1、三角函数1. 与 （0 360 ）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合： Zk,180|终边在 y 轴上的角的集合： ,9| 终边在坐标轴上的角的集合： Zk,0|终边在 y=x 轴上的角的集合： ,4518| 终边在 轴上的角的集合：Zkk,0| 若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系：k360若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系：18若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： k0角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：9362. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.0174
2、5 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad 57.30=5718 1180 0.01745（rad）1803、弧长公式： . 扇形面积公式：rl|21|slr扇 形4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 ； ； ； ； rysinrxcosxytanyxcot；. .xecy5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）、- +-+、o ooxyxyxyyxSINCO三 角 函 数 值 大 小 关 系 图sinxco124表 示 第 一
3、、 二 、 三 、四 象 限 一 半 所 在 区 域 12343sixcoro xy a的的的P、x,y)TMAOPxy6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinx)(f Rx|cosxtanxf Zkx,21| 且cotx)(f x|且secx kRx,|且cscx)(f Zx|且8、同角三角函数的基本关系式： tancosicotsi1cotansin 1esi2taec2t29、诱导公式： k把 的 三 角 函 数 化 为 的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组
4、二 xkcot)2cot(ananssi)i(公式组三公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+cs=1oeitaeta 2 (3) 个 o|cosx| |cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 个个个个个个 : O Oxy xyxcot)ct(anassi)i(公式组四 xcot)ct(anassi)i(公式组五xcot)2cot(ananssii公式组六xcot)cot(ananssii（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二sincos)cos( cosin2i 222sin1csicos sincosin)si( 2
5、tan1taiii cositan1t)tan(21cstt)t(公式组三 公式组四 公式组五2tan1sicoscs21sinocosinsi21sinco sinco1sico12tansi)2(co1sin2tan1cos2tat2, , ,. 4675cos1in 3275cot1tn 3215cot7tan10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin（A、 0）定义域 R R R值域 1,1,R R ,周期性 222奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶,0当 奇函数,2cossin2isnissiiZkx,21|且 Zkx,|且ycotytanxyc
6、osxysinsin)21cos(cos)sin(ttacottan单调性2,k上为增函数； 23,k上为减函数（ ）Zk,1k；上为增函数1,上为减函数（ ）Zk2,上为增函数（）Zk上为减函1,k数（ ）Z)(21),(Ak上为增函数； )(23),(Ak上为减函数（）Zk注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样xysinxysi xycosxycs相反.一般地，若 在 上递增（减） ，则 在 上递减（增）.)(f,ba)(f,ba 与 的周期是 .xysinxcos 或 （ ）的周期 .)()(y02T的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. tay2T 的对称轴方程是 （ ）
7、，对称中心（ ） ；)sin(xkxZ0,k的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ；coy 21的对称中心（ ）.)ta(x0,2xyycos)s(2cs 原 点 对 称当 ； .tan,1)(Zktan,1)(2Zk 与 是同一函数,而 是偶函数，则xycos2i )(xy)cos()()( xk.函数 在 上为增函数 .（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytanR为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是)(xf定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数：)(xfOyx）)(xf
8、f奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定xytan)31tan(xy义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此x0)(f0)(f性质） xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；ysinT是周期函数（如图） ； 为周期函数（ ） ；coxco的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxy.Rkff),(5)( 有 .abbabay cos)sin(sinco2 y2三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x ）的振幅|A|，周期 ，频率 ，相位 初相2|T1|2fT;x
9、（即当 x0 时的相位） （当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号） ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0|A| 1）到原来的|A| 倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变 yx=cos|图 象 1/2yx|cos+图 象换 （用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| |1）或缩短（| | 1）到原来的 倍，得到 ysin x 的图象，叫做 周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变|换( 用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单
10、位，得到 ysin（x ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x ） （A0，0） （xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin 2=tanxcotx=tan45等。（2）项
11、的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），= 等。（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos= sin(+ )，这里辅助角 所2ba在象限由 a、b 的符号确定， 角的值由 tan = 确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位
12、圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例 1已知 ，求（1） ；（2）2tansinco的值.2cos.siin解：（1） ；231tacsi1in (2) 2222 cosinosii.3411cosin2说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例 2求函数 的值域。2sinco(sinco)yxx解：设 ，则原函数可化为si2)4t 即，
13、因为 ，所以2213()4ytt即当 时， ，当 时， ，maxy12min3y所以，函数的值域为 。324y即例 3已知函数 。()sini2fxxR即（1）求 的最小正周期、 的最大值及此时 x 的集合；f ()f（2）证明：函数 的图像关于直线 对称。()fx8x解： 2 2()4sini2sin(1sin)fx xco()4xx(1)所以 的最小正周期 ，因为 ，()fxTR所以，当 ，即 时， 最大值为 ；242k38xk()fx2(2)证明：欲证明函数 的图像关于直线 对称，只要证明对任意 ，()f xR有 成立，()8fxfx因为 ，2sin()2sin(2)cos284xx，(
14、) fxx所以 成立，从而函数 的图像关于直线 对称。()8f()fx8x例 4 已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 （xR）,13（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y= cos2x+ sinxcosx+1= (2cos2x1)+ 1341+ （2sinxcosx）+143= cos2x+ sin2x+ = (cos2xsin +sin2xcos )+41345216645= sin(2x+ )+26所以 y 取最大值时，只需 2x+ = +2k,（kZ） ，即 x=
15、+k,（kZ） 。6所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x= +k,kZ6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移 ，得到函数 y=sin(x+ )的图像；6（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到21函数 y=sin(2x+ )的图像；6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 y= sin(2x+ )的图像； 21（iv）把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 y= sin(2x+ )+45216的图像。45综上得到 y= cos2x+ sinxcosx+1
16、 的图像。13说明：本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成 y= sin (x+ )+k 的形式，二是化成某一个三角函数2ba的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当 cosx=0 时，y=1；当 cosx0 时，y= +1= +1x22cossini3x2tan13化简得：2(y1)tan 2x tanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得： y437y max= ，此时对应自变量 x 的值集为x|x=k+ ,kZ47 6例 5已知函数 .3co
17、ss3in)(2xf（）将 f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；)sxA（）如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x的范围及此时函数 f(x)的值域.解： 23)sin(23cos3sin1)o(23sin1)( xxf（）由 =0 即) zkzkx 1)(得即对称中心的横坐标为 k，（）由已知 b2=ac， ， ， 231)32sin(1)32sin(3i|295|3| 9501cos2 12222 xxxxacacab即 的值域为 .)(xf 1,3(综上所述， ， 值域为 . ,0)(xf 21,(说明：本题综合运用了三角函数、余
18、弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例 6在 中，a 、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，且 ，ABCcos3CacBb(1)求 的值；sin(2)若 ，且 a=c，求 的面积。42bA解：(1)由正弦定理及 ，有 ，cos3CacBbos3insCAB即 ，所以 ，sinco3siniBCi()icoB又因为 ， ，所以 ，因为A()snAs3ns，所以 ，又 ，所以 。sin01cos30B2i1co3B(2)在 中，由余弦定理可得 ，又 ，BCA23aca所以有 ，所以 的面积为22443a即
19、AC。1sinsi8Sc三角函数一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1已知点 P（tan ，cos）在第三象限，则角 的终边在 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2集合 M x|x ，k Z与 Nx|x ，k Z之间的关系是 （ ）k2 4 k4A.M N B.N M C.MN D.MN 3若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）A.60 B.60 C.30 D.30 4 已 知 下 列 各 角 （ 1） 787， (2) 957， (3) 289， (4)1711， 其 中 在 第 一 象 限 的角 是 ( )A.（1） （2）
20、 B.（2 ） （3） C.（1） （3 ） D.（2） （4） 5设 a0，角 的终边经过点 P（3a，4a） ，那么 sin2cos 的值等于 （ ）A. B. C. D. 25 25 15 156若 cos() ， 2 ，则 sin(2)等于 （ 12 32）A. B. C. D. 32 32 12 327若 是第四象限角，则 是 （ ）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角 8已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A.2 B. C.2sin1 D.sin2 2sin19如果 sinx cosx ，且 0x ，那么 cotx
21、的值是 （ 15）A. B. 或 C. D. 或 43 43 34 34 43 3410若实数 x 满足 log2x2sin ，则|x1| |x10|的值等于 （ ）A.2x9 B.9 2x C.11 D.9 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)11tan300cot765的值是_. 12若 2，则 sincos 的值是_. sin cossin cos13不等式（lg20) 2cosx1，(x(0 ，)的解集为_. 14若 满足 cos ，则角 的取值集合是_.1215若 cos130a，则 tan50_. 16已知 f(x) ，若 ( ， )，则 f(cos)f
22、(cos)可化简为_. 2三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）设一扇形的周长为 C(C0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18(本小题满分 14 分）设 90180，角 的终边上一点为 P（x， )，且 cos5x，求 sin 与 tan 的值.2419(本小题满分 14 分)已知 ，sin ，cos ，求 m 的值.2 m 3m 5 4 2mm 520(本小题满分 15 分)已知 045，且 lg(tan)lg(sin)lg(cos)lg(cot )2lg3 lg2，求 cos3sin 3
23、的值.3221(本小题满分 15 分)已知 sin(5) cos( )和 cos( ) cos( )，且272 3 20 ，0，求 和 的值.三角函数一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1下列函数中，最小正周期为 的偶函数是 （ ）A.ysin2 x B.ycosx2C.ysin2xcos2x D.y 1 tan2x1 tan2x2设函数 ycos(sin x)，则 （ ）A.它的定义域是1，1 B.它是偶函数C.它的值域是cos1，cos1 D.它不是周期函数 3把函数 ycos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左
24、平移 个单位 .则所得图象表示的函数的解析式为 （ 4）A.y2sin2 x B.y2sin2xC.y2cos(2x ) D.y2cos( ) 4 x2 44函数 y2sin(3x )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ 4）A. B. C. D. 3 23 435若 sincosm，且 m1，则 角所在象限是 （ 2）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 6函数 y|cotx|sinx （0x 且 x）的图象是 （ 32）7设 y ，则下列结论中正确的是 （ cos2x1 sinx）A.y 有最大值也有最小值 B.y 有最大值但无最小值C.y 有最小值但无最大值 D.y 既无
25、最大值又无最小值 8函数 ysin（ 2x )的单调增区间是 （ 4）A.k ，k (k Z) B.k ，k (k Z)38 8 8 58C.k ，k (kZ) D.k ，k (k Z) 8 38 38 789已知 0x ，且 a0，那么函数 f(x)cos 2x2asinx1 的最小值是 （ 12）A.2a1 B.2a1 C.2a 1 D.2a 10求使函数 ysin(2x ) cos(2x)为奇函数，且在0， 上是增函数的 的一个34值为 （ ）A. B. C. D. 53 43 23 3二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11函数 y 的值域是_. cosx1
26、2cosx12函数 y 的定义域是_.13如果 x，y0， ，且满足 |sinx|2cosy2，则 x_，y_.14已知函数 y2cos x，x 0，2 和 y2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_ 15函数 ysinxcosx sin2x 的值域是_. 16关于函数 f(x)4sin(2x )(xR)有下列命题：3由 f(x1)f( x2)0 可得 x1x 2 必是 的整数倍；yf(x)的表达式可改为 y4cos(2x )；6yf(x)的图象关于点（ ，0)对称；6yf(x)的图象关于直线 x 对称.6其中正确的命题的序号是_. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解
27、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）如图为函数 yAsin(x )(A0，0) 的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.18 （本小题满分 14 分）已知函数 y(sinxcosx) 22cos 2x.(xR)(1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合.(2)该函数图象可由 ysinx (xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？19 （本小题满分 14 分）已知函数 f(x) (sinxcosx )21log（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.20 （本小题满分 15 分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图） ，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深 3 米，则水渠侧壁的倾斜角 应为多少时，方能使修建的成本最低？21 (本小题满分 15 分）已知函数 f(x)sin(x)(0，0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（ ，0) 对称，且在区间0， 上是单调函数，求 和 的值.34 2
