1、12 任意角的三角函数12.1 三角函数的定义 学习目标 1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号知识链接在初中，我们已经学过锐角的三角函数如图，在 RtABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦、余弦、正切分别是什么？答 锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为：sin A ，cos A ，tan A .ac bc ab预习导引1三角函数的定义如图，在 的终边上任取一点 P(x，y)，设 OPr(r0)(1)定义叫做角 的余弦 ，记作 cos_， 即 cos ；xr xr叫做角 的正弦 ；记作 sin_，即 sin ；yr yr叫做角 的
2、正切 ，记作 tan_，即 tan .yx yx依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当 2k (kZ)时，它有唯一的正切值与之对应因此这三个对应法则都是以 为自变2量的函数，分别叫做角 的余弦函数、正弦函数和正切函数(2)有时我们还用到下面三个函数角 的正割：sec ；角 的余割：csc ；1cos rx 1sin ry角 的余切：cot .1tan xy这就是说，sec ，csc ，cot 分别是 的余弦、正弦和正切的倒数由上述定义可知，当 的终边在 y 轴上，即 2k (kZ)时，tan ，sec 没有意义；2当 的终边在 x 轴上，即 k (kZ
3、 )时，cot ，csc 没有意义2三角函数在各个象限的符号3三角函数的定义域三角函数 定义域sin ，cos Rtan ，sec | k 2，k Zcot ，csc |k，kZ要点一 三角函数定义的应用例 1 已知角 的终边在直线 y3x 上，求 10sin 的值3cos 解 由题意知，cos 0.设角 的终边上任一点为 P(k，3k)(k0)，则xk，y3k，r |k|.k2 3k2 10(1)当 k0 时，r k， 是第四象限角，10sin ，yr 3k10k 31010 ，1cos rx 10kk 1010sin 10 33cos ( 31010) 103 3 0.10 10(2)当
4、k0 ，cos 40)，可知角的三角函数值yr xr yx的符号是由角终边上任一点 P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键跟踪演练 2 已知 cos tan 0，则 是第一、二象限的角；若 是第二象限的角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cos ，其中正确的个xx2 y2数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 只有正确2当 为第二象限角时， 的值是( )|sin |sin cos |cos |A1 B0 C2 D2答案 C解析 为第二象限角，sin 0，cos 0，cos 0，且 sin xcos x0，那么角 x 是第_象限角答案 一解析
5、tan x0 ，x 是第一或第三象限角又sin xcos x0，x 是第一象限角7角 的终边上一点 P 的坐标为(4a，3a)(a0) ，求 2sin cos 的值解 由题意有 x4a，y 3a，故 r 5| a|.4a2 3a2(1)当 a0 时， 是第四象限的角，所以sin ，cos ，yr 3a5a 35 xr 45故 2sin cos .25(2)当 a0，则( )Asin 20 Bcos 0Csin 0 Dcos 20答案 A解析 tan 0，( k， k )(kZ )是第一、三象限角2sin ，cos 都可正、可负，排除 B，C.而 2(2 k，2k)(kZ)，结合正、余弦函数图象
6、可知，A 正确取 ，则 tan 10，而 cos 20，故 D 不正确49已知 终边经过点(3a9，a2) ，且 sin 0， cos 0，则 a 的取值范围为_答案 (2,3解析 sin 0，cos 0， 位于第二象限或 y 轴正半轴上，3a90，a20，20.(2)0，( 234)sin 4tan 0 ， 0.sincos cossin 三、探究与创新13在平面直角坐标系中，角 的终边在直线 3x4y 0 上，求 sin 3cos tan 的值解 当 的终边在第二象限时，取终边上的点 P(4,3)，OP 5，sin ，cos ，tan ，35 45 3 4 34所以 sin 3cos tan .35 125 34 94当 的终边在第四象限时，取终边上的点 P(4，3) ，OP 5，sin ，cos ，tan ， 35 35 45 34 34所以 sin 3cos tan .35 125 34 154
