1、页 1 第2019 届陕西省西安市长安区第五中学高三上学期期中考试数学（理）试题1、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 抛物线 的焦点坐标是24yxA. (0,1) B.(1,0) C.(0,2) D.(0, )162. 已知圆 ，定点 ， 是圆 上的一动点，线段 的垂直平分线交半径213Fxy、: 20F、A1F2FA于 点，则 点的轨迹 的方程是1APCA. B. C. D.243xy2195xy2134xy2159xy3.将函数 y=3sin（2x+ ）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（ ，0）中心对称 2A. 向
2、左平移 个单位 B.向右平移 个单位 1212C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位664.函数 的图象是21exy、5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. 3 C. D.68106.已知 是双曲线 上不同的三点，且 连线经过坐标原点，若直线ABP、2(0,)xyabAB、页 2 第的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为PAB、 3PABkA. B. C. 2 D.3237.已知抛物线 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为24xyA. B. C.1 D.2348. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A
3、. 8 B.4 C.4 D.4239.在等腰直角三角形 ABC 中，C=90， ，点 P 为三角形 ABC 所在平面上一动点，且满足2CA=1，则 的取值范围是BP()CABA. B. C. -2,2 D.2,0,2,210.已知 是椭圆 的左、右焦点，点 M（ 2，3），则 的角平分线的斜率为12,F16xy12FA. 1 B. C. 2 D. 511.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD底面 ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球 O 与棱长
4、为 4 的正方体 的所有棱都相切，点 M 是球 O 上一点，点 N 是1ABCD的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是1ACBMN页 3 第A. B. 62,62,C. D.33,22、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13.已知 cos（ ）= ，则 sin（ ）= .13214.若等差数列 满足 ,则当 = 时， 的前 项和最大.na789710,anna15.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 是 DC 的中点；如图 2，将DAE 沿 AE 折起，使折起后平面DAE平面 ABCE，则异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为 .16.已知函数 （0x ），若
5、函数 的所有零点依次记为4sin(2)6fx、 9163Fxf、，则 = .123123nnx、 1231nxx 3、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （本小题满分 10 分）设 为各项不相等的等差数列 的前 n 项和，已知 .nSa35739aS、(1)求数列 的通项公式；a(2)设 为数列 的前 n 项和，求 .nT1nnT18. （本小题满分 12 分）在 中， ， 2 ，ABC4AC5cos.25页 4 第(1)求 的值；sinBAC(2)设 的中点为 ,求中线 的长.DA19. （本小题满分 12 分）如图，抛物线 的焦点为 ，准线 与 x 轴的交点为 A，点
6、 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，24Eyx:Fl为半径作圆，设圆 C 与准线 交于不同的两点 M，N.COl(1)若点 C 的纵坐标为 2，求 ；MN(2)若 ，求圆 C 的半径.2AF20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，点21(0)xyab3212A、C满足 .1P、12AP(1)求椭圆 的方程；页 5 第(2)设直线 经过点 且与 交于不同的两点 ，试问：在 x 轴上是否存在点 ,使得直线 与直线lPCMN、 QM的斜率的和为定值？若存在，求出点 的坐标及定值，若不存在，请说明理由.QNQ21.（本小题满分 12 分）已知函数
7、.lnfx、(1)若直线 过点（1 ，0），并且与曲线 相切，求直线 的方程；l yfx、l(2)设函数 在1,e 上有且只有一个零点，求 的取值范围.( 其中 R ，e 为自然对数1gxfax、 aa的底数)22.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ， 是它的一个顶点，过点 作圆1:C2(0)xyab20P、 P的切线 为切点，且 .22:rPT、T(1)求椭圆 及圆 的方程；12(2)过点 作互相垂直的两条直线 ， ，其中 与椭圆的另一交点为 D， 与圆交于 两点,求1l21l 2lAB、页 6 第面积的最大值.ABD页 7 第参考答案与解析1、 选择题1-5 DBBAB 6-1
8、0 CDCDC 11-12 AC2、 填空题13. 14.8 15. 16.4457963、 解答题17. 解：（1 ）设数列 的公差为 d，则由题意知 解得 （舍去）na111(2)43(6),39,adad10,3a或 所以 .(5 分)1,2.da(1)n（2 ） 因为 = ，1n1()22n所以 = + + = .（10 分）1231nnTaa()341()2n()n18. 解：（1）因为 ，且 C 是三角形的内角，所以 sinC= = .25cos 2cosC5所以 sinisinBACB、= .（4 分）icosi25310(2) 在ABC 中，由正弦定理，得 ，所以 = ，sin
9、siBCAsinACBB253106于是 CD= .在ADC 中，AC=2 ，132BC5cosC= ，（8 分）5所以由余弦定理，得 AD= = ，即中线2cosACDCA252093AD 的长为 .(12 分)5页 8 第19. 解：（1）抛物线 E：y 2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1，由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为（ 1，2 ），所以点 C 到准线 l 的距离为 d=2，又 ，所以 .（4 分）5CO5MNOd（2 ）设 C（ ），则圆 C 的方程为 ，即 .20,4y242200()()416yyx200yxy由 x=-1，得 .设 ，则 由22001yy12-
10、,-,MyN、 220012()4,yA，得 ，所以 ，解得 ，此时 .2AFMN124y20406y0A所以圆心 C 的坐标为 或 ，从而 ， ，即圆 C 的半径为 .(12 分)3(,6)(,)23CO323220. 解：（1）依题意， ，P（2，-1），所以 =（-a-2,1）(a-2,1)=5-a 2,(2 分)12,0,Aa1PA由 =1，a0, 得 a=2,因为 e= ，所以 c= ，b 2=a2-c2=1，（4 分）12PA 3c故椭圆 C 的方程为 .（5 分）214xy（2 ） 假设存在满足条件的点 Q（t ，0 ），当直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足
11、题意，因此直线 l 的斜率 k 存在，设 l：y+1=k（x-2），由 消 y，得（ 1+4k2）x 2-（16k 2+8k）x+16k 2+16k=0，（7 分）21(),4yx=-64k0,所以 kea-1,()ln1a()0()0gx所以 g（x）在（ 0，e a-1）上单调递减，在（e a-1， ）上单调递增.（6 分）当 ea-11，即 a1 时，g（x）在（1,e 上单调递增，所以 g（x）g(1)=0.此时函数 g（x）在（1,e上没有零点，（7 分）当 1 .(12 分)e-22. 解：（1）由 a=2，e= ，得 c= ,所以 b= ，故所求椭圆方程为 .2c2214xy由已知有 r= ,圆 C2 的方程为 C2：x 2+y2=2.(4 分)2POT页 10 第（2 ）设直线 l1 方程为 y=k（x+2），由 得（1+2k 2）x 2+8k2x+8k2-4=0，2(),14ykx所以 xP+xD= ，又 xD= ，所以 = = . 28k21kDP2DPk214k直线 l2 的方程为 即 x+ky+2=0， ，(),yk 22()ABk所以= = 12ABDSP22241kkA2224433kk= ，当且仅当 ，k= 时取等号，因此ABD 的面积的最大值为 .43223k10 3(12 分)
