1、32 空间向量的应用32.1 直线的方向向量与平面的法向量学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义 .2.会用待定系数法求平面的法向量知识链接1平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答：相互平行2一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答：不惟一，它们相互平行，但不一定相等预习导引1直线的方向向量直线 l 上的向量 e(e0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量2平面的法向量如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作n，此时，我们把向量 n 叫做平面 的法向量.要点一 直线的方向向量及其应用例 1 设直线 l1
2、的方向向量为 a(1,2，2)，直线 l2的方向向量为 b(2,3，m )，若l1l 2，则 m_.答案 2解析 由题意，得 ab，所以 ab(1,2，2)(2,3，m) 262m42m0，所以m2.规律方法 若 l1l 2，则 l1与 l2的方向向量垂直；若 l1 l2，则 l1与 l2的方向向量平行跟踪演练 1 若直线 l1，l 2的方向向量分别是 a(1，3，1)，b(8,2,2)，则 l1与 l2的位置关系是_答案 垂直解析 因为 ab(1，3， 1)(8,2,2)8620，所以 a b，从而 l1l 2.要点二 求平面的法向量例 2 已知点 A(a,0,0)、B(0，b,0)、C(0
3、,0，c) ，求平面 ABC 的一个法向量解 设坐标原点为 O，由已知可得： AB OB OA (0，b,0) (a,0,0)(a，b,0)， (0,0，c)(a,0,0)( a,0，c )AC OC OA 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 n ( x，y ，z)(a，b,0)axby0，AB n (x，y，z)( a,0，c )axcz0.AC 于是得 y x，z x.ab ac不妨令 xbc，则 yac，zab.因此，可取 n(bc ，ac，ab) 为平面 ABC 的一个法向量规律方法 平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，
4、构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴跟踪演练 2 如图，ABCD 是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SA ABBC1，AD ，求平面 SCD 与平面 SBA 的法向量12解 AD、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，以 A 为原点，以 、 、 的方向为 x 轴，AD AB AS y 轴，z 轴的正方向建立如图所示坐标系，则 A(0,0,0)，D( ，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1) ，12( ，0,0) 是平面 SBA 的法向量，AD 12设平面 SCD 的法向量 n(1 ， ，u) ，有 n ，n ，DC D
5、S 则 n (1， ，u)( ，1,0) 0， .DC 12 12 12n (1，u)( ，0,1) u0，DS 12 12u ，n(1， ， )12 12 12要点三 证明平面的法向量例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点求证： 是平面 ADE 的法向量D1F 证明 如图，以 D 为坐标原点， DA，DC，DD 1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0,0,0)，D 1(0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1， )，F(0 ，0)，12 12所以 ( 1,0,0)， (0，1)， (0,1 ， )，AD D1
6、F 12 AE 12所以 (1,0,0)(0，1) 0，AD D1F 12 (0,1， )(0，1)0，AE D1F 12 12所以 ， ，又 ADAEA，AD D1F AE D1F 所以 平面 ADE，D1F 从而 是平面 ADE 的法向量D1F 规律方法 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直跟踪演练 3 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在 BC、DD 1上是否存在点 E、F，使是平面 ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点 E、F 满足的条件；若不存在，B1E 请说明理由解
7、建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,1)，B(1,1,1)，B 1(1,1,0)，设 F(0,0，h)， E(m,1,1)，则 (0,1,0)， (m 1,0,1)， (1,0,1h) AB B1E FA 0，ABB 1E.若 是平面 ABF 的法向量，AB B1E B1E 则 m11hmh0，hm .即 E、F 满足 D1FCE 时， 是平面 ABF 的B1E FA B1E 法向量故存在，且 E、F 满足 D1FCE.1已知 a(2,4,5)，b(3， x，y) 分别是直线 l1、l 2的方向向量若 l1l 2，则x_，y _.答案 6 152解析 由 l1l 2得， ，解得 x6
8、，y .23 4x 5y 1522若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为_答案 (1,2,3)解析 (2,4,6)，而与 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量AB AB 3若 a(1,2,3)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是_(0,1,2) (3,6,9) (1，2,3) (3,6,8)答案 解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线4若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m, 1)，平面 的法向量为 (1，2)，则 m_.12答案 8解析 l，平面 的法向量为(1 ，2)，12(2，m,1)(1，2)0.12
9、2 m20.m8.121.直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线若有直线 l，点 A 为直线上的点，向量 a 是 l 的方向向量，在直线 l 上取 a，则对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使 t ，这样，AB AP AB 点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置还可以具体地表示出直线 l 上的任意点2平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为 n(x，y ，z) (2)找出(求出) 平面内的两个不共线的向量的坐标a(a 1，b 1，c 1)，b(a 2，b 2，c
10、2)(3)根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组Error!(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量一、基础达标1在空间直角坐标系 Oxyz 中，下列向量中不是 y 轴方向向量的序号是_(0,1,0)；(0，1,0)；(0,2,0)；(0,1,1) 答案 解析 y 轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k0)，所以只有 (0,1,1) 不是 y 轴方向向量2设平面 的法向量为(1,2，2) ，平面 的法向量为( 2，4，k)，若 ，则k_.答案 4解析 (2，4，k) (1,2，2) ，2，k4.3在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 xOy 的一个法向量是 _答案 (0,0,1)解析
11、 答案不惟一，只要与向量(0,0,1)平行的非零向量都可以4在空间直角坐标系 Oxyz 中，法向量 (1,0,0)对应的坐标平面是_答案 yOz 平面解析 因为向量(1,0,0)平行于 x 轴，所以对应的坐标平面是垂直于 x 轴的平面5在空间直角坐标系 Oxyz 中，设平面 经过点 P(1,0,0)，平面 的法向量为 e(1,0,0) ，M(x，y，z )为平面 内任意一点，则 x，y，z 满足的关系是_答案 x1解析 由题意可知 e 0，代入坐标计算即可得 x1.PM 6已知 A(1,0,0)，B(0,1,0) ，C(0,0,1)，则平面 ABC 的单位法向量坐标为_答案 ( ， ， )或(
12、 ， ， )33 33 33 33 33 33解析 设单位法向量 n0(x ， y，z) ， ( 1,1,0)， (1,0,1) AB AC 由 n0 0，且 n0 0 得AB AC Error!解得Error!或Error!7已知平面 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，1) ，C (3，2,0)，试求平面 的一个法向量解 A(1,2,3)，B(2,0，1)，C (3，2,0)， (1 ，2，4)， (2，4，3) ，AB AC 设平面 的法向量为 n(x ，y，z) 依题意，应有 n 0，n 0.AB AC 即Error!解得Error!令 y1，则 x2.平面 的一个法向量为 n(2
13、,1,0)二、能力提升8已知点 A、B、C 的坐标分别是(0,1,0) 、(1,0,1)、(2,1,1)，点 P 的坐标为( x,0，z)，若 PA ， ，则点 P 的坐标为_AB PA AC 答案 ( ，0， )13 23解析 A(0,1,0)，B(1,0,1)，C (2,1,1)，P(x,0，z)， (1，1,1)， (2,0,1)， ( x, 1，z) AB AC PA ， ，PA AB PA AC (x,1，z )(1，1,1)0，PA AB ( x,1，z)(2,0,1) 0，PA AC Error!Error!点 P 的坐标为( ，0， )13 239若不重合的两个平面的法向量分别
14、是 a(3，3，3) ，b(1,1,1)，则这两个平面的位置关系是_答案 平行解析 因为 a3b，所以 a b，所以这两个平面平行10不重合的直线 l1，l 2的方向向量分别为 a，b，且 a (2,3，1)，b(6，9,3) ，则l1，l 2的位置关系是_答案 平行解析 因为 b3a，所以 a b，所以 l1l 2.11ABC 中，A(1 ，1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设 M(x，y，z)是平面 ABC 上任一点(1)求平面 ABC 的一个法向量；(2)求 x，y，z 满足的关系式解 (1)设平面 ABC 的法向量 n(a，b，c)， (2,4 ，1)， (2,2,1)，A
15、B AC Error!Error!故可取 n( 3,2,2)平面 ABC 的一个法向量为 n(3,2,2)(2)点 M(x，y，z)是平面 ABC 上任一点，3(x 1)2(y 1)2(z 2)0.3x2y2z10.这就是所求的 x、y 、z 满足的关系式12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求证： 是平面 B1D1C 的法向量AC1 证明 如图，以 D 为坐标原点， DA、DC、DD 1分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)所以 (1,1,1)， (1,
16、1,0)， (1,0,1) ，AC1 D1B1 CB1 所以 ( 1,1,1)(1,1,0)0，AC1 D1B1 ( 1,1,1)(1,0,1)0，AC1 CB1 所以 ， ，AC1 D1B1 AC1 CB1 又 B1D1CB 1B 1，所以 是平面 B1D1C 的法向量AC1 三、探究与创新13.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱 )ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别为 A1B1，A 1A 的中点(1)求 BN 的长；(2)求 与 夹角的余弦值；BA1 CB1 (3)求证： 是平面 C1MN 的一个法向量BN (1)解 如图所示，以 CA、CB、CC
17、 1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得 B(0,1,0)，N (1,0,1)，| |BN (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 ，3线段 BN 的长为 .3(2)解 依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B 1(0,1,2)， (1 ，1,2)， (0,1,2)，BA1 CB1 1 0(1)1223.BA1 CB1 又| | ， | | ，BA1 6 CB1 5cos ， .BA1 CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 3010(3)证明 依题意得 A1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N(1,0,1)M ， ， (1,0，1)，(12，12，2) C1M (12，12，0) C1N (1，1,1)，BN 1 (1)100，C1M BN 12 12 11 0(1)(1)10.C1N BN ， ，又 C1MC 1NC 1，C1M BN C1N BN 平面 C1MN.BN 是平面 C1MN 的一个法向量BN
