2018年河南省郑州市第一中学高三上学期第二次入学考试数学（理）试题 PDF版.zip

18届高三一轮复习理科数学单元检测（一）参考答案 一、 选择题 ： CACAB, BDCAC, AC 二、填空题 : 13. 2 2 14.①②④ 15. 92 16. 863三、解答题 17 解：（ Ⅰ ）当 2n 时， 1 21nnaS ， 121nnaS 两式相减得： 112 ( ) 2n n n n na a S S a    1 3nnaa 1 1a ， 2 1 12 1 2 1 3a S a     ，即 21 3a{}na 是以 1为首项，以 3 为公比的等比数列 . 从而 13nna  （ Ⅱ ） 32lognnca ， 21ncn   ， 2 23ncn      1 1 1 1()2 1 2 3 4 2 1 2 3nb n n n n      ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1()4 1 5 3 7 5 9 2 3 2 1 2 1 2 3nT n n n n             1 1 1 1= (1 )4 3 2 1 2 3nn   1 1 1 1= ( )3 4 2 1 2 3nn 由于 nT 随着 n 的增大而增大，所以 nT 最小值为1 15T 所求  的取值范围为： 1518.证明：（ 1）连结 BC1， B1C，交于点 O，连结 OD， ∵ 三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形， D 是 A1C1 的中点， ∴ OD∥ A1B， ∵ A1B⊄平面 B1DC， OD⊂ 平面 B1DC， ∴ A1B∥ 平面 B1DC． （ 2） ∵ 三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形， D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥ 平面 ABC， AA1=3． ∴ 以 D 为原点， DC1 为 x 轴， DB1 为 y 轴，过 D 作平面A1B1C1 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（ 0， 0， 0）， B1（ 0， ， 0）， C（ 1， 0， 3）， C1（ 1， 0， 0）， =（﹣ 1， ，﹣ 3）， =（﹣ 1， 0，﹣ 3）， =（ 0， 0，﹣ 3），设平面 B1DC 的法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=1，得 =（﹣ 3， 0， 1）， 设平面 B1CC1 的法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 b=1，得 =（ ）， 设二面角 D﹣ B1C﹣ C1 的平面角为 θ， 则 cosθ= = = ． ∴ 二面角 D﹣ B1C﹣ C1 的余弦值为 ． 19.解：（ I）设一天生产的 2 件产品都为一等品为事件 A，则 P（ A） =0.52=0.25， ∴ 在连续生产的 3 天中，恰有两天生产的 2 件产品都为一等品的概率 P=0.25×0.25×0.75× = ． （ II）设一天中生产的 2 件产品中，有一件是一等品为事件 B，另一件是一等品为事件 C， 则 P（ BC） =P（ A） =0.25， P（ B） =0.5×0.5+0.5×0.4×2+0.5×0.1×2=0.75， ∴ 该厂某日生产的这种大型产品 2 件中有 1 件为一等品， 另 1 件也为一等品的概率为 P（ C|B） = = （ III） ξ 的可能取值为 8000， 7000， 6000， 2000， 1000，﹣ 4000， ξ 的分布列为 ： ξ 8000 7000 6000 2000 1000 ﹣ 4000 P E（ ξ） =8000× +7000× +6000× +2000× +1000× +（﹣ 4000） × =6000． 20． 解 :依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系 (如图所示 )，可得 B(1， 0， 0)， C(2， 2， 0)， D(0， 2， 0)，P(0， 0， 2)． C由 E为棱 PC 的中点，得 E(1， 1， 1)． (1)证明：向量 BE＝ (0， 1， 1)， DC＝ (2， 0， 0)，故 BE·DC＝ 0，所以 BE⊥ DC. (2)向量 BD＝ (－ 1， 2， 0)， PB＝ (1， 0，－ 2)． 设 n＝ (x， y， z)为 平面 PBD 的法向量，则n·BD＝ 0，n·PB＝ 0， 即 － x＋ 2y＝ 0，x－ 2z＝ 0. 不妨令 y＝ 1，可得 n＝ (2， 1， 1)为平面 PBD 的一个法向量 ． 于是有 cos〈 n， BE〉＝ n·BE|n|·|BE|＝ 26× 2＝ 33 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 33 . (3) 向量 BC＝ (1， 2， 0)， CP＝ (－ 2，－ 2， 2)， AC＝ (2， 2， 0)， AB＝ (1， 0， 0)． 由点 F 在棱 PC 上 ， 设 CF＝ λCP→ ， 0≤ λ≤ 1. 故 BF＝ BC＋ CF＝ BC＋ λCP→ ＝ (1－ 2λ， 2－ 2λ， 2λ)． 由 BF⊥ AC， 得 BF·AC＝ 0，因此 2(1－ 2λ)＋ 2(2－ 2λ)＝ 0， 解得 λ＝ 34，即 BF＝  － 12， 12， 32 .设 n1＝ (x， y， z)为平面 FAB 的法向量，则n1· AB＝ 0，n1· BF＝ 0， 即 x＝ 0，－ 12x＋ 12y＋ 32z＝ 0.不妨令 z＝ 1，可得n1＝ (0，－ 3， 1)为平面 FAB 的一个法向量 ． 取平面 ABP 的法向量 n2＝ (0， 1， 0)，则 cos〈 n1， n2〉＝ n1· n2|n1|· |n2|＝ － 310× 1＝－ 3 1010 .易知二面角 F ­ AB ­ P 是锐角，所以其余弦值为 3 1010 . 21.解：（Ⅰ）由 ( ) ln 2 2f x x ax a   , 可得 ( ) l n 2 2 , ( 0 , )g x x a x a x    , 则 1 1 2( ) 2 axg x axx   . 当 0a 时 , (0, )x  时， ( ) 0gx  ，函数 ()gx单调递增； 当 0a 时， 1(0, )2x a 时， ( ) 0gx  ，函数 ()gx单调递增； 1( , )2x a  时， ( ) 0gx  ，函数 ()gx单调递减； 所以，当 0a 时 ，函数 ()gx单调递增区间为 (0, ) ； 当 0a 时，函数 ()gx单调递增区间为 1(0, )2a ，单调递减区间为 1( , )2a  . （Ⅱ）由 (Ⅰ )知， (1) 0f  . 当 0a 时 , ()fx 是增函数，且当  0,1x 时， ( ) 0fx  ， ()fx单调递减； 当 (1, )x  时， ( ) 0fx  ， ()fx单调递增 . 所以 ()fx在 1x 处取得极小值，且 m in ( ) (1) 1 1f x f a    ， 所以 1201xx   . 22 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) l n ( 2 1 )f x f x f x f x x x a x a x        21 1 1 1[ ( 2 ) l n ( 2 ) ( 2 + 2 1 ) ( 2 ) ]x x a x a x      ） （ 1 1 1 1 1l n ( 2 ) l n ( 2 ) 2 (x x x x x     -1 ）. 令 1 1 1 1 1 1( ) l n ( 2 ) l n ( 2 ) 2 (h x x x x x x     -1 ），则  21 1 1 1 1 1( ) l n l n ( 2 ) l n ( 2 ) l n [ ] 0h x x x x x x        -1， 于是 1()hx 在（ 0,1）上单调递减，故 1( ) (1) 0h x h， 由此得 21( ) (2 ) 0f x f x  即 21( ) (2 )f x f x. 因为 122 1, 2 1xx  ， ()fx在 (1, ) 单调递增， 所以 212xx 即 122xx. 22.解：（ Ⅰ ）将 y= t，代入 x=1+ t，整理得 x﹣ y﹣ 1=0，则曲线 C1 的普通方 x﹣ y﹣ 1=0； 曲线 ，则 1= +ρ2sin2θ． 由 ，则曲线 C2 的直角坐标方程 ； （ Ⅱ ）由 ，整理得： 3x2﹣ 4x=0，解得： x=0 或 x= ，则 A（ 0，﹣ 1）， B（ ， ）， ∴ 丨 MA 丨 = = ，丨 MB 丨 = = ， ∴ 丨 AB 丨 = = ， ∴ = = ∴ 的值 ． 23.解：（ Ⅰ ）当 x≤ 时，原不等式可化为﹣（ 3x﹣ 2）﹣（ x﹣ 2） ≤ 8，解得 x≥ ﹣ 1，故此时﹣1≤ x≤ ；当 ＜ x≤ 2 时，原不等式可化为 3x﹣ 2﹣（ x﹣ 2） ≤ 8，解得 x≤ 4，故此时 ＜ x≤2；当 x＞ 2 时，原不等式可化为 3x﹣ 2+x﹣ 2≤ 8，即 x≤ 3，故此时 2＜ x≤ 3． 综上可得，原不等式的解集为 {x|﹣ 1≤ x≤ 3}． （ Ⅱ ） 对任意的非零实数 x， 有 f（ x） ≥ （ m2﹣ m+2） •|x|恒成立 ， 则不等式可化为： m2﹣ m+2≤ |3﹣ |+|1﹣ |恒成立 ，又 |3﹣ |+|1﹣ |≥ |3﹣ + ﹣ 1|=2，所以要使原式恒成立，只需 m2﹣ m+2≤ 2 即可，即 m2﹣ m≤ 0．解得 0≤ m≤ 1． 18 届 高三一轮复习理科数学单元检测（一） 一、 选择题 ： 本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项 是 符合题目要求的 . 1.设 集合     1 ln 2A x x B x y x    ， ， 则 RA C B （ ） A．  1 2 ， B．  2 ， C．  1 2 ， D．  1  ， 2.已知 α， β 为不重合的两个平面，直线 m⊂ α，那么 “ m⊥ β” 是 “ α⊥ β” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为 4π3 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是 ( ) A． 6 3 B． 12 3 C． 18 3 D． 24 3[来源 :学 § 科 § 网 Z§X§X§K] 4.已知三 棱锥的底面是边长为 1 的正三角形，其正视图与俯视图如 右 图所示，则其侧视图的面积为 ( ) A. 64 B. 62 C. 22 D.π4 5.一空间几何体的三视图如 右 图所示，若正视图和侧视图都是等腰直角三角形，且直角边长为 1，则该几何体外接球的表面积为 ( ) A． 4π B． 3π C． 2π D． π 6.已知 :命题 2: 2 sin 1 0p x R x x     ， ； 命题  : sin sin sinqR         ， ， . 则下列命题中的真命题为（ ） A．  pq B．  pq C. pq D．  pq 7． 如 右 图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M， N 分别是棱 CD， CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 ( ) A． 30° B． 45° C． 60° D． 90° 8.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 ， AA1＝ AD＝ 2AB.若 E， F 分别为线段A1D1， CC1的中点 ， 则直线 EF与平面 ADD1A1所成角的正弦值为 ( ) A. 63 B. 22 C. 33 D.13 9.执行 如 右 图 所示 的程序框图，若     0 4x a b y， ， ，, 则 ba 的 最小值为（ ） A． 2 B． 3 C.4 D． 5 10.在三棱柱 ABC A1B1C1 中 ， 已知 AA1⊥ 平面 ABC， AA1＝ 2， BC＝ 2 3，∠ BAC＝ π2， 且此三棱柱的各顶点都在一个球面 上 ， 则球的体积为 ( ) A.8π3 B.16π3 C.32π3 D.64π3 11.已知 Ra ，则“ 0＜a ”是“函数      01 ，在  axxxf 上是减函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 12.已知四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 为正方形，侧棱都相等， SA＝ 2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ( ) A． 1 B. 3 C． 2 D． 3 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13.某三棱锥的三视图如 右上 图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 __ ． 14.已知 下列 命题 ： ①“ 1x ”是“ 2 3 2 0xx   ”的充分不必要条件 ②命题“若 2 3 2 0 1x x x   ， 则”的逆否命题为“若 21 3 2 0x x x   ， 则 ” ③对于命题 2: 0 , 1 0p x x x    使 得 ，则 2: 0 1 0p x x x     ， 均 有 ④若 pq 为假命题，则 p、 q 均为假命题 其中正确命题的序号为 . 15．如图，在四边形 ABCD 中， 2AB BC， 90ABC   ，DA DC .现沿对角线 AC 折起，使得平面 DAC 平面 ABC ，且 三棱锥 D ABC 的 体积为 43 ，此时点 A ， B ， C ， D 在同一个球面上，则该球的体积是 ______ 30282624222018161412CABDCABDCABDAFEDCBA俯视图16.将 一块边长为 6cm 的 正方形纸片，先按如图（ 1）所示的阴 影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形 ， 从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥 ），将该四棱锥如图（ 2） 放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ． 三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 {}na 的前 n项和为 nS , 1 1a ,且 1 21nnaS , Nn  . （ Ⅰ ）求数列 {}na 的通项公式； （ Ⅱ ）令 32lognnca ，21nnnb cc ，记数列 {}nb 的前 n 项和为 nT ， 若对任意 Nn  ， nT 恒成立，求实数  的取值范围 . 18.（本小题满分 12 分） 如图所示，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的底面是边长为 2 正三角形， D 是 A1C1 的中点，且 AA1⊥ 平面 ABC， AA1=3． （ Ⅰ ）求证： A1B∥ 平面 B1DC； （ Ⅱ ）求二面角 D﹣ B1C﹣ C1 的余弦值． 19.（本小题满分 12 分） 某厂每日生产一种大型产品 2 件，每件产品的投入成本为 1000 元．产品质量为一等品的概率为 0.5，二等品的概率为 0.4，每件一等品的出厂价为 5000 元，每件二等品的出厂价为 4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产 1 件产品还会带来 1000元的损失． （ Ⅰ ）求在连续生产的 3 天中，恰有两天生产的 2 件产品都为一等品的概率； （ Ⅱ ）已知该厂某日生产的这种大型产品 2 件中有 1 件为一等品，求另 1 件也为一等品的概率； （ Ⅲ ）求该厂每日生产这种产品所获利润 ξ（元）的分布列和期望． 20.（本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD, AD⊥ AB， AB∥ DC， AD＝ DC＝ AP＝ 2， AB＝ 1，点 E 为棱 PC 的中点． (1)证明： BE⊥ DC； (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥ AC， 求二面角 F AB P 的余弦值． 21.（本小题满分 12 分） 设 2( ) l n ( 2 1 ) ,f x x x a x a x a R    . （Ⅰ）令 ( ) ( )g x f x ，求 ()gx的单调区间； （Ⅱ）当 0a 时，直线 ( 1 0)y t t    与 ()fx的图像有两个交点 12( , ), ( , )A x t B x t，且 12xx ， 求证： 122xx ＞ . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题记分 （ 本小题满分 10 分 )． 22.(选修 4-4：坐标系与参数方程 ) 已知曲线 （ t 为参数），以原点为极点，以 x 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ． （ Ⅰ ）写出曲线 C1 的普通方程，曲线 C2 的直角坐 标方程； （ Ⅱ ）若 M（ 1， 0），且曲线 C1 与曲线 C2 交于两个不同的点 A， B，求 的值． 23.(选修 4-5：不等式选讲 ) 设 f（ x） =|3x﹣ 2|+|x﹣ 2|． （ Ⅰ ）解不等式 f（ x） ≤ 8； （ Ⅱ ）对任意的非零实数 x，有 f（ x） ≥ （ m2﹣ m+2） •|x|恒成立，求实数 m 的取值范围．