1、第三章 空间向量与立体几何(B)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1空间四个点 O、A、B、C， ， ， 为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )OA OB OC AO、A、B 、C 四点不共线BO、A、B、C 四点共面，但不共线CO、A、B、C 四点中任意三点不共线DO、A、B 、C 四点不共面2已知 a3b 与 7a5b 垂直，且 a4b 与 7a2b 垂直，则a，b等于( )A30 B60 C90 D453已知 A(2， 5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1) ，则向量 与 的夹角为( )AB AC A30
2、B45 C60 D904已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若 x yAE AA1 AB ，则 x，y 的值分别为( )AD Ax1，y1 Bx 1，y12Cx ，y Dx ，y12 12 12 135设 E，F 是正方体 AC1的棱 AB 和 D1C1的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面 A1ECF 成 60角的对角线的数目是( )A0 B2 C4 D66已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4) ，AB (4,2,0)， (1,2， 1)对于结论：APAB；APAD ； 是平面AD AP AP ABCD 的法向
3、量； .其中正确的个数是( )AP BD A1 B2 C 3 D47已知 a(3,2,5)，b(1，x，1)且 ab2，则 x 的值是 ( )A3 B4 C5 D68设 A、B 、C、D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则AB AC AC AD AB AD BCD 是( )A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定9正三棱柱 ABCA 1B1C1中，若BAC90，ABACAA 1，则异面直线 BA1与AC1所成的角等于( )A30 B45 C60 D9010若向量 a(2,3，)，b 的夹角为 60，则 等于( )( 1，1，63)A. B.2312 612C. D23612
4、 2361211已知 (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2) ，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 取OA OB OP QA QB 得最小值时，点 Q 的坐标为 ( )A. B.(12，34，13) (12，32，34)C. D.(43，43，83) (43，43，73)12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的余弦值为( )A. B.12 32C. D.13 33题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13若向量 a(1,1，x)，b (1,2,1
5、)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.14若 A ，B ，C 是平面 内的三点，设平面 的法向量(0，2，198) (1， 1，58) ( 2，1，58)a(x， y，z)，则 xyz_.15平面 的法向量为 m(1,0，1)，平面 的法向量为 n(0，1,1) ，则平面 与平面 所成二面角的大小为_16.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC AA 12，点 D 是 A1C1的中点，则异面直线 AD 和 BC1所成角的大小为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)如图，已知 ABCDA1B1C1D1是平行六面体设 M 是底面 ABC
6、D 的中心，N 是侧面BCC1B1对角线 BC1上的 分点，设 ，试求 、 、 的值34 MN AB AD AA1 18.(12 分)如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2a 的菱形，且SASC2a，SBSD a，点 E 是 SC 上的点，且 SEa (00.B 为锐角，同理，BC BD AC AB AD AB AB C，D 均为锐角，BCD 为锐角三角形9C建系如图，设 AB1，则 B(1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1) (1,0,1)，BA1 (0,1,1)AC1 cos ， BA1 AC1 .12 2 12 ， 60，即异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等
7、于 60.BA1 AC1 10C a(2,3，)，b ，( 1，1，63)ab 1 ，|a| ，|b| ，63 2 13 263cosa，b .ab|a|b|63 12 13263 12 .2361211C Q 在 OP 上，可设 Q(x，x, 2x)，则 (1 x，2x,32x) ，QA (2x,1x,22x )QB 6x 216x10，x 时， 最小，这时 Q .QA QB 43 QA QB (43，43，83)12C 以点 D 为原点，DA、DC、DD 1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 (1,1，1) ， (1,1,1)A1C AC1
8、可以证明 A1C平面 BC1D， AC1平面 A1BD.又 cos ， ，结合图形可知平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的余弦值为AC1 A1C 13.13132解析 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca )(2b)2(1x )2，x 2.1423(4)解析 ，AB (1， 3， 74) ，AC ( 2， 1， 74)由 a 0，a 0，得Error!，AB AC xyz yy23 ( 43y)23(4)1560或 120解析 cosm，n ，mn|m|n| 12 2 12m，n120，即平面 与 所成二面角的大小为 6
9、0或 120.16.6解析 建立如图所示坐标系，则 ( 1,1，2)，AD (0,2，2)，BC1 cos ， ， ， .AD BC1 622 6 32 AD BC1 6即异面直线 AD 和 BC1 所成角的大小为 .617解 MN MB BN 12DB 34BC1 ( ) ( )12AB AD 34CC1 CB ( ) ( )12AB AD 34AA1 AD 12AB 12AD 34AA1 34AD ，12AB 14AD 34AA1 ， ， .12 14 3418(1)证明 连结 BD，AC，设 BD 与 AC 交于 O.由底面是菱形，得 BDAC.SBSD，O 为 BD 中点，BDSO.又
10、 ACSOO，BD面 SAC.又 AE面 SAC，BD AE.(2)解 由(1)知 BDSO，同理可证 ACSO，SO平面 ABCD.取 AC 和 BD 的交点 O 为原点建立如图所示的坐标系，设 SOx，则 OA ，OB .4a2 x2 2a2 x2OAOB ，AB2a，(4a 2x 2)(2a 2x 2)4a 2，解得 xa.OA a，则 A( a,0,0)，C( a,0,0)，S(0,0 ，a)3 3 3SC平面 EBD， 是平面 EBD 的法向量SC ( a,0，a)， ( a,0，a) SC 3 SA 3设 SA 与平面 BED 所成角为 ，则 sin ，| 3a2 a2|3 1a
11、3 1a 12即 SA 与平面 BED 所成的角为 .619解 a (1,1,2)(2,0,2) (1,1,0)，AB b (3,0,4)(2,0,2) ( 1,0,2)AC (1)cos ，ab|a|b| 1 0 025 1010a 与 b 的夹角 的余弦值为 .1010(2)kab(k，k,0)( 1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k, 0)(2,0,4)(k2，k，4)，(k1 ，k,2)(k 2，k，4)(k1)(k2)k 280.即 2k2k100，k 或 k2.5220解 以 O 为坐标原点，射线 OB，OA，OS 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴的正半轴，建立如图所示的
12、空间直角坐标系 Oxyz.设 B(1,0,0)，则 C(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC 的中点 M.( 12，0，12)故 ， ，MO (12，0， 12) MA (12，1， 12)(1,0，1)，所以 0， 0.SC MO SC MA SC 即 MO SC，MA SC .故 ， 为二面角 ASCB 的平面角MO MA cos ， .MO MA 33即二面角 ASCB 的余弦值为 .3321.(1)证明 如图，以 A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,
13、0)，D(4,0,0)，P(0,0,2) (4,0，2)， (0，2,0) ， (0,0，2)PD CD PA 设平面 PDC 的一个法向量为 n( x，y,1) ，则 Error!Error!所以平面 PCD 的一个法向量为 .(12，0，1)PA平面 ABCD，PAAB ，又ABAD ，PAADA，AB平面 PAD.平面 PAD 的法向量为 (0,2,0)AB n 0， n .AB AB 平面 PDC平面 PAD.(2)解 由(1)知平面 PCD 的一个单位法向量为 .n|n| ( 55，0，255) ，|4，0，0( 55，0，255)| 455点 B 到平面 PCD 的距离为 .45522(1)证明 连结 BD，设 AC 交 BD 于点 O，由题意知 SO平面 ABCD，以 O 点为
