1、第 2 章 推理与证明21 合情推理与演绎推理21.1 合情推理双基达标 限时 15 分钟1经计算发现下列不等式： 2 ， 2 ， 2 ，根据2 18 10 4.5 15.5 10 3 2 17 2 10以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a，b 成立的条件不等式_答案 若 ab20，则 2 (其中 a，b 为正实数)a b 102观察下列等式：C C 2 3 215 5C C C 2 72 319 59 9C C C C 2112 513 513 913 13C C C C C 2 152 717 517 917 137 17由以上等式推测到一个一般的结论：对于 nN *，C C C C
2、_.14n 1 54n 1 94n 1 4n 1解析 由类比推理，每一个等式的结论由两项组成，第一项 2 的指数为(4n1)2 4n1，第二项前有(1) n，指数为 2n1，即有 24n1 (1)n22n1 .答案 2 4n1 (1) n22n13若三角形的内切圆半径为 r，三边的长分别为 a，b ，c，则三 角形的面积 S r(abc )，根据类比思想，若四面体的内切球半径为 R，四个面的面积12分别为 S1，S 2，S 3，S 4，则此四面体的体积 V_.解析 运用分割法思想，设四面体 S ABC 的内切球的球心为 O，连接OS、OA 、OB、OC ，将四面体分成四个三棱维，则 VS AB
3、CV O SACV O SABV O SBCV O ABC S1R S2R S3R S4R (S1S 2S 3S 4)R.13 13 13 13 13答案 (S1S 2S 3S 4)R134在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_解析 .V1V213S1h113S2h2 (S1S2)h1h2 14 12 18答案 185观察下列各式918,16412,25916,361620，.这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示为_答案 (n2) 2n 24n4(nN *
4、)6若数列 an的通项公式 an ，记 f(n)(1 a 1)(1a 2)(1a n)，1n 12试通过计算 f(1)，f (2)，f(3)的值，推测出 f(n)的值解 f(1)1 a11 ，14 34f(2)(1a 1)(1a 2)f(1) (1 19) ，3489 23 46f(3)(1a 1)(1a 2)(1a 3)f(2) (1 116) .231516 58由此猜想，f(n) .n 22n 1综 合 提 高 限 时 30分 钟 7将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10按照以上排列的规律，第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为_解析 前 n1 行共有正整
5、数 123(n1)个，即有 个，因此n2 n2第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3 个，即为 .n2 n2 n2 n 62答案 n2 n 628对于等差数列a n有如下命题： “若a n是等差数列， a10，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s1)a t(t1)a s0” 类比此命题，给出等比数列b n相应的一个正确命题是：“_”答案 若 bn是等比数列， b11，s、t 是互不相等的正整数，则有 1bs 1tbt 1s9由图(1)有面积关系： ，则由图(2)有体积关系：S PA BS PAB PA PBPAPBVPA B CVPABC_.解析 由三棱锥的体积公式 V Sh 及相似比可
6、知：13 .VPA B CVPABC PA PB PCPAPBPC答案 PA PB PCPAPBPC10五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的是 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为_解析 这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即有 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，将该数列的每一项除以 3 得余数分别为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,
7、0,2,2,1,0，由此可见余数的变化规律是按 1,1,2,0,2,2,1,0 循环，周期是 8，且一个周期中第四个数与第八个数都是 3 的倍数，即在三个周期中有 6 个报出的数是3 的倍数，后面 6 个数中除以 3 的余数为 1,1,2,0,2,2，只有一个是 3 的倍数，故共有 7 个是 3 的倍数，共拍手 7 次答案 711从大、小正方形的数量关系上，观察如右图所示的几何图形，试归纳可得出什么结论？解 从大、小正方形的数量关系上，容易发现11 2，13222 2，135333 2，1357444 2，13579555 2，1357911666 2.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1
8、357(2n1)n 2.12在等差数列a n中，若 a100，则有a1a 2a na 1a 2a 19n (n19，nN )成立类比上述性质，相应地，在等比数列b n中，若 b91，则有怎样的等式成立？解 由此，猜测本题的答案为 b1b2bnb 1b2b17n (n17，nN )事实上，对于等差数列a n，如果 ak0，则an1 a 2k1 na n2 a 2k2n a ka k0.所以有a1a 2a na 1a 2a n(a n1 a n2 a 2k2n a 2k1n )(n2k1，nN )从而对等比数列b n，如果 bk1，则有等式b1b2bnb 1b2b2k1n (n2k1，nN )成立
9、b 91，b 1b2bnb 1b2b17n (n17，nN )成立13(创新拓展) 我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；探索等和数列a n的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明；在等和数列a n中，如果 a1a，a 2b，求它的前 n 项的和 Sn.解 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列由知 ana n1 a n1 a n2 ，a n2 a n，等和数列的奇数项相等，偶数项也相等当 n 为奇数时，令 n2k1，k N ，则SnS 2k1 S 2k2 a 2k1 (ab) a2k 22 (ab)a a b，n 12 n 12 n 12当 n 为偶数时，令 n2k，k N ，则SnS 2kk( ab) (ab )n2它的前 n 项的和SnError!
