1、2018 届安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12联盟）高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1若集合 ， ，则 （ ）|23Mx1|2xNMNA. B. C. D. 3,1,【答案】C【解析】由题意得 ， 1|2|10|1xxx，故选 C.|13MNx点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2 （ ）sinxdA. B. C.
2、D. 0123【答案】C【解析】原式 .2220sinsisin12xdxxd3已知复数 （ ， ）满足 ，则 的概率为（ ）zyiRzyA. B. C. D. 1421423142142【答案】B【解析】复数 （ ， ） ， ，它的几何意义是以 为圆心，zxyiz0,1 为半径的圆以及内部部分满足 的图象如图中圆内阴影部分所示：y则概率114242P故选 B.4在二项式 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有1nx项的系数是（ ）2xA. B. C. D. 3556【答案】C【解析】第五项的二项式系数最大，则 ，通项为 ，8n8182CCrrr rxx令 ，故系数是 .82
3、,3r31565已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）0abmabA. 9 B. 12 C. 18 D. 24【答案】B【解析】 ，不等式 恒成立,31 min31bma 99621aba当且仅当 a=3b 时取等号， 的最大值为 12m故选：B点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6函数 在 上单调递增，则 的取值不可能sincos(0)fxx,2
4、为（ ）A. B. C. D. 1451234【答案】D【解析】 sincos2in(0)4fxxx令 ，即2,4kkZ324x 在 上单调递增sincos(0)f,2 且423 10故选 D.7执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）2017nSA. B. C. D. 403521740362187【答案】B【解析】若 ，其前 项和为2121nann.研究程序框图可知，当 时，还要循环一次， 1nS 2017m， ，判断是，退出程序，输出20174351208m2017435S【点睛】本题主要考查算法与程序框图. 程序框图问题的解法：(1)解答程序框图的相关问题，首先要认清程序
5、框图中每个“框”的含义，然后按程序框图运行的箭头一步一步向前“走” ，搞清每走一步产生的结论(2)要特别注意在哪一步结束循环，解答循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误8已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 34 B. 22 C. 12 D. 30【答案】B【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥 ，如图所示：其中，正方体是棱长为 ， ， ， 63BE4FBG 2361421EFGABCDFGSSS 1623V故选 B.9已知双曲线 ： （ ， ）的焦点为 ， 1C21yxab0a0b10,Fc，抛物
6、线 ： 的准线与 交于 、 两点，且 与抛物线20,Fc224c1CMN焦点的连线构成等边三角形，则椭圆 的离心率为（ ）2xyaA. B. C. D. 23536【答案】D【解析】抛物线为 ，其焦点为 ，准线为 ，代入 方程解得24xcy2Fyc1C.由于 与 构成等边三角形 ，则 ，即 ，分2bxaMN20,F23ba23ac子分母同时除以 得 ，解得 .由于 ，故椭圆焦点在 轴上，231e3ecy且离心率为 .26ca10本周日有 5 所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选 1所或 2 所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ）A.
7、 330 种 B. 420 种 C. 510 种 D. 600 种【答案】A【解析】种类有（1）甲 ，乙 ，丙 ，方法数有 ；（2）甲 ，乙 ，丙 ；135A601或甲 ，乙 ，丙 ；或甲 ，乙 ，丙 方法数有 ；（3）甲 ，2213C82乙 ，丙 ；或甲 ，乙 ，丙 ；或甲 ，乙 ，丙 方法数有 .12590故总的方法数有 种.6018930【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析” 、 “分辨” 、 “分类” 、 “分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素” ，哪些是“位置” ；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无
8、限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决11圆 ： ，点 为直线 上的一个动点，过点 向圆 作切C2xyP136xyPC线，切点分别为 、 ，则直线 过定点（ ）ABA. B. C. D. 1,231,3,22,【答案】B【解析】不妨设 ，画出图象如下图所示，根据直角三角形射影定理可知,0P，即直线方程为 ，四个选项中，只有 选项符合，故223OD 23xB选 .12已知函数 若存在 ， ，且 ，使2,1 74,xaf1x2R12x，则实数 的取值范围为（
9、）12fxfA. B. C. 或 D. 或a35a235a3a5【答案】C【解析】当 时， ， ，故 符合题0a2,14xf1ff0a意，排除 选项，当 时， 画出图象如下图所示，,BD24, 16xf由图可知此时符合题意，排除 选项，故选 .AC二、填空题13在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若ABCBCabc，则 的大小为_ sinisin23siabc【答案】 6【解析】 siisisinncaB根据正弦定理可得223ibC22cosacC ，即3in3taC 0,C 6故答案为 .14已知向量 ，向量 在向量 方向上的投影为 ，且 ，则1,2aba2510ab_b【答案】
10、 5【解析】设向量 与 间的夹角为 .ab 10b2 ,a25b向量 在向量 方向上的投影为a25 ，即cos25b10b210 5b故答案为 .15如图 1，在矩形 中， ， ， 是 的中点；如图 2，ABCD21BCED将 沿 折起，使折后平面 平面 ，则异面直线 和 所成DEEAAB角的余弦值为_【答案】 6【解析】取 的中点为 ，连接 ， ，延长 到 使 ，连接AEODBOECF， ， ，则 ，所以 为异面直线 和 所成角或它BFDFBAEADB的补角. 1DAE ，且O2DO在 中，根据余弦定理得 .B22coscs45AOBB 102O同理可得， 6F又平面 平面 ，平面 平面 ，
11、 平面DAEBCDAEBCAEDOAE 平面O 平面B ，即2221533同理可得， 7DF又 2BAE在 中， 22376cos 2BFD两直线的夹角的取值范围为 0,2异面直线 和 所成角的余弦值为AEDB6故答案为 .6点睛：对于异面直线所成的角，一般是通过平移的方法形成异面直线所成的角（或其补角） ，再根据其所在三角形的边角关系，计算其大小，要注意异面直线所成的角是锐角或直角，若计算出是钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 16若函数 ，若对任意不同的实数 、 、 ，不等式931xxmf1x23恒成立，则实数 的取值范围为_ 123fxff【答案】 1,42【解析】要使对任意的 ， 成
12、立，也即是 最小123,x122fxffxfx值的两倍要大于它的最大值. ，当 ，即 时， 3xm101m，由基本不等式得 ， 根据上面的分析，则有1fx12fx，解得 ，即 ；当 ，即 时， 23m4,01，有基本不等式得 ，根据上面的分析，则有fx1mfx，解得 ，即 .综上所述 .1232,2,42m【点睛】本题主要考查函数的最大值和最小值，考查对于新概念或定义的理解.解题的突破口在于“对任意不同的实数 、 、 ，不等式 恒成立”1x23123fxffx既然是恒成立，也就是左边相加要比右面的最大值还要大，合起来就是要最小值的两倍，比最大值还要大.根据这个分析利用分类讨论，结合基本不等式来
13、求.三、解答题17已知数列 满足 ， 且 na12nna1na（1）求证：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；nn（2）令 ， ，求数列 的前 项和 1nba1ncbnc20182018S【答案】 （1） （2）340367【解析】试题分析：（1）利用分离常数法，将已知化简得 ，由此11nna求得 的通项公式，进而求得 的通项公式.（2）由（1）化简nana利用分组求和法求得 的值.12nc2018S试题解析：（1） ， 且 ，12nnan1a ，即 ， ，12nna11nna11nna数列 是等差数列， ，n2na ， 12na31（2）由（1）知 ， ，nb1nncb121nn ，1
14、2nc2018 111357208208S 436718在如图所示的几何体中， ， ， 平面 ，/PBECEPBACD在平行四边形 中， ， ， ABCDAD6（1）求证： 平面 ；/ACPDE（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析（2） 154【解析】 【试题分析】 （1）连接 交 于 ，取 中点 ，连接 ， ，BACOPDFOEF利用中位线证明 ，四边形 为平行四边形，从而 ，,/OFEE/AC由此证得 平面 .（2）以 为原点， ， ， 的方向为 轴， /ACPDBx轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，通过计算平面 和平面 的法向yz P量来求二面角的余弦值.【试题解析】（1）证
15、明：连接 交 于 ，取 中点 ，连接 ， ，BOFOEF因为 ， ，又 ， /OFP12/PBCE12PB所以 ， ，从而 ， 平面 ， 平面CEAD，D所以 平面 /A（2）在平行四边形 中，由于 ， ， ，则D160A，又 平面 ，则以 为原点， ， ， 的方向为ABDPABCDBADBP轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，则 ， xyz xyz0,， ， ， ，1,0,30,21,3E则 ， ， ，2AP1PE0设平面 的一个法向量为 ，1,mxyz则由 0,mPE1120 3,令 ，得 ， ，所以 ，13y1x1z23,1，设平面 的一个法向量为 ，2D2nxyz则由 即0,
16、nEP220, 3xzy令 ，得 ， ，所以 ，23y223,n，所以 ，0n 15cos,4mn所以所求二面角的余弦值为 19某市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要 1 万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要 3 万元，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市 50 所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频率分布表：流失教师数 6 7 8 9频数 10 15 15 10以这 50 所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师
17、数发生的概率，记表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数， 表示今年为两所县乡中学招聘X n的教师数为保障县乡孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘（1）求 的分布列；X（2）若要求 ，确定 的最小值；0.5Pnn（3）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中15n6选其一，应选用哪个？【答案】 （1）见解析（2）15（3） 16【解析】 【试题分析】 （1）先由频率及计算出概率，两所学校流失教师数 可能取值X为 ，利用相互独立事件的概率计算公式计算出分布列.（2）由,45,678（1）易求得 的最小值为 15.（3）分别计算出 时，招聘教师所需费用n1
18、5,6n的期望值，通过对比期望值确定选 较为合适.6【试题解析】解：（1）由频数分布表中教师流失频率代替教师流失概率可得，一所县乡中学在三年内流失的教师数为 6,7,8,9 的概率分别为 0.2,0.3,0.3,0.2所有可能的取值为：12,13,14,15,16,17,18，X且 ，20.4PC，1233.12，4.0.X，112250.326PC，6.3.，127.1X，80.4PC所以 的分布列为：12 13 14 15 16 17 180.04 0.12 0.21 0.26 0.21 0.12 0.04（2）由（1）知 ， ，140.37PX150.63PX故 的最小值为 15n（3）
19、记 表示两所县乡中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元） Y当 时， 的分布列为：515 18 21 24P0.63 0.21 0.12 0.04；150.638.210.24.16.7EY当 时， 的分布列为：16nY16 19 22P0.84 0.12 0.04160.849.120.416.EY可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值，故应选 n5n16n20已知直线 ： 与圆 相交的弦长等于椭圆 ： l 2yx25xyC（ ）的焦距长219xyb03（1）求椭圆 的方程；C（2）已知 为原点，椭圆 与抛物线 （ ）交于 、 两点，点O2ypx0MN为椭圆 上一动点，
20、若直线 、 与 轴分别交于 、 两点，求证： PPMNGH为定值GH【答案】 （1） （2）见解析2195xy【解析】 【试题分析】 （1）利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦长，得到.利用 求得 ，得到椭圆方程.（2）设出 三个24,c22abc5,MNP点的坐标，利用点斜式写出直线 的方程，令 求得 两点的坐标，代,PMN0y,GH入 并利用 两点在椭圆上进行化简.OGH,【试题解析】解：（1）由题意知，圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径0,2yx21d为 ，5r直线与圆相交的弦长为 ，则 ， ， 2514rd2c2又 ， ，29a29bac椭圆 的方程 C15xy（2）证明：由条件
21、可知， ， 两点关于 轴对称，设 ， MNx1,Mxy，则 ，0,Pxy1,Nxy由题可知， ， ，所以 ， 2195xy20195xy221195xy220095xy又直线 的方程为 ，令 得点 的横坐标PM100yx0yG，101cxy同理可得 点的横坐标 ，H101Hxy所以221010101xyOGyy ，22 21001012 201 0199559yy y 9即 为定值H【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆相交所得弦长求法，考查点斜式方程和点与圆锥曲线的位置关系.由于题目涉及直线和圆相交所得弦长，故先利用点到直线距离公式，利用直角三角形求得弦长即 .由于 两点是由直线
22、交 轴而2c,GHx得，故利用点斜式写出直线方程，然后令 求出坐标.0y21已知函数 有两个零点1xfea（1）求实数 的取值范围；（2）设 ， （ ）是 的两个零点，证明： 1x212f 1212xx【答案】 （1） （2）见解析ae【解析】 【试题分析】 （1）先对函数求导，然后对 分成 两类，结合函数a0,两个零点，研究函数的单调区间，由此求得 的取值范围.（2）将要证明的不等式，利用函数 ，等价转化为证明 ，构造函数令fx11lnfxfx，利用导数求得 由此证得不等式成立.2lngaf0g【试题解析】解：（1） ， xfeR（2）当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增，显然不符合0a
23、0fxR题意（3）当 时，由 ，得 ，0a0fxlnax,llln,af 0fx递减 极小值 递增当 ， 时都有 ，fx当 ，即 时 有两个零点ln2l0fa2aef（2）要证 ，即证 ，1x121x由已知 ， ，e2e即证 ，1212xxa即证 ，即证 ，即证 ，12e12ln21lnxa又 ，且 在 单调递增，2lnxfx,故只需证 ，即证 ，1lfa11lfxfx令 且 ，lgxxflna ，2xae2xxe20xea 在 单调递减， ，gx,lnlnlnl0gffa 在 上恒成立，2lfafx,lna ，故原命题得证11【点睛】本小题主要考查利用导数求单调区间讨论函数的零点问题，考查利
24、用导数证明不等式的问题.导数的主要作用在于利用导数研究函数的图象与性质，主要是单调性，求导后，导函数一般为二次函数、一次函数，或者类似一次、二次函数的形式.如本题中 ，就是一种类似一次函数的导函数.xfea22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点xOyl32, 4xty为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 有相同的x xOy长度单位，曲线 的极坐标方程为 C4sin（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；l（2）设曲线 与直线 交于 、 两点，且 点的坐标为 ，求 的lABM3,4MAB值【答案】 （1）
25、 ， （2）90xy24xy【解析】试题分析：（1）对直线 的参数方程消参即可得直线 的普通方程，根据l l即可得曲线 的直角坐标方程；（2）将直线方程转化为标准形式的22 sinyC参数方程代入到曲线 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求出 的值MAB试题解析：（1） ： ， ： ，l10xy24sin即 ，所以 的普通方程是 24xyCxy（2）将直线方程转化为标准形式的参数方程 ： （ 为参数） ，l23, 4ty代入 中得： ， .224xy2590tt53610设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ，则 AB1212 29MABt23选修 4-5：不等式选讲已知函数 2fxx（1）求函数
26、 的最大值；（2）若 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围xR415fxmm【答案】 （1）3（2） 68,3【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式的性质可得 的最大值；（2） ，fxxR恒成立，等价于 ，即4215fxmma4152f，对 进行分类讨论，去绝对值，即可解得实数 的取值范围.试题解析：（1） ，2123fxxx所以 的最大值是 3fx（2） ， 恒成立，等价于R4215fxm，即 max4152f15当 时，等价于 ，解得 ；5m63当 时，等价于 ，化简得 ，无解；22m当 时，等价于 ，解得 1158综上，实数 的取值范围为 m6,3点睛：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用.其中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键.
