1、13 全称量词与存在量词1.3.1 量 词学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性知识链接下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2) 与(4)之间有什么关系？(1)x3；(2)2x1 是整数；(3)对所有的 xR，x 3；(4)对任意一个 xZ,2x 1 是整数答：语句(1)(2)含有变量 x，由于不知道变量 x 代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题语句(3)在(1) 的基础上，用短语“对所有的”对变量 x 进行限定；语句(4)在(
2、2) 的基础上，用短语“对任意一个”对变量 x 进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题预习导引1全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有” “每一个” “任意”在逻辑中通常叫做 全称量词，并用符号“”表示(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题全称命题 “对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为xM，p( x)，读作“对任意 x 属于 M，有 p(x)成立” 2存在量词和存在性命题(1)存在量词：短语“存在一个” “有一个” “有些”在逻辑中通常叫做 存在量词，并用符号“”表示(2)存在性命题：含有存在量词的命题叫做存在性命题存
3、在性命题 “存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为 x 0M ，p(x 0)，读作“存在 M 中的一个元素 x0，使 p(x0)成立”.要点一 全称量词与全称命题例 1 试判断下列全称命题的真假：(1)xR，x 220 ；(2) xN ，x 41；(3)对任意角 ，都有 sin2cos 21.解 (1)由于xR，都有 x20，因而有 x2220，即 x220，所以命题“xR，x 220”是真命题(2)由于 0N，当 x0 时，x 41 不成立，所以命题“xN，x 41”是假命题(3)由于R ，sin 2cos 21 成立所以命题“对任意角 ，都有 sin2cos 21”是
4、真命题规律方法 判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立判断全称命题为假时，可以用反例进行否定跟踪演练 1 判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)xR，x 211；(3)对每一个无理数 x，x 2也是无理数解 (1)2 是素数，但 2 不是奇数所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题(2)xR，总有 x20，因而 x211.所以，全称命题“xR ，x 211”是真命题(3) 是无理数，但( )22 是有理数2 2所以，全称命题“对每一个无理数 x，x 2也是无理数”是假命题要点二 存在量词与存在性命题例 2 判断下列命题的真假：(1)x 0Z，x 1，2不存
5、在 x0R，使 cosx0 ，2原命题是假命题规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可跟踪演练 2 判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数 x0，使 x 2x 030；20(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数解 (1)由于xR，x 22x3(x1) 222，因此使 x22x30 的实数 x 不存在所以，存在性命题“有一个实数 x0，使 x 2x 030”是假命题20(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线所以，存在性命题“存在两个相交平面垂
6、直于同一条直线”是假命题(3)由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3，所以存在性命题 “有些整数只有两个正因数”是真命题要点三 全称命题、存在性命题的应用例 3 (1)对于任意实数 x，不等式 sinxcos xm 恒成立求实数 m 的取值范围；(2)存在实数 x，不等式 sinx cosxm 有解，求实数 m 的取值范围解 (1)令 ysinx cosx ，x R，ysin xcosx sin(x ) ，24 2又xR，sin xcosxm 恒成立，只要 mm 有解，只要 m0；对于任意实数 x,2x1 是奇数下列说法正确的是_是假命题 是存在性命题 是真命题 是真命题答案 解析 为全
7、称命题；为存在性命题；为真命题；为假命题2下列命题中，不是全称命题的是_任何一个实数乘以 0 都等于 0；自然数都是正整数；每一个向量都有大小；一定存在没有最大值的二次函数答案 解析 是存在性命题3下列存在性命题是假命题的是_存在 xQ，使 2xx 30；存在 xR ，使 x2x1 0；有的素数是偶数；有的有理数没有倒数答案 解析 对于任意的 xR ，x 2x1(x )2 0 恒成立12 344用量词符号“” “”表述下列命题：(1)凸 n 边形的外角和等于 2；(2)有一个有理数 x0满足 x 3.20解 (1)xx| x 是凸 n 边形 ，x 的外角和是 2.(2)x 0Q，x 3.201
8、.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题一、基础达标1下列命题：中国公民都有受教育的权利；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发明创造；任何一个数除 0，都等于 0.其中全称命题的个数是_答案 3解析 命题都是全称命题2下列命题中的假命题是
9、_xR，lgx0；x R，tanx 1；xR，x 30；xR, 2x0.答案 解析 对于，当 x1 时，lgx0，正确；对于，当 x 时，tanx1，正确；对于，4当 x0 时，x 30，错误；对于，x R, 2x0，正确3下列命题中存在性命题的个数是_有些自然数是偶数；正方形是菱形；能被 6 整除的数也能被 3 整除；对于任意xR，总有|sinx |1.答案 1解析 命题含有存在量词；命题可以叙述为“所有的正方形都是菱形” ，故为全称命题；命题可以叙述为“一切能被 6 整除的数都能被 3 整除” ，是全称命题；而命题是全称命题故有一个存在性命题4下列全称命题中真命题的个数为_负数没有对数；对
10、任意的实数 a，b，都有 a2b 22ab；二次函数 f(x)x 2ax 1 与 x 轴恒有交点；xR，yR，都有 x2|y|0.答案 3解析 为真命题，当 xy0 时，x 2|y| 0，故为假命题5给出以下命题：xR，有 x4x2；R，使得 sin33sin ；aR，对xR，使得 x22xa3，x a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案 (，3解析 对任意 x3，x a 恒成立，即大于 3 的数恒大于 a，a3.10下面四个命题：xR，x 23x20 恒成立；xQ ，x 22；xR，x 210；xR,4x 22x13x 2.其中真命题的个数为_答案 0解析 x 23x20 ，( 3)24
11、20，当 x2 或 x0 才成立，为假命题当且仅当 x 时，x 22，不存在 xQ ，使得 x22 ，为假命题2对xR，x 210，为假命题4x2(2 x13x 2)x 22x 1(x1) 20，即当 x1 时，4x 22x 13 x2成立，为假命题均为假命题11已知命题 p：x1,2，x 2a0，命题 q：x 0 R，x 2ax 02a0.若命题20“pq”是真命题，求实数 a 的取值范围解 x1,2，x 2a0，即 ax 2，当 x1,2时恒成立，a1.x 0R，x 2ax 02a0，20即方程 x22ax2a0 有实根，4 a24(2 a) 0.a2 或 a1.又 pq 为真，故 p、q
12、 都为真，Error!即 a2 或 a1，实数 a 的取值范围为a|a2 或 a1 12已知函数 f(x)x 22x 5.(1)是否存在实数 m，使不等式 mf(x)0 对于任意 xR 恒成立？并说明理由；(2)若存在实数 x，使不等式 mf(x)0 成立，求实数 m 的取值范围解 (1)不等式 mf(x )0 可化为 mf(x)，即 mx 22 x5(x1) 24.要使 m(x1)24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可故存在实数 m 使不等式 mf(x)0 对于任意xR 恒成立，此时 m4.(2)不等式 m f(x)0 可化为 mf(x)若存在实数 x 使不等式 mf(x)成立，只需
13、 mf(x)min.又 f(x)(x1) 24，f(x )min4，m 4.故所求实数 m 的取值范围是 (4，)三、探究与创新13若xR，函数 f(x)mx 2x m a 的图象和 x 轴恒有公共点，求实数 a 的取值范围解 (1)当 m 0 时，f(x )x a 与 x 轴恒相交，所以 aR；(2)当 m0 时，二次函数 f(x)mx 2xma 的图象和 x 轴恒有公共点的充要条件是1 4m(m a)0 恒成立，即 4m24am 10 恒成立又 4m24am10 是一个关于 m 的二次不等式，恒成立的充要条件是 (4a) 2160，解得1a1.综上所述，当 m0 时，a R；当 m0 时，a1,1
