1、第二章 2.3 2.3.1 一、选择题1若 acb c(c0)，则( )AabBabC|a| | b|Da 在 c 方向上的正射影的数量与 b 在 c 方向上的正射影的数量必相等答案 D解析 acbc，|a |c|cos|b|c|cos，即|a |cos|b|cos，故选 D.2若|a |4，|b|3，ab6，则 a 与 b 的夹角等于( )A150 B120C60 D30答案 B解析 cos . 120.ab|a|b| 643 123若|a| 4，|b|2，a 和 b 的夹角为 30，则 a 在 b 方向上的投影为( )A2 B 3C2 D43答案 C解析 a 在 b 方向上的投影为| a|
2、cos4cos302 .34|m| 2，mn8，60 ，则|n|( )A5 B6C7 D8答案 D解析 cos，mn|m|n| ，| n|8.82|n| 125向量 a 的模为 10，它与 x 轴的夹角为 150，则它在 x 轴上的投影为( )A5 B53C5 D5 3答案 A解析 a 在 x 轴上的投影为 |a|cos1505 .36若向量 a、b 满足|a| 1， |b|2，a 与 b 的夹角为 60，则 bbab 等于( )A3 B4C5 D6答案 C解析 bbab|b| 2|a|b|cos415.二、填空题7已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，| a|2，|b| ，则向量 a 和
3、向量 b 的数量积3ab_.答案 3解析 ab|a| b|cosa，b2 cos3032 3.3328若|a |6，|b|4，a 与 b 的夹角为 135，则 a 在 b 方向上的投影为_答案 3 2解析 |a|6，|b|4，a 与 b 的夹角为 135，a 在 b 方向上的投影为|a|cos1356( )3 .22 2三、解答题9已知正六边形 P1P2P3P4P5P6的边长为 2，求下列向量的数量积(1) ；P1P2 P1P3 (2) ；P1P2 P1P4 (3) ；P1P2 P1P5 (4) .P1P2 P1P6 解析 (1) ，| |2 .P1P2 6 P1P3 3 | | |cosP1
4、P2 P1P3 P1P2 P1P3 622 6.332(2) ，| |4，P1P2 P1P4 3 P1P4 24cos 4 .P1P2 P1P4 4 2(3) ，P1P2 P1P5 2 0.P1P2 P1P5 (4) ，P1P2 P1P6 23 22cos 2.P1P2 P1P6 23一、选择题1对于向量 a、b、c 和实数 ，下列命题中真命题是( )A若 ab0，则 a0 或 b 0 B若 a0，则 0 或 a0C若 a2b 2，则 ab 或 a b D若 abac ，则 bc答案 B解析 A 中，若 ab0，则 a0 或 b0 或 a b，故 A 错；C 中，若 a2b 2，则|a|b |
5、， C 错；D 中，若 abac，则可能有 a b，a c，但 b c，故只有选项 B 正确2已知向量 a、b 满足|a|1，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角为( )A B6 4C D3 2答案 C解析 cos ，ab|a|b| 24 12又0， ， .3二、填空题3已知ABC 中，| | |4，且 8，则这个三角形的形状为_AB AC AB AC 答案 等边三角形解析 8，| | |cos8，44cos8，AB AC AB AC AB AC AB AC cos ，60，AB AC 12 AB AC 又| | | |，三角形是等边三角形AB AC 4对于任意向量 a、b，定义新运算
6、“”：ab|a| b|sin(其中 为 a 与 b 的夹角)利用这个新知识解决：若| a|1，|b|5，且 ab4，则 ab_.答案 3解析 设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos ，ab|a|b| 45sin .35ab|a|b|sin 15 3.35三、解答题5如图所示，在ABCD 中，| |4，| |3，DAB60.求：AB AD (1) ；AD BC (2) ；AB CD (3) .AB DA 解析 (1)因为 ，且方向相同，所以 与 夹角是 0.所AD BC AD BC 以 | | |cos03319.AD BC AD BC (2)因为 ，且方向相反，所以 与 的夹角是 180，
7、所AB CD AB CD 以 | | |cos18044( 1)16.AB CD AB CD (3) 与 的夹角为 60，AB AD 所以 与 的夹角为 120，(此处易错为 60.)AB DA 所以 | | |cos12043 6.AB DA AB DA ( 12)6在ABC 中，三边长均为 1，设 c， a， b，求 abbc ca 的值AB BC CA 解析 |a|b|c| 1， 120，120，120，ab|a|b|cos120 ，12bc|b|c|cos120 ，12ca|c|a|cos120 ，12abbcca .327已知|a| 2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|x ab0 有实根，求 a 与 b 的夹角的取值范围解析 方程 x2|a| xab0 有实根，|a| 24ab 0，ab |a|2.14cos ，ab|a|b| ab|a|a|2 ab12|a|214|a|212|a|2 12又0 ， .3即 a 与 b 的夹角的取值范围为 .3，
