1、2.2.2 间接证明双基达标 限时 15 分钟1某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 f(x)在0,1上有意义，且 f(0)f (1)，如果对于不同的 x1，x 20,1，都有|f(x 1)f(x 2)|x 1x 2|，求证：|f(x1)f( x2)| ，那么他的反设应该是_12解析 该命题为全称命题，其否定为特称命题答案 “存在 x1，x 20,1，使得| f(x1)f(x 2)| x1x 2|且| f(x1)f(x 2)| ”122用反证法证明命题“如果 a，bN，ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有一个是 5 的倍数，假设的内容是_ ”解析 只否定命题的结论，不能对命题的条件加
2、以否定答案 a、b 都不能被 5 整除3用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C 180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析 反证法的步骤是提出假设推出矛盾否定假设肯定结论答案 4应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用_(只填序号) 结论相反判断，即假设； 原命题的条件；公理、定理、定义等； 原结论答案 5用反证法证明某命题时，对结论“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设为_解析 “自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”在反设时以为
3、a，b，c 中的偶数不是一个，可能为 2 个，3 个或 0 个，即 a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数答案 a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数6已知函数 f(x)是(， )上的增函数，a，b R，对命题“ab0，则f(a)f( b)f(a) f( b)”写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论解 逆命题：若 f(a)f (b)f(a)f(b)，则 ab0( 真命题) 证明如下：假设 ab0，x 21 且 xn1 ，证明对任意正整数 n 都x3n 3xn3x2n 1有 xnxn1 ”，当此题用反证法否定结论时应是_ 解析 对任意正整数 n，都有 xnxn1 的反设为存在正整数 n 使 xn
4、x n1 .答案 存在正整数 n，使 xnx n18有以下结论：已知 p3q 32，求证 pq2，用反证法证明时，可假设 pq2；已知 a，bR，|a|b|2；正确答案 9若下列两个方程 x2( a1) xa 20，x 22ax 2a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_解析 若方程没有一个有实根，则Error!解得：2 a1故至少有一个有实根时 a1 或 a2.答案 (，2 1，)10用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设是 _解析 “至多有一个”即要么一个也没有，要么有一个，故反设为至少有两 个答案 三角形的内角中至少有两个钝角11已知 a，b 为实数，且
5、 xa 2ab，y b 2ab.求证：x，y 中至少有一个不小于 0.证明 假设 x，y 都小于 0，即 x0，y0 ，xy0.另一方面，x y a 2ab b 2aba 22abb 2(ab) 0.与矛盾故 x，y 中至少有一个不小于 0.12如图所示，已知ABC 是锐角三角形，直线 SA平面 ABC，AH平面 SBC，求证：H 不可能是SBC 的垂心证明 假设 H 是SBC 的垂心，则 BH SC，又AH平面 SBC，又 SC平面 SBC.AH SC.AH BH H，SC 平面 ABH，又 AB平面 ABH，SC AB.又因为 SA平面 ABC，AB平面 ABC，ABSA ，又 AB SC
6、，又 SASCS，AB平面 SAC，AB AC.即A90.这与ABC 为锐角三角形矛盾，所以假设不成立所以 H 不可能为SBC 的垂心13(创新拓展) 设函数 f(x)ax 2bxc (a0)中，a，b，c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数求证：f( x)0 无整数根证明 假设 f(x)0 有整数根 n，则 an2bnc 0(nZ)而 f(0)，f(1)均为奇数，即 c 为奇数，ab 为偶数，则 a，b，c 同时为奇数或 a，b 同时为偶数，c 为奇数，当 n 为奇数时，an 2bn 为偶数；当 n 为偶数时，an2bn 也为偶数，即 an2bnc 为奇数，与 an2bnc 0 矛盾f(x)0 无整数根
