138 145y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0(1)求 x 与 y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；(2)若线性相关，求蔬菜产量 y 与使用氮肥量 x 之间的回归直线方程，并估计每单位面积施氮肥 150kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量解析(1)列出下表，并用科学计算器进行相关计算：i 1 2 3 4 5 6
14、 7 8xi 70 74 80 78 85 92 90 95yi 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0xiyi 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1140i 9 10 11 12 13 14 15xi 92 108 115 123 130 138 145yi 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0xiyi 1058 1188 1357 1500.6 1625 1766.4 1885 101， 10.11，x151515 y 151.715161125， 1628.55， iyi16076.8.15i 1
15、x2i15i 1y2i15i 1x故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数r16076.8 1510110.11161125 1510121628.55 1510.1120.8643.由小概率 0.05 与 n2 在附表中查得相关系数临界值 r0.050.514，则 rr0.05，说明有 95%的把握认为蔬菜产量与施用氮肥量之间存在着线性相关关系(2)设所求的回归直线方程为 x ，则y b a 0.0937，b 15i 1xiyi 15x y15i 1x2i 15x2 16076.8 1510110.11161125 151012 10.110.09371010.6463，a y b x回归直线方程为 0.0937x0.6463.y 当每单位面积施氮肥 150kg 时，每单位面积蔬菜年平均产量为0.09371500.646314.701(t)方法总结 本题主要考查对两个变量的相关性检验和回归分析(1)使用样本相关系数计算公式来完成；(2)先作统计假设，由小概率 0.05 与 n 2 在附表中查得相关系数临界值r0.05，若 rr0.05 则线性相关，否则不线性相关
