二、无界函数反常积分的审敛法,第五节,反常积分,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,一、无穷限反常积分的审敛法,反常积分的审敛法,函数,第五章,1 第一类 p 积分,当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,2 广义积分,当 q a) .,定理7. (极限审敛法2),定理4 目录 上页 下页 返回 结束,则有:,1) 当,2) 当,例5. 判别反常积分,解:,利用洛必达法则得,根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .,例6. 判定椭圆积分,定理4 目录 上页 下页 返回 结束,散性 .,解:,由于,的敛,根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .,类似定理5, 有下列结论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 判别反常积分,的敛散性 .,解:,称为绝对收敛 .,故对充分小,从而,据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .,则反常积分,三、 函数,1. 定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面证明这个特殊函数在,内收敛 .,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,综上所述 ,2. 性质,(1) 递推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,(分部积分),注意到:,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,(3) 余元公式:,(证明略),(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,得应用中常见的积分,这表明左端的积分可用 函数来计算.,例如,
