2018年广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）数学（理）试题 PDF版.zip

1 华 南 师 大 附 中 2018 届 高 三 综 合 测 试 （ 三 ） 数 学 （ 理 ） 参 考 答 案 1~12 DCBAD AACBB AC 13. 3 1 0 x y    ；14. 3 2  ；15. （1 ，2 ）；16. 1 (0, ] [1, ) 2    17. （1 ） 当 n ＝ １时, a1=2 ； 由 2 2 n n a S   得，当 2 n  时, 1 1 2 2 n n a S     ， 两式 相减 得 an=2 an －1(n≥2) 所以 数 列{ an} 是 首项是 2 ，公比为 2 的 等 比数 列， 则 an=2 n ……6 分 （2 ） 由 （1 ）知， b n= n, 所以 2 1 1 1 1 1 ( ) ( 2) 2 2 n n b b n n n n       , 则 数列{ 2 1 n n b b  } 的前 n 项和 T n= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )] 2 3 2 4 3 5 1 1 2 n n n n              1 3 1 1 ( ) 2 2 1 2 n n      ……………………………………………12 分 18. （1 ） 因为各组的频 率和等于 1, 故 第 四组 的频 率： 4 1 (0.025 0.015 2 0.01 0.005) 10 0.3 f         直 方 图如 右所示…………………….2 分 中位 数 是 0.1 70 10 73.33 0.3 c x     估计 这 次考试的中位 数是 73.33 分 ……………….4 分 （2 ）[70, 80) ，[80, 90) ，[90,100] 的 人 数是 18,15,3, 所 以从成绩是 70 分 以 上 （ 包 括 70 分 ） 的学 生中选两人，他 们 在 同 一 分数 段 的概率: 2 2 2 18 15 3 2 36 C C C P C     29 70 ………………8 分 (3) 因 为 X~ B(4,0.3), 4 4 ( ) 0.3 0.7 ,( 0,1,2,3,4) k k k p X k C k      所以 其 分布列为: X 0 1 2 3 4 P(X=k) 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 数学 期 望为 4 0.3 1.2 E X n p     …………………12 分 0.030 2 19 ． （1 ）证 明： ∵ / / C D E F , ∴ 2 C D E F C F    ∴ 四 边形 C D E F 为菱形, ∴ C E D F  ∵ 平 面 C D E F  平 面 A B C D ， 平 面 C D E F  平 面 A B C D C D  , ∵ A D C D  ∴ A D  平面 A C D E F ∴ C E A D  , 又 ∵ A D D F D   ∴ 直 线 C E  平面 A D F ……………….4 分 （2 ） ∵ 60 D C F    , ∴ D E F  为正 三角形， 取 E F 的 中点 G , 连接 G D , 则 G D E F  ， ∴ G D C D  , ∵ 平 面 C D E F  平 面 A B C D , G D  平 面 C D E F ， 平 面 C D E F  平 面 A B C D C D  , ∴ G D  平 面 A B C D ∵ A D  C D ， ∴ D A , D C , D G 两两垂 直 以 D 为 原 点 ， D A , D C , D G 为 , x y 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐标系 D - x y z ，如 图 ， ∵ C D= E F= C F=2, A B= A D=1, ∴     0, 1, 3 , 0,1 3 E F  由 （1 ）知   0, 3, 3 C E       是平面 A D F 的 法向量 ∵   0,1, 3 D F      ,   1, 1,0 C B       设     , , 0 0 1 C P a C B a a a              ，则   ,2 ,0 D P D C C P a a                 ． 设 平面 P D F 的法 向量为   , , n x y z   ∵ 0, 0 n D F n D P               , ∴   3 02 0 y z ax a y           ， 令 3 y a  ，则   3 2 , x a z a     ， ∴     3 2 , 3 , n a a a     ∵ 二 面角 P D F A   为6 0  , ∴ cos , n C E n C E n C E                     2 2 2 4 3 1 2 12 3 2 3 a a a a     ，解 得 2 3 a  ∴ P 点 靠近 B 点 的 C B 的三等 分点处。 ………………. ………………. 12 分3 20.(1) 由题意得 ， F 点坐 标为(1,0) ， 因为 P 为 C F ’ 中垂线 上的点， 所以 ' P F P C  ， 又 4 P C P F   ， 所以 ' 4 ' 2 P F P F F F     ， 由椭 圆的定义 知， 2 4, 1 a c   ， 所以动点 P 的轨 迹方 程 E ： 2 2 1 4 3 x y   。 ………4 分 (2) 证明： 设 P 点 坐标 为     , 0 m n n  ， 则 Q 点的坐标 为   , m n  ， 且 2 2 3 4 12 m n   ， 所以直线   : 4 4 n Q A y x m    ， 即 (4 ) 4 0 n x m y n     直线   : 1 1 n P F y x m    即 ( 1) 0 n x m y n     ； 联立方程组 (4 ) 4 0 ( 1) 0 n x m y n n x m y n            ，解 得 5 8 3 , 2 5 2 5 B B m n x y m m      ，则             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 8 3 25 80 64 36 16 80 100 1 4 3 4 2 5 3 2 5 4 2 5 4 2 5 B B m n x y m m n m m m m m m                 所以点 B 恒在 椭圆 E 上 。 ………………. ……………….8 分 设直线 : 1 P F x t y   ，     1 1 2 2 , , , P x y B x y ， 则由 2 2 1 3 4 12 x t y x y        ，消 去 x 整 理 得   2 2 3 4 6 9 0 t y t y     ，所 以 1 2 1 2 2 2 6 9 , 3 4 3 4 t y y y y t t        ， ………………. ………9 分 所以   2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 6 36 12 1 4 3 4 3 4 3 4 t t y y y y y y t t t                  ， 从而 2 1 2 2 2 2 1 18 1 18 1 2 3 4 3 1 1 P A B t S F A y y t t t           ， 令   2 1 1 t      ， 则函 数 1 ( ) 3 g      在[1, )   上单调 递增，故 min ( ) (1) 4 g g    ，所 以 18 9 4 2 P A B S    ，即当 0 t  时， P A B  面积 取得最大 值， 且最大值为 9 2 。 ………………. ………………. ……………….12 分 4 21.   f x 的 定义域是   1    ， ,   2 2 2 1 x x m f x x      (1) 由题 设知 ， 1 0 x   ， 令   2 2 2 g x x x m    ， 这是开口向上 ， 以 1 2 x   为对 称 轴的抛物线， 1 1 2 2 g m           ① 当 1 0 2 g         ，即 1 2 m  时，   0 g x  ，即   0 f x   在   1    ， 上恒 成立． ② 当 1 0 2 g         ， 即 1 2 m  时 ， 由   2 2 2 0 g x x x m     得 1 1 2 2 2 m x     , 令 1 1 1 2 2 2 m x     ， 2 1 1 2 2 2 m x     ， 则 1 1 2 x   ， 2 1 2 x   1) 当 ( 1) 0 g   即 0 m  时 ， 1 1 x   , 故 在 2 ( ) 1, x  上 ，   0 g x  ， 即   0 f x   , 在 2 ( , ) x   上，   0 g x  ，即   0 f x   2) 当 ( 1) 0 g   时，即 1 0 2 m   时, x 1 ( ) 1, x  1 x 1 2 ( , ) x x 2 x 2 ( , ) x     0 g x  + 0 - 0 +   0 f x   + 0 - 0 +   f x 递增 递减 递增 综 上: 0 m  时，   f x 在 1 1 2 1 2 2 m             ， 上单 调递减， 在 1 1 2 2 2 m              ， 上单 调 递 增； 1 0 2 m   时，   f x 在 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 m m               ， 上单调递减， 在 1 1 2 1 2 2 m             ， 和 1 1 2 2 2 m              ， 上单调递增; 1 2 m  时，   f x 在   1    ， 上单调递 增． ……. …………. ……………….6 分5 (2) 若函数   f x 有两 个极 值点 1 2 x x 、 ，且 1 2 x x  则必是 1 0 2 m   ， g(0)0 ， 则 1 2 1 1 0 2 x x       ， 且   f x 在   1 2 x x ， 上 单 减， 在   1 1 x  ， 和   2 x   ， 上 单增，则     2 0 0 f x f    1 x 、 2 x 是   2 2 2 0 g x x x m     的 二根  1 2 1 2 12 x x m x x          ， 即 1 2 1 x x    ， 1 2 2 m x x   若证   2 1 1 2 2 ln2 f x x x    成立，只 需证       2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ln 1 2 4 ln 1 f x x m x x x x x               2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 ln 1 1 2 1 ln2 x x x x x x              2 2 1 2 1 ln2 x x     即证         2 2 2 2 2 2 2 4 1 ln 1 1 1 2ln2 0 x x x x x        对 2 1 0 2 x    恒成立 设           2 1 2 4 1 ln 1 1 1 2ln2 ( 0) 2 x x x x x x x                  4 4 1 2 ln 1 ln x x x e        当 1 0 2 x    时， 1 2 0 x   ，   ln 1 0 x   ， 4 ln 0 e  故   0 x    ,故   x  在 1 0 2        ， 上单 增 故     1 1 1 1 1 1 2 4 ln 1 2ln2 0 2 4 2 2 2 2 x                                     2 2 2 2 2 2 2 4 1 ln 1 1 1 2ln2 0 x x x x x        对 2 1 0 2 x    恒成立    2 1 1 2 2 ln2 f x x x    ………………. ………………. ……………….12 分 6 22.（1）直线 l 经过定 点 ) 1 , 1 (  ，………………. ……………….2 分 由 2 cos      得 2 2 ) 2 cos (      ， 得曲 线 C 的普通方程为 2 2 2 ) 2 (    x y x ， 化 简得 4 4 2   x y ；………5 分 （2 ）若 4    ，得             t y t x 2 2 1 2 2 1 ，的 普通方程为 2   x y ，……………….6 分 则 直线 l 的极 坐标方程为 2 cos sin       ，……………….8 分 联 立曲线 C ： 2 cos      ． 0    得 1 sin   ， 取 2    ，得 2   ，所以直线 l 与曲线 C 的交点为 ) 2 , 2 (  ．…………10 分 23. 解 ： （1）不等式 f( x)≤ x+1 化 为 2 1 1 0 x x x       ， 设 函数 y= 2 1 1 x x x      , 则 2 3 , 1 1 2 4, 2 x x y x x x x              ， ，令 y≤0,解得 2 4 3 x   . ∴ 原不等 式的解集是{ x| 2 4 3 x   } ………………. ………………. 5 分 （2 ） ( ) 2 1 2 ( 1) 1 f x x x x x          ， 当 且仅当( x-1)( x-2)≤0, 即 1≤ x≤2 时取等号，故 k=1. ……………….…. 7 分 假 设存在符合条件的 正数 a,b ,则 2 a+ b=1, ∴ 1 2 1 2 4 4 ( )(2 b) 4 4 2 8 a b a b a a b a b b a b a            ， 当 且仅当 4 a b b a  ， 2 1 a b   , 即 1 1 , 4 2 a b   时取等 号， ∴ 1 2 a b  的最小值为 8 ，即 1 2 a b  4 ∴ 不存在正数 a ，b , 使得 2 1 a b   , 1 2 a b  =4 同时成立. …………….10 分1 华 南 师 大 附 中 2018 届 高 三 综 合 测 试 （ 三 ） 数 学 （ 理） 2 017.1 2 本 试 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分 ， 共 4 页 ， 满 分 1 5 0 分 ， 考 试 用 时 1 2 0 分 钟 . 注意事项： 1 ． 本 试 卷 分 第 Ⅰ 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 Ⅱ 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 . 答 卷 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 和 考 生 号 、 试 室 号 、 座 位 号 等 填 写 在 答 题 卡 上 ， 并 用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 的 相 应 位 置 填 涂 考 生 号 . 2 ． 回 答 第 Ⅰ 卷 时 ， 选 出 每 小 题 答 案 后 ， 用 2 B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 它 答 案 标 号 . 3 ． 回 答 第 Ⅱ 卷 时 ， 用 黑 色 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 卷 上 . 第 Ⅰ 卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 1 2 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 6 0 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一项 是 符合 题 目 要 求的 . 1. 在复 平面 内，复数 3 s i n 3 c o s i z   （ i 为 虚数 单位 ） ， 则 z 为 （ *** ） A .4 B .3 C .2 D .1 2 ． 已知 集合 A ＝ { － 1 ， 0 } ， B ＝ { 0 ， 1} ， 则 集合∁ A ∪ B ( A ∩ B ) ＝ （ * ** ） A ．  B ． { 0} C ． { － 1 ， 1} D ． { － 1 ， 0 ， 1} 3 ． “ ( m － 1 ) ( a － 1 ) 0 ” 是 “ l og a m 0 ” 的 （ * ** ） A ． 充 分不必要条 件 B ． 必要 不 充分 条件 C ． 充要 条件 D ．既 不充 分也 不 必要 条件 4 ． 已知 s i n 3 c o s 5 3 c o s s i n        ， 则 2 1 c o s s i n 2 2    的值 是 （ ** * ） A ． 3 5 B ．－ 3 5 C ．－ 3 D ． 3 5 ． 如 图 ， 将 绘有函 数 5 ( ) 3 s i n ( ) ( 0 ) 6 f x x       部 分图 象的 纸片 沿 x 轴 折成 直二 面 角 , 若 A 、 B 之间的 空间距 离为 1 0 ， 则 f ( － 1 ) ＝ （ *** ） A ． － 1 B ． 1 C ． － 3 2 D ． 3 2 2 6 ． 已 知向量 3 O A      ， 2 O B      ， ( ) ( 2 1 ) B C m n O A n m O B                  ， 若 O A     与 O B     的夹 角 为 60 ° ， 且 O C A B          ，则 实数 m n 的值为 （ *** ） A . 8 7 B . 4 3 C . 6 5 D . 1 6 7. 已知 a 0 ， x , y 满足 约束条件             3 3 1 x a y y x x ， 若 z = 2 x + y 的最小 值为 1 ，则 a = （ *** ） A . 2 1 B . 3 1 C . 1 D . 2 8 ． 1 2 0 | 4 | x d x    （ * ** ） A ． 7 B ． 2 2 3 C ． 1 1 3 D ． 4 9. 已知 双曲线 E ： 2 2 2 2 1 x y a b   ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) ， 点 F 为 E 的左焦 点 ， 点 P 为 E 上 位于 第一 象限 内的点， P 关于原 点的对称 点为 Q ， 且满足 | P F |= 3| F Q| ，若 | O P | = b ，则 E 的离心 率为 （ * ** ） A ． 2 B ． 3 C . 2 D . 5 10 ．如图 是函数   2 f x x a x b    的 部分图象 ，则函 数     l n g x x f x    的零点 所在的区 间是 （ * ** ） A ． 1 1 ( , ) 4 2 B ． 1 ( , 1 ) 2 C ． ( 1 , 2 ) D ． ( 2 , 3 ) 1 1 ．函 数   2 2 2 x f x e x   的图象大 致为 （ ** * ） A ． B ． C ． D ． 12 ． 已知函 数 ( ) f x 是定义在 R 上 的奇函 数 ， 当 0 x  时 ， ( ) ( 1 ) x f x e x   ， 给出下 列命题 ： ① 当 0 x  时， ( ) ( 1 ) x f x e x     ； ② 函数 ( ) f x 有 2 个零点 ； ③ ( ) 0 f x  的解 集为     , 1 0 , 1    U ， ④ 1 2 , x x R   ，都 有 1 2 ( ) ( ) 2 f x f x   ． 其中 正确命题 的个数 是 （ * ** ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 13 第 Ⅱ 卷 二、 填空 题 ：本 大 题 共 4 小题 ，每 小 题 5 分， 共 2 0 分 . 1 3 ．曲线   3 3 x f x e x   在点 ( 0 , ( 0 ) ) f 处 的 切 线方 程是 *** . 14 . 在 A B C  中， , , a b c 为 , , A B C    的 对 边 ， , , a b c 成 等比 数列 ， 3 3 , c o s 4 a c B    ， 则 A B B C           *** . 15 . 已 知函 数 2 l o g , 0 2 ( ) 2 , 2 2 x x f x x x x           ， 若 0 ＜ a ＜ b ＜ c ， 满 足 ( ) ( ) ( ) f a f b f c   ， 则 ( ) a b f c 的取 值范 围为 *** . 16 . 设 有两 个命题 ： p : 关 于 x 的不 等式 1  x a （ 0  a , 且 1  a ） 的解 集 是   0  x x ； q : 函数   a x a x y    2 l g 的定 义域为 R . 如果 q p  为真命题 ， q p  为假 命题， 则 实 数 a 的取 值范 围是 * ** . 三 、 解答 题 ： 本大 题共 7 小题 ， 共 7 0 分 . 解答 应 写 出文 字 说明 ， 证 明 过程 或 演算 过 程 . 17 . （本 小题满分 12 分） 设 数列   n a 的 前 n 项 和 为 n S ， 且 2 2 ( n n a S n   N * ) ． （ 1 ） 求数 列   n a 的 通项公 式 ； （ 2 ） 设 2 l o g n n b a  ， 求数列 2 1 n n b b        的 前 n 项 和 n T ． 18 . （ 本 小题 满分 1 2 分） 某校 从参加 高 一 年级 期末 考试 的学 生 中抽 出 6 0 名 学 生， 将其 数学 成绩 ( 均 为整数 ) 分成 六段   5 0 , 4 0 ，   6 0 , 5 0 …   1 0 0 , 9 0 后 ， 画 出如 下 部分 频率 分布 直 方图 . 观察图 形的信息 ， 回答下 列问题 ： （ 1 ）求 第四小组的 频率，补 全频率 分 布直 方图 ， 并 估计 该校学 生的数学 成 绩 的中 位数 。 （ 2 ） 从 被 抽取的数 学成绩 是 7 0 分以 上 ( 包 括 70 分 ) 的学 生中选两 人，求 他 们在 同一 分数段的概率 . （ 3 ）假 设从 全市 参加高一 年级期 末 考 试的 学生 中 , 任意抽取 4 个学生 , 设 这 四 个学 生中 数学成绩为 8 0 分 以上 ( 包 括 80 分 ) 的 人数为 X ( 以该 校学生的 成绩 的频 率估 计概率 ) ， 求 X 的分布 列和数 学 期 望 . 4 19 ． ( 本 小题满分 12 分 ) 在五面体 A B C D E F 中， / / / / A B C D E F ， A D C D  ， 6 0 D C F    ， 2 2 2 C D E F C F A B A D      ， 平面 C D E F  平面 A B C D . （ 1 ） 证明 : 直线 C E  平 面 A D F ； （ 2 ） 已知 P 为棱 B C 上的 点，试确 定 P 点位置 ， 使二 面角 P D F A   的大小 为 6 0  . 20 . （本 小 题满分 12 分） 已知点 C 是圆 2 2 : ( 1 ) 1 6 F x y    上任意 一点 ， 点 ' F 与 圆 心 F 关 于原点对 称 ． 线 段 ' C F 的中垂线 与 C F 交于 P 点 ． （ 1 ） 求动 点 P 的轨 迹方程 E ； （ 2 ） 设点   4 , 0 A ，若直线 P Q x  轴且与 曲线 E 交 于另一 点 Q ， 直线 A Q 与直线 P F 交 于点 B ， 证明： 点 B 恒在曲 线 E 上 ， 并 求 P A B  面积 的最大值 ． 21 . （本 小题满分 12 分） 函数     2 l n 1 f x x m x    . （ 1 ） 讨论   f x 的单调 性； （ 2 ） 若函 数   f x 有两个 极值点 1 2 x x 、 ， 且 1 2 x x  ，求证 ：   2 1 1 2 2 l n 2 f x x x    . 请考 生在 第 22 、23 题中 任选 一题作 答 ， 如果 多 做， 则 按所 做的第 一 个 题 目 计分 ． 2 2 . （ 本小 题满分 10 分 ）选修 4  4 ：坐 标系与 参数方程 已知 直线 l 的参数 方程为           s i n 1 c o s 1 t y t x （ t 为参数 ） ． 以 O 为极 点 ， x 轴的非负 半轴为极 轴建 立极坐标 系，曲 线 C 的极 坐标方 程为 2 c o s      ． ( Ⅰ ) 写出直 线 l 经过的定 点的直 角坐标， 并求曲 线 C 的 普通方程 ； ( Ⅱ ) 若 4    ，求直线 l 的极坐 标方程， 以及直 线 l 与曲线 C 的交点 的 极坐 标． 23 . （ 本小 题满分 10 分 ） 选修 4- 5 ： 不等式 选讲 已知 函数   1 2 f x x x     , 记   f x 的 最小值为 k . （ 1 ） 解不等式   1 f x x   ； （ 2 ） 是否存在 正数 , a b , 同 时满足 ： 1 2 2 , 4 a b k a b     ？并说明 理由 .