1、上海市浦东新区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 21limn2. 不等式 的解集为 0x3. 已知 是等比数列，它的前 项和为 ，且 ， ，则 nannS34a85S4. 已知 是函数 的反函数，则 1()fx2()log(1)fx1(2)f5. 二项展开式中的常数项为 96. 椭圆 （ 为参数）的右焦点坐标为 2cos3iny7. 满足约束条件 的目标函数 的最大值为 40xy32fxy8. 函数 ， R 的单调递增区间为 23()cosinfxx9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面
2、2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面下降 1 米后，水面的宽为 米10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 、 、Oxyz(0,)(,)、 ，则该四面体的体积为 (0,1)(,)11. 已知 是定义在 R 上的偶函数，且 在 上是增函数，如果对于任意fx()f0,)， 恒成立，则实数 的取值范围是 ,21(3)afxa12. 已知函数 ，若对于任意的正整数 ，在区间 上存在 个2()57fn51,n1m实数 、 、 、 、 ，使得 成立，则 的最大01m012()()()mffffa值为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知方程 的两虚根为
3、 、 ，若 ，则实数 的值为（ 210xp1x212|xp）A. B. C. ， D. ，35353514. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1） ；（2）121|zz；（3） ，相应的在向量运算中，下列式子：22|zz123123()()z（1） ；（2 ） ；（3） ，正确的个数是|ab|ab()()abc（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件16. 设 、 是 R 上的两个非空子集，如果存
4、在一个从 到 的函数 满足：PQPQ()yfx（1） ；（2）对任意 ，当 时，恒有 ，那()|fx12,x12x12么称这两个集合构成“ 恒等态射”，以下集合可以构成“ 恒等态射”的是P（ ）A. R Z B. Z Q C. D. R1,2(0,)(1,2)三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知圆锥 的底面半径为 2，母线长为 ，点 为圆锥底面圆周上的一点， 为AO10CO圆心， 是 的中点，且 .DBC（1）求圆锥的全面积；（2）求直线 与平面 所成角的大小.C（结果用反三角函数值表示）18. 在 中，边 、 、 分别为角 、 、 所对应的
5、边.ABCabcABC（1）若 ，求角 的大小；2()sin0()sinc（2）若 ， ， ，求 的面积.4si5A3CcABC19. 已知双曲线 .2:1Cxy（1）求以右焦点为圆心，与双曲线 的渐近线相切的圆的方程；C（2）若经过点 的直线与双曲线 的右支交于不同两点 、 ，求线段 的中(0,)PMN垂线 在 轴上截距 的取值范围.lyt20. 已知函数 定义域为 R，对于任意 R 恒有 .()yfxx(2)()fxf（1）若 ，求 的值；()3f16（2）若 时， ，求函数 ， 的解析式及值域；,22()f()yf(1,8（3）若 时， ，求 在区间 ， 上的最大值与(x3|xx2n*N
6、最小值.21. 已知数列 中 ，前 项和为 ，若对任意的 ，均有na1nnS*nN（ 是常数，且 ）成立，则称数列 为“ 数列”.nkS*kNa()Hk（1）若数列 为“ 数列”，求数列 的前 项和 ；n()HnnS（2）若数列 为“ 数列”，且 为整数，试问：是否存在数列 ，使得a22ana对一切 ， 恒成立？如果存在，求出这样数列 的 的所1|40nn* 2有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列 为“ 数列”，且 ，证明： .na()Hk121kaa 21()nknka上海市浦东新区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，
7、7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 21limn【解析】22. 不等式 的解集为 01x【解析】 ()(,1)x3. 已知 是等比数列，它的前 项和为 ，且 ， ，则 nannS34a85S【解析】 512486S4. 已知 是函数 的反函数，则 ()fx2()log(1)fx1(2)f【解析】 12log35. 二项展开式中的常数项为 91()x【解析】 384C6. 椭圆 （ 为参数）的右焦点坐标为 2cosiny【解析】 ，右焦点为143x(1,0)7. 满足约束条件 的目标函数 的最大值为 240yx32fxy【解析】交点 代入最大，25(,)316f8. 函数 ， R 的单调
8、递增区间为 2cosinfxx【解析】 ，单调递增区间为 ，1()i)6,36xkkZ9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面下降 1 米后，水面的宽为 米【解析】设 ，代入 ， ， ，所以宽为2yax(4,)18a21368x4610. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 、 、Oxyz(0,)(1,)、 ，则该四面体的体积为 (0,1)(,)【解析】是一个边长为 的正四面体，体积为 2146311. 已知 是定义在 R 上的偶函数，且 在 上是增函数，如果对于任意()fx()fx0,)， 恒成立，则实数 的取值范围是 1,21(3)afxa【
9、解析】 在 恒成立， 且 ，解得|,2|1|2|1|1,0a12. 已知函数 ，若对于任意的正整数 ，在区间 上存在 个2()57fn5,nm实数 、 、 、 、 ，使得 成立，则 的最大0a1ma012()()()mffaff值为 【解析】 ，在区间 上最大值为 ，最小值为 ，in59()29,29()4f53()24f，即 m 的最大值为 61931644二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知方程 的两虚根为 、 ，若 ，则实数 的值为（ 210xp1x212|xp）A. B. C. ， D. ，353535【解析】由 ，排除 B、C、D，选 A014.
10、在复数运算中下列三个式子是正确的：（1） ；（2）121|zz；（3） ，相应的在向量运算中，下列式子：22|zz123123()()z（1） ；（2 ） ；（3） ，正确的个数是|ab|ab()()abc（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】 正确，错误，选 B15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【解析】不到蓬莱不成仙，成仙到蓬莱，选 A16. 设 、 是 R 上的两个非空子集，如果存在一个从 到 的函数 满足：PQPQ()
11、yfx（1） ；（2）对任意 ，当 时，恒有 ，那()|fx12,x12x12么称这两个集合构成“ 恒等态射”，以下集合可以构成“ 恒等态射”的是P（ ）A. R Z B. Z Q C. D. R1,2(0,)(1,2)【解析】根据题意，定义域为 P，单调递增，值域为 Q，由此判断，D 符合，故选 D三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知圆锥 的底面半径为 2，母线长为 ，点 为圆锥底面圆周上的一点， 为AO10CO圆心， 是 的中点，且 .DBC（1）求圆锥的全面积；（2）求直线 与平面 所成角的大小.C（结果用反三角函数值表示）【解析】（1
12、）圆锥的底面积 3 分214Sr圆锥的侧面积 3 分240Srl圆锥的全面积 1 分12()（2） 且 ， 平面 2 分BOCQOBCAOAB是直线 与平面 所成角 1 分DA在 中， , , 1 分RtV210D, 2 分 10an5arctn5所以，直线 与平面 所成角的为 1 分CAOB10rta18. 在 中，边 、 、 分别为角 、 、 所对应的边.BabcABC（1）若 ，求角 的大小；2()sin0()sincA（2）若 ， ， ，求 的面积.4si53CcABC【解析】（1）由题意， ；2 分2sinsin2sinaba由正弦定理得 ， ，2 分cabcb ， ；2 分221c
13、osC3C（2）由 ， ，且 ， ；2 分4sin5A3csiniacAC85a由 ， ,2 分2acCo5 ；2 分34sinisicsi10B 2 分183n225ACSca19. 已知双曲线 .:1xy（1）求以右焦点为圆心，与双曲线 的渐近线相切的圆的方程；C（2）若经过点 的直线与双曲线 的右支交于不同两点 、 ，求线段 的中(0,)PMN垂线 在 轴上截距 的取值范围.lyt【解析】（1） 1 分 渐近线 1 分2(,)F0xy2 分 2 分R2()1x（2）设经过点 的直线方程为 ,交点为 1 分B1yk2(,)(,)N1 分 则 2 分221()0xykxk 12012kxk的
14、中点为 ，1 分 得中垂线 1MN21(,)22:()lyx分令 得截距 2 分0x21tk即线段 的中垂线 在 轴上截距 的取值范围是 .lyt(2,)20. 已知函数 定义域为 R，对于任意 R 恒有 .()fxx()2()fxf（1）若 ，求 的值；()3f16（2）若 时， ，求函数 ， 的解析式及值域；,22()f()yf(1,8（3）若 时， ，求 在区间 ， 上的最大值与(x3|xx2n*N最小值.【解析】（1） 且(1)3fQ(2)()fxf1 分 1 分(2)3f 223()1 分 1 分() 44(16)8ff（2） ，()2()2()xfxfff时， ， 1 分1,1x(
15、)1,2f时， ，1 分(4x 2()()()2ff x1 分),2f时， ，1 分(8 2211()()()(4)xxff1 分)4,fx得： ，值域为 1 分22(1),(),4(4),(8xfxx4,2)1(4,8（ ，（3） )2)xfxfff当 时， 得：当 时， 1 分(1,23()x2(,()2()3xff当 时， ，,nx1(,2n11 2()2()()(2(1)3nnnnxxxffff x L2 分当 ， 为奇数时，1(,nx2()3,04nnf当 ， 为偶数时，2, ,x综上： 时， 在 上最大值为 0，最小值为 1 分1n()fx1,212， 为偶数时， 在 上最大值为
16、，最小值为 1 分(,n4n8n， 为奇数时， 在 上最大值为 ，最小值为 1 分3n)fx1,28421. 已知数列 中 ，前 项和为 ，若对任意的 ，均有na1nnS*nN（ 是常数，且 ）成立，则称数列 为“ 数列”.nkS*kNa()Hk（1）若数列 为“ 数列”，求数列 的前 项和 ；n()HnnS（2）若数列 为“ 数列”，且 为整数，试问：是否存在数列 ，使得na(2)H2ana对一切 ， 恒成立？如果存在，求出这样数列 的 的所1|40n*nN2有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列 为“ 数列”，且 ，证明： .na()k121kaa 21()nknka【解析】（1）
17、数列 为“ 数列”，则 ，故 ，HnSS两式相减得： ， 1 分21nn又 时， ，所以 ，1 分1a21a故 对任意的 恒成立，即 （常数） ，1nN*2n故数列 为等比数列，其通项公式为 ；1 分1,*N1 分2,nS（2） 213232113 ()nnnnaaa1 分2(,)N*n当 时， *,22 21111()nnnnnaa因为 ，则 ； *1,(3)nna 2*2,3,)aN则 2 分22 *1,(3,)na则 ，因为134nn N432a则 1 分222*(,)an因为 ，则 ，且 时， ， 1313,Sa2930an2340a解得： 2 分20,45,6（3） 1 分*1*11 (2,)(2,)nk nknna aNSN ，由归纳知， ，1 分0k0,kaL，由归纳知， ，2 分121,kaaL *1,()n则 1112(nknknkkN1 分*(,)N1 分*1221,()2nknknknkaaaL于是 *2121(),()nkknknkkaaaN于是 1 分*2(),， 1 分2kSk111()(),(2)nnkknkk结论显然成立.
