1、3.1.3 空间向量的数量积运算课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题1空间向量的夹角定义已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作 a， b，则AOB 叫OA OB 做向量 a，b 的夹角记法范围,想一想：a，b与b，a相等吗？a，b与a，b呢？2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做 a，b 的数量积，记作 ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (a)b_交换律 ab_分配律 a(bc)_
2、(3)数量积的性质若 a，b 是非零向量，则 a b_.若 a 与 b 同向，则 ab_；若反向，则 ab_.特别地：aa|a| 2 或|a| .aa若 为 a，b 的夹角，则 cos _两个向量数量积的性质|ab| a|b|.一、选择题1设 a、b、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：(ab) c( ca)b0；|a |b|0，则ABC 为锐角三角形AC AB 其中正确的是_(填写正确的序号 )三、解答题10.如图，已知在空间四边形 OABC 中，OBOC，ABAC.求证：OABC.11在正四面体 ABCD 中，棱长为 a，M、N 分别是棱 AB、CD 上的点，且|MB|2|A
3、M|，| CN| |ND|，求| MN|.12能力提升12.平面式 O,A.B 三点不共线，设 a， b，则OAB 的面积等于( )OA BA. |a|2|b|2 ab2B. |a|2|b|2 ab2C.12|a|2|b|2 ab2D.12|a|2|b|2 ab213.如图所示，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC，线段 BDAB，且AB7，ACBD24，线段 BD 与 所成的角为 30，求 CD 的长1空间向量数量积直接根据定义计算2利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用 a bab0 证线线垂直( a，b 为非零向量)(2)利用 ab|a|b|cosa，b ，cos
4、，求两直线的夹角 (3)利用| a|2aa，求解有关线段的长度问题ab|a|b|31.3 空间向量的数量积运算知识梳理1 a，b 0，2(2)( ab) ba abac(3)ab0 | a|b| | a|b|ab|a|b|作业设计1D 错；正确，可以利用三角形法则作出 ab，三角形的两边之差小于第三边；错，当 bacb0 时，( ba)c(ca)b 与 c 垂直；正确，直接利用数量积的运算律2A ab| a|b|cosa，b| a|b|cosa，b1a，b0，当 a 与 b 反向时，不能成立3C | a3b |2( a3b) 2a 26a b9b 216cos 60913.|a3b| .134
5、D ( )AE CF 12AB AC D | |214AB AD 14AC AD 12AB AC 12AC cos 60 cos 60 cos 60 .14 14 12 12 125C ，PC PA AB BC | |2 ( )2PC PA AB BC 2 2 22 2 2 108266 144，| |12.PA AB BC PA AB PA BC AB BC 12 PC 6B 由题意 ma，mb，则有 ma0，mb0，mnm(a b) ma mb0，m n.760解析 由|ab | ，得(ab) 27，7即|a |2 2ab|b| 27，2ab 6，|a|b |cosa， b3，cosa，b
6、 ， a，b60.即 a 与 b 的夹角为 60.128. 7解析 |ab| a2 2ab b2 .1 2212 4 79解析 错， ；正确；正确，| | |；错，ABC 不一定是锐角AB AC CB AB AC 三角形10证明 OBOC，AB AC，OAOA ，OACOAB.AOCAOB. ( )OA BC OA OC OB OA OC OA OB | | |cosAOC| | |cosAOB0，OABC.OA OC OA OB 11解 如图所示，| | | |a，把题中所用到的量都用向量 、 、 表示，于是AB AC AD AB AC AD MN MB BC CN ( ) ( ) .23A
7、B AC AB 13AD AC 13AB 13AD 23AC 又 AD AB AB AC AC AD | |2cos 60 | |2 a2，AD 12AD 12 MN MN 331BC 2 2 2 a2 a2 a2 a2 a2.19AB 29AD AB 49AB AC 49AC AD 19AD 49AC 19 19 19 49 59故| | a，即|MN| a.MN 53 5312.C 如图所示，SOAB |a|b|sina，b12 |a|b|12 1 cosa，b2 |a|b| 12 1 ab|a|b|2 |a|b| 12 |a|2|b|2 ab2|a|2|b|2 .12|a|2|b|2 a
8、b213.解 由 AC，可知 ACAB，过点 D 作 DD1，D 1 为垂足，连结 BD1，则DBD 1 为 BD 与 所成的角，即DBD 130，BDD 160，AC，DD 1，ACDD 1， ， 60， ， 120.CA DB CA BD 又 ，CD CA AB BD | |2( )2CD CA AB BD | |2 | |2 | |22 2 2 BD AB，ACAB，CA AB BD CA AB CA BD AB BD 0， 0.BD AB AC AB 故| |2| |2| |2| |22 CD CA AB BD CA BD 24 27 224 222424cos 120625，| |25.CD
