2018年福建省三明市第一中学高三下学期开学考试数学（理）试题（pdf版）.rar

高三理科数学参考答案 第 1 页（共 6页）三明一中2017-2018学年第二学期入学考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B B C A B D C D A D D二、填空题：每小题5分，共20分.13. 117 14. 5040 15._（2）（4）_ 16.__ 4 __.三、解答题：17.（2）依题意 2 2 2 2 21 1 sin 12 12cos4S AB AD A A    ， 2 2 2 2 22 1 sin 4 4cos4S BC CD C C    ，所以  22 2 2 2 21 2 12 12cos 4 4cos 16 4 cos 1 4cosS S A C C C        22 18cos 8cos 12 8 cos 142C C C         ，因为2 3 2 4BD   ，所以  28 8cos 16 8 3,16C BD    .解得 1 cos 3 1C    ，所以 2 21 2 14S S  ，当 1cos 2C  时取等号，即 2 21 2S S 的最大值为14.高三理科数学参考答案 第 2 页（共 6页）18.解： （1） ∵ 22 45 15 16 10 4 7.287 6.63525 20 19 26K       ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”（ⅱ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，由题意可知  20,0.6Y B故   12E Y  ，   4.8D Y  .19.所以四边形EFDC为平行四边形，所以 / /CE DF，所以CE 平面PAB．高三理科数学参考答案 第 3 页（共 6页）（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则 / /OG AB，因为AB 平面PAD， AD 平面PAD，所以AB AD ，所以OG AD ．因为 3EC  ，由（Ⅰ）知， 3,DF  又因为 4AB  ，所以 2AD  ，所以 2 2 22 2 2 2 3 2,AP AF AD DF     所以 APD 为正三角形，所以PO AD ，因为AB 平面PAD， PO平面PAD，所以AB PO ．又因为AD AB A  ，所以PO平面ABCD．故 , ,OA OG OP两两垂直，可以点O为原点，分别以 , ,OA OG OP  的方向为 , ,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示． 0,0, 3P ，    1,2,0 , 1,0,0C D  ， 1 3,2,2 2E    ，所以  1,0, 3PD    ，  1,2, 3PC    ， 3 3,0,2 2EC        ，高三理科数学参考答案 第 4 页（共 6页）20.解： （1）设  ,S x y ，依题意有：  2 21 22 2x yx   整理得E的方程为 2 2 12x y  .（2）假设在线段OF上是否存在点  ,0M m ，使得  0MP MQ PQ     ∵直线l与x轴不垂直，∴设 :l  1y k x  ，  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ， 1 2x x ，由  2 2 1{ 12y k xx y   得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k     ，∴ 21 2 241 2kx x k   ， 21 2 22 21 2kx x k  .因为  0MP MQ PQ     ，∴ MP MQ （说明：此处还可以用PQ与M 与PQ的中点连线的斜率成负倒数关系）∴   2 22 21 1 2 2x m y x m y     ∴   2 22 21 21 21 12 2x xx m x m      ∴  21 2 2 21 14 1 2 2 2 1 2x x km k k    ∴ 10 2m  ，∴存在点  ,0M m ， m的取值范围为 10, 2  .21.解 ：（2）   2ln 1x ag x x x x   ， 21,x e  ，∴   2 2 3 31 1 1 2 2 ln 2nx a x x x ag x x x x x      .设   2 ln 2h x x x x a   ，则    2 1 ln 1 lnh x x x     .由   0h x  ，得x e .当1 x e  时，   0h x  ；当 2e x e  时，   0h x  .∴  h x 在 1,e 上单调递增，在 2,e e 高三理科数学参考答案 第 5 页（共 6页）上单调递减.且  1 2 2h a  ，   2h e e a  ，  2 2h e a .显然    21h h e .结合函数图像可知，若  g x 在 21,e  上存在极值，则    0{ 1 0h eh  或   21 0{ 0hh e  .（ⅰ）当    0{ 1 0h eh  ，即1 2ea  时，则必定 21 2, 1,x x e   ，使得    1 2 0h x h x  ，且 21 21 x e x e    .当x变化时，  h x ，  g x ，  g x 的变化情况如下表：∴当1 2ea  时，  g x 在 21,e  上的极值为    1 2,g x g x ，且    1 2g x g x .∵   1 1 1 11 2 21 1 1 1ln ln1x x x x aag x x x x x     .设   lnx x x x a    ，其中1 2ea  ， 1 x e  .∵   ln 0x x   ，∴  x 在 1,e 上单调递增，    1 1 0x a     ，当且仅当 1x 时取等号.∵ 11 x e  ，∴  1 0g x  .∴当1 2ea  时，  g x 在 21,e  上的极值    2 1 0g x g x  .高三理科数学参考答案 第 6 页（共 6页）22.解：试题分析：（１）先将参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程；（２）借助参数方程的几何意义直接求解：（1）∵由 5{ 3 5x cosy sin  得  22 3 5x y   ，即 2 2 6 4 0x y y   所以曲线C的极坐标方程为： 2 6 sin 4 0p p   23.解：（1）根据题意可得  f x x a  恒成立，即 2 13 x x a   ，化简得 3 3 32 2 2x x a   ，而 3 3 32 2 2x x   是恒成立的，所以3 32 2 a ，解得 1a ；（ 2 ）  2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 21 1 13 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3f x x x x y y x y y                               ，所以   23f x  .高三理科数学试题第 1 页（共 6页）三明一中2017—2018学年第二学期入学考试高三理科数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．若复数 1 2,z z 在复平面内对应的点关于x轴对称，且 1 1 2z i  ，则 12zz （ ）A. 4 35 5i  B. 3 45 5i  C. 1 32 2i  D. 1 32 2i 2．设集合   2 2{ , | 1}4 16x yA x y   ，  { , | 3 }xB x y y  ，则A B 的子集的个数是（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 163．若实数 ,x y满足约束条件 002 2xyx y    ，则 2z x y  的最大值是（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 44．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色.将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）A. 16 B. 13 C. 12 D. 565．已知O是 ABC 所在平面内一点， D为BC边中点，且2 0OA OB OC     ，那么（ ）A. AO OD B. 2AO OD C. 3AO OD D. 2AO OD6．已知    sin ( 0, 0)f x x          的最小正周期是x，将  f x 图象向左平移 3 个单位长度后所得的函数图象过点  0,1P ，则    sinf x x   （ ）A.在区间 ,6 3    上单调递减高三理科数学试题第 2 页（共 6页）B.在区间 ,6 3    上单调递增C.在区间 ,3 6    上单调递减D.在区间 ,3 6    上单调递增7．按下图所示的程序框图，若输入 110011a ，则输出的b（ ）A.45 B.47 C.49 D.518．设  0.3 2 22 , 0.3 , log 0.3 ( 1)xa b c x x     ，则, ,a b c的大小关系是（ ）A. a b c  B. c b a C. b a c  D. b c a 9．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a，则该三棱锥的表面积为（ ）A. 2a B. 23a C. 236 a D. 22 3a10．已知 2 4y x 抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于 ,A B两点，则 2AF BF 的最小值为（ ）A. 2 2 2 B. 56 C. 33 22 D. 2 3 211．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯((Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH， AB为地面直径，顶角为2，那么不过顶点P的平面；与PH夹角 2 a   时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a  时，截口曲线为抛物线；与PH夹角 0a   时，截口曲线为双曲线.如图，底面内的直线AM AB ，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴顶点的轨迹为（ ）A.圆的部分 B.椭圆的部分 C. 双曲线的部分 D.抛物线的部分高三理科数学试题第 3 页（共 6页）12．设曲线   xf x e x  （e为自然对数的底数）上任意一点的切线为 1l ，总存在曲线  3 2cosg x ax x  上某点处切线 2l ，使得 1 2l l ，则实数a的取值范围为（ ）A.  1,2 B.  3, C. 2 1,3 3    D. 1 2,3 3   第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．13． 42 1 3x x     的展开式中常数项是 ．14．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 ．（用数字作答）15．下列共用四个命题.（1）命题“ 0x R  ， 20 01 3x x  ”的否定是“ x R  ， 2 1 3x x  ”；（2）在回归分析中，相关指数 2R 为0.96的模型比 2R 为0.84的模型拟合效果好；（3） ,a b R ， :p a b ， 1 1 0b a  ，则p是q的充分不必要条件；（4）已知幂函数    2 3 3 mf x m m x   为偶函数，则  2 4f   .其中正确的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）16．已知  0 2 1nna x dx  ，  *n N ，数列 1na   的前n项和为 nS ，数列 nb 的通项公式为8nb n  ，则 n nb S 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）四边形ABCD如图所示，已知 2AB BC CD   ， 2 3AD .（Ⅰ）求 3cos cosA C 的值；（Ⅱ）记 ABD 与 BCD 的面积分别是 1S 与 2S ，求 2 21 2S S 的最大值.高三理科数学试题第 4 页（共 6页）18．（本小题满分12分）18．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占 813，统计成绩后，得到如下的2 2 列联表：分数大于等于120分 分数不足120分 合计周做题时间不少于15小时 4 19周做题时间不足15小时合计 45（Ⅰ）请完成上面的2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差. 2 0P K k 0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828附：      22 n ad bcK a b c d a c b d    高三理科数学试题第 5 页（共 6页）19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD 的底面是梯形，且 / /AB CD, AB平面PAD， E是PB中点， 12CD PD AD AB   ．（Ⅰ）求证： CE平面PAB；（Ⅱ）若 3CE ， 4AB ，求直线CE与平面PDC所成角的大小．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，动点S到点  1,0F 的距离与到直线 2x 的距离的比值为 22 .（Ⅰ）求动点S的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F作与x轴不垂直的直线l交轨迹E于P， Q两点，在线段OF上是否存在点 ,0M m ，使得  0MP MQ PQ     ？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数   ln 1af x x x   ， a R .（Ⅰ）若关于x的不等式   1 12f x x  在 1, 上恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数    f xg x x ，若  g x 在 21,e  上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负.高三理科数学试题第 6 页（共 6页）注意：请考生在22、23题两题中任选一道．．．．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为： 5cos3 5sinxy      （其中为参数）.（Ⅰ）以坐标原点为极点， x轴的正半轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为： cossinx t ay t a  （其中t为参数），直线l与曲线C分别交于 ,A B两点，且 | 2 3AB  ，求直线l的斜率.23．选修4-5：不等式选讲已知函数   2 13f x x  .（Ⅰ）若不等式  f x x a  恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若对于实数 ,x y，有 11 3x y   ， 1 23 3y  ，求证：   23f x  .