1、1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)明目标、知重点1能根据定义求函数 y c， y x， y x2， y ， y 的导数 1x x2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数1几个常用函数的导数原函数 导函数f(x) c f( x)0f(x) x f( x)1f(x) x2 f( x)2 xf(x)1xf( x)1x2f(x) xf( x)12x2.基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x) c f( x)0f(x) x ( Q *) f( x) x 1f(x)sin x f( x)cos_ xf(x)cos x f( x)sin_
2、xf(x) ax f( x) axln_a(a0)f(x)e x f( x)e xf(x)log ax f( x) (a0 且 a1)1xln af(x)ln x f( x) 1x情境导学在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题探究点一 几个常用函数的导数思考 1 怎样利用定义求函数 y f(x)的导数？答 (1)计算 ，并化简； y x(2)观察当 x 趋近于 0 时， 趋近于哪个定值； y x(3) 趋近于的定值就是函数 y f(x)的导数 y x思考 2 利用定义求下列常用函数的导数： y
3、c， y x， y x2， y ， y .1x x答 y0， y1， y2 x， y lim x 0 y x (其它类同) ，lim x 01x x 1x x lim x 0 1xx x 1x2 y .12x思考 3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度(1)函数 y f(x) c(常数)的导数的物理意义是什么？(2)函数 y f(x) x 的导数的物理意义呢？答 (1)若 y c 表示路程关于时间的函数，则 y0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即一直处于静止状态(2)若 y x 表示路程关于时间的函数，则 y1 可以解释为某物体做瞬时速度为
4、1 的匀速运动思考 4 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y2 x， y3 x， y4 x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3)函数 y kx(k0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数 y2 x， y3 x， y4 x 的图象如图所示，导数分别为y2， y3， y4.(1)从图象上看，函数 y2 x， y3 x， y4 x 的导数分别表示这三条直线的斜率(2)在这三个函数中， y4 x 增加得最快， y2 x 增加得最慢(3)函数 y kx(k0)增加的快慢与 k 有关系，即与函数的导数有关
5、系， k 越大，函数增加得越快， k 越小，函数增加得越慢函数 y kx(k0 时，1x随着 x 的增加，函数减少得越来越慢点(1,1)处切线的斜率就是导数 y| x1 1，故斜率为1，112过点(1,1)的切线方程为 y x2.思考 6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度探究点二 基本初等函数的导数公式思考 你能发现 8 个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？答 公式 6 是公式 5 的特例，公式 8 是公式 7 的特例例 1 求下列函数的导数：(1)ysin ；(
6、2) y5 x；(3) y ；(4) y ； 3 1x3 4x3(5)ylog 3x.解 (1) y0；(2)y(5 x)5 xln 5；(3)y ( x3 )3 x4 ；(1x3)(4)y( )( x ) x ；4x334 34 14 344x(5)y(log 3x) .1xln 3反思与感悟 对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如 sin 是常数，而常数的导数一定为零，就不会 3 32出现 cos 这样的错误结果二是准确记忆，灵活变形如根式、分式可转化为(sin 3) 3指数式，利用公式 2 求导跟踪训练 1 求下列函数
7、的导数：(1)y x8；(2) y( )x；(3) y x ；(4) ylog x.12 x 13解 (1) y8 x7；(2)y( )xln ( )xln 2；12 12 12(3) y x x ， y x ；x32 3212(4)y .1xln 13 1xln 3例 2 判断下列计算是否正确求 ycos x 在 x 处的导数，过程如下： 3y| x sin . 3 (cos 3) 3 32解 错误应为 ysin x， y| x sin . 3 3 32反思与感悟 函数 f(x)在点 x0处的导数等于 f( x)在点 x x0处的函数值在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再
8、将 x0代入导函数求解，不能先代入后求导跟踪训练 2 求函数 f(x)ln x 在 x1 处的导数解 f( x)(ln x) ，1x f(1)1，函数 f(x)在 x1 处的导数为 1.探究点三 导数公式的综合应用按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：(1)可求基本初等函数图象在某一点 P(x0， y0)处的切线方程(2)知切线斜率可求切点坐标例 3 已知直线 l: 2x y40 与抛物线 y x2相交于 A、 B 两点， O 是坐标原点，试求与直线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB 上求一点 P，使 ABP 的面积最大解 设 P(x0， y0)为切点，过点 P 与 AB
9、 平行的直线斜率 k y2 x0， k2 x02， x01， y0 1.故可得 P(1,1)，切线方程为 2x y10.由于直线 l: 2x y40 与抛物线 y x2相交于 A、 B 两点，所以| AB|为定值，要使 ABP的面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大，故 P(1,1)点即为所求弧 上的点，使 ABP 的面积O最大反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(x0， y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练 3 点 P 是曲线 ye
10、 x上任意一点，求点 P 到直线 y x 的最小距离解 根据题意设平行于直线 y x 的直线与曲线 ye x相切于点( x0， y0)，该切点即为与 y x距离最近的点，如图则在点( x0， y0)处的切线斜率为 1，即 y| x x01. y(e x)e x，e x01，得 x00，代入 ye x，得 y01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.221给出下列结论：若 y ，则 y ；1x3 3x4若 y ，则 y ；3x133x若 y ，则 y2 x3 ；1x2若 f(x)3 x，则 f(1)3.其中正确的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 y x3 ，1x3则 y
11、3 x4 ；3x4 y x ，则 y x ；3x13 13 23 133x y x2 ，则 y2 x3 ；1x2由 f(x)3 x，知 f( x)3， f(1)3.正确2函数 f(x) ，则 f(3)等于( )xA. B036C. D.12x 32答案 A解析 f( x)( ) ，x12x f(3) .123 363设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是( )A0， ，) B0，) 4 34C ， D0， ， 4 34 4 2 34答案 A解析 (sin x)cos x， klcos x，1 kl1， l0， ，) 4 344曲线
12、ye x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案 e212解析 y(e x)e x， ke 2，曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 ye 2e 2(x2)，即 ye 2xe 2.当 x0 时， ye 2，当 y0 时， x1. S 1|e 2| e2.12 12呈重点、现规律1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求 y12sin 2 的导数因为 y12sin 2 cos x，x2 x所以 y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是
13、注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础过关1下列结论中正确的个数为( ) yln 2，则 y ； y ，则 y| x3 ；12 1x2 227 y2 x，则 y2 xln 2； ylog 2x，则 y .1xln 2A0 B1 C2 D3答案 D解析 yln 2 为常数，所以 y0.错2过曲线 y 上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为( )1xA. B. 或(12， 2) (12， 2) ( 12， 2)C. D.(12， 2) (12， 2)答案 B解析 y 4， x ，故选 B.(1x) 1x2 123已知 f(x) xa，若 f(1)4，则 a 的值等于( )A4 B4
14、 C5 D5答案 A解析 f( x) axa1 ， f(1) a(1) a1 4， a4.4曲线 y 在 x a 处的切线的倾斜角为 ，则 a_.1x 34答案 134解析 y( ) ，12x12 3x y| x a 1，12 3 a .1345若曲线 y 在点( a， )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a 等于12x12( )A64 B32 C16 D8答案 A解析 y ， y ，12x12 3x曲线在点( a， )处的切线斜率 k ，12 12 3a切线方程为 y (x a)1212 3令 x0 得 y ；令 y0 得 x3 a.32 1a该切线与两坐标轴围成的三角形的
15、面积为S 3a 18， a64.12 32 194 126曲线 y 在点 M(3,3)处的切线方程是_9x答案 x y60解析 y ， y| x3 1，过点(3,3)的斜率为1 的切线方程为9x2y3( x3)即 x y60.7求下列函数的导数：(1)y ；(2) y ；(3) y2sin (12cos 2 )；(4) ylog 2x2log 2x.5x31x4 x2 x4解 (1) y( )( x ) x 1 x5x335 3535 35 25 .355x2(2)y( )( x4 )4 x41 4 x5 .1x4 4x5(3) y2sin (12cos 2 )x2 x42sin (2cos2
16、 1)2sin cos sin x，x2 x4 x2 x2 y(sin x)cos x.(4) ylog 2x2log 2xlog 2x， y(log 2x) .1xln 2二、能力提升8已知直线 y kx 是曲线 ye x的切线，则实数 k 的值为( )A. B Ce De1e 1e答案 D解析 ye x，设切点为( x0， y0)，则Error!e x0e x0x0， x01， ke.9(2013江西)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex) xe x，则 f(1)_.答案 2解析 设 ex t，则 xln t(t0)， f(t)ln t t f( t) 1，1t f(1)2.10
17、求下列函数的导数：(1)y x ；(2) y x7；(3) y ；x 1x5(4)yln 3；(5) y x (x0)x3解 (1) y( x )( ) .x 232 132x(2)y7 x6.(3)y( x5 )5 x6 .5x6(4)y(ln 3)0.(5)因为 y x ，所以 y ，x352所以 y( ) .5252 152 3x5xx211已知 f(x)cos x， g(x) x，求适合 f( x) g( x)0 的 x 的值解 f(x)cos x， g(x) x， f( x)(cos x)sin x， g( x) x1，由 f( x) g( x)0，得sin x10，即 sin x1
18、，但 sin x1,1，sin x1， x2 k ， kZ. 212已知抛物线 y x2，直线 x y20，求抛物线上的点到直线的最短距离解 根据题意可知，与直线 x y20 平行的抛物线 y x2的切线，对应的切点到直线x y20 的距离最短，设切点坐标为( x0， x )，则 y| x x02 x01，20所以 x0 ，所以切点坐标为 ，12 (12， 14)切点到直线 x y20 的距离d ，|12 14 2|2 728所以抛物线上的点到直线 x y20 的最短距离为 .728三、探究与拓展13设 f0(x)sin x， f1(x) f0( x)， f2(x) f1( x)， fn1 (x) fn( x)， nN，试求 f2 014(x)解 f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x) f1(x)，f6(x) f2(x)，fn4 (x) fn(x)，可知周期为 4， f2 014(x) f2(x)sin x.
