1、第 1 页（共 33 页）2018 年四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （4 分） （2018自贡）计算 3+1 的结果是（ ）A 2 B4 C4 D22 （4 分） （2018自贡）下列计算正确的是（ ）A （a b） 2=a2b2Bx+2y=3xy C D （a 3） 2=a61832=03 （4 分） （2018自贡）2017 年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000 元，将 445800000 用科学记数法表示为（ ）A44.58 107 B4.45810 8 C4.4
2、58 109 D0.445810 104 （4 分） （2018自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若1=55，则2 的度数是（ ）A50 B45 C40 D355 （4 分） （2018自贡）下面几何的主视图是（ ）A B C D6 （4 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ）第 2 页（共 33 页）A8 B12 C14 D167 （4 分） （2018自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班 5 名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数
3、据的说法错误的是（ ）A众数是 98 B平均数是 90 C中位数是 91 D方差是 568 （4 分） （2018自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A数形结合 B类比 C演绎 D公理化9 （4 分） （2018自贡）如图，若ABC 内接于半径为 R 的O，且A=60，连接 OB、OC，则边 BC 的长为（ ）A B C D232 22 310 （4 分） （2018自贡）从 1、2、3、6 这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数 y= 图象的概率是（ ）6A B C D12 13 1
4、4 1811 （4 分） （2018自贡）已知圆锥的侧面积是 8cm2，若圆锥底面半径为R（ cm） ，母线长为 l（cm） ，则 R 关于 l 的函数图象大致是（ ）A B C D12 （4 分） （2018自贡）如图，在边长为 a 正方形 ABCD 中，把边 BC 绕点 B第 3 页（共 33 页）逆时针旋转 60，得到线段 BM，连接 AM 并延长交 CD 于 N，连接 MC，则MNC 的面积为（ ）A B C D3122 2122 3142 2142二.填空题（共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分）13 （4 分） （2018自贡）分解因式：ax 2+2axy+ay2= 14 （
5、4 分） （2018自贡）化简 + 结果是 1+1 22115 （4 分） （2018自贡）若函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 16 （4 分） （2018自贡）六一儿童节，某幼儿园用 100 元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共 30 个，单价分别为 2 元和 4 元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个17 （4 分） （2018自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2018 个图形共有 个18 （4 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，AC=BC=2，AB=1 ，将它沿 AB 翻折得到ABD ，
6、则四边形 ADBC 的形状是 形，点 P、E、F 分别为线段AB、AD、DB 的任意点，则 PE+PF 的最小值是 第 4 页（共 33 页）三、解答题（共 8 个题，共 78 分）19 （8 分） （2018自贡）计算：| |+（ ） 12cos4521220 （8 分） （2018自贡）解不等式组： ，并在数轴上表示其解351133 4集21 （8 分） （2018自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了
7、名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有 1500 名，估计爱好运动的学生有 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出第 5 页（共 33 页）的恰好是爱好阅读的学生的概率是 22 （8 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，BC=12，tanA= ，B=30；求 AC34和 AB 的长23 （10 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，ACB=90（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的O （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D
8、，若O 的直径为 5，BC=4；求 DE 的长 （如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（ 2）问）24 （10 分） （2018自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNplcr，15501617 年） ，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，17071783 年）才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若 ax=N（a0，a1 ） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：x=log aN比如指数式 24=16 可以转化为 4=log216，对数式 2=log525 可以转化为 52=25我们根据对数的定义可得到对数
9、的一个性质：log a（MN）=logaM+logaN（a0 ，a1，M0，N0） ；理由如下：设 logaM=m，log aN=n，则 M=am，N=a nMN=a man=am+n，由对数的定义得 m+n=loga（MN）第 6 页（共 33 页）又m+n=log aM+logaNlog a（MN）=log aM+logaN解决以下问题：（1）将指数 43=64 转化为对数式 ；（2）证明 loga =logaMlogaN（a0，a1，M0 ，N0）（3）拓展运用：计算 log32+log36log34= 25 （12 分） （2018自贡）如图，已知AOB=60 ，在AOB 的平分线 O
10、M 上有一点 C，将一个 120角的顶点与点 C 重合，它的两条边分别与直线 OA、OB 相交于点 D、E（1）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1） ，请猜想 OE+OD 与 OC的数量关系，并说明理由；（2）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，到达图 2 的位置， （1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图 3 中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 OD、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明26 （14 分） （2018自贡）
11、如图，抛物线 y=ax2+bx3 过 A（1，0） 、B （3，0） ，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为 2，点 P（m，n）是线段 AD 上的动点（1）求直线 AD 及抛物线的解析式；（2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？第 7 页（共 33 页）（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得 P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由第 8 页（共 33 页）2018 年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共
12、 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （4 分） （2018自贡）计算 3+1 的结果是（ ）A 2 B4 C4 D2【考点】19：有理数的加法【专题】51：数与式【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可【解答】解：3+1=2；故选：A【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题2 （4 分） （2018自贡）下列计算正确的是（ ）A （a b） 2=a2b2Bx+2y=3xy C D （a 3） 2=a61832=0【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的
13、乘方与积的乘方；4C：完全平方公式【专题】11 ：计算题【分析】根据相关的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）原式=a 22ab+b2，故 A 错误；（B）原式=x +2y，故 B 错误；（D）原式=a 6，故 D 错误；故选：C【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型第 9 页（共 33 页）3 （4 分） （2018自贡）2017 年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000 元，将 445800000 用科学记数法表示为（ ）A44.58 107 B4.45810 8 C4.458 109 D0.445810 10【考点】1I：科学记数法
14、表示较大的数【专题】1 ：常规题型【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：445800000=4.458 108，故选：B【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （4 分） （2018自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若1=55，则2
15、 的度数是（ ）A50 B45 C40 D35【考点】JA：平行线的性质【专题】1 ：常规题型【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出2 的度数【解答】解：由题意可得：1=3=55，2=4=9055=35故选：D第 10 页（共 33 页）【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出3 的度数是解题关键5 （4 分） （2018自贡）下面几何的主视图是（ ）A B C D【考点】U2：简单组合体的三视图【专题】16 ：压轴题【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2故选B【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到
16、的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项6 （4 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ）A8 B12 C14 D16【考点】S9：相似三角形的判定与性质； KX：三角形中位线定理【专题】1 ：常规题型【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DE= BC，再利用相似三角12第 11 页（共 33 页）形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE= BC，12ADE ABC， = ，12 = ，14ADE 的面积为 4，ABC 的
17、面积为：16 ，故选：D【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出ADE ABC 是解题关键7 （4 分） （2018自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班 5 名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A众数是 98 B平均数是 90 C中位数是 91 D方差是 56【考点】W7 ：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5 ：众数【专题】11 ：计算题【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算【解答】解：98 出现的次数最多，这组数据的众数是 98，A 说法正确；= （80+98 +98
18、+83+91）=90 ，B 说法正确；15这组数据的中位数是 91，C 说法正确；S2= （80 90） 2+（9890） 2+（98 90） 2+（83 90） 2+（9190） 215第 12 页（共 33 页）= 27815=55.6，D 说法错误；故选：D【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式 s12= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2是解题的关键1 8 （4 分） （2018自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A数形结合 B类比 C演绎
19、 D公理化【考点】E6：函数的图象【专题】1 ：常规题型；532：函数及其图像【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想故选：A【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想9 （4 分） （2018自贡）如图，若ABC 内接于半径为 R 的O，且A=60，连接 OB、OC，则边 BC 的长为（ ）第 13 页（共 33 页）A B C D232 22 3【考点】MA
20、：三角形的外接圆与外心【专题】55C：与圆有关的计算【分析】延长 BO 交圆于 D，连接 CD，则BCD=90 ，D= A=60；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得 BC= R3【解答】解：延长 BO 交 O 于 D，连接 CD，则BCD=90，D=A=60，CBD=30，BD=2R，DC=R ，BC= R，3故选：D【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形 30角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键10 （4 分） （2018自贡）从 1、2、3、6 这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数 y= 图象的概率是（ ）6A B C D12 13
21、 14 18【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征； X6：列表法与树状图法【专题】534：反比例函数及其应用；543：概率及其应用【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出 mn=6，列表找出所有 mn第 14 页（共 33 页）的值，根据表格中 mn=6 所占比例即可得出结论【解答】解：点（m，n ）在函数 y= 的图象上，6mn=6 列表如下：m 1112 2 2 3 3 3 666n 2 3 613 612 612 3mn236 26 1236 186 1218mn 的值为 6 的概率是 = 41213故选：B【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，
22、通过列表找出 mn=6 的概率是解题的关键11 （4 分） （2018自贡）已知圆锥的侧面积是 8cm2，若圆锥底面半径为R（ cm） ，母线长为 l（cm） ，则 R 关于 l 的函数图象大致是（ ）A B C D【考点】MP：圆锥的计算；E6：函数的图象【专题】11 ：计算题【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可第 15 页（共 33 页）【解答】解：由题意得， 2Rl=8，12则 R= ，8故选：A【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键12 （4 分） （2018自贡）如图，在边长为 a 正方
23、形 ABCD 中，把边 BC 绕点 B逆时针旋转 60，得到线段 BM，连接 AM 并延长交 CD 于 N，连接 MC，则MNC 的面积为（ ）A B C D3122 2122 3142 2142【考点】R2：旋转的性质； LE：正方形的性质【专题】11 ：计算题【分析】作 MGBC 于 G，MH CD 于 H，根据旋转变换的性质得到MBC 是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出 MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：作 MGBC 于 G，MH CD 于 H，则 BG=GC，ABMGCD，AM=MN，MHCD，D=90 ，MHAD，NH=HD，由旋转变换的性质可知，
24、MBC 是等边三角形，第 16 页（共 33 页）MC=BC=a，由题意得，MCD=30，MH= MC= a，CH= a，12 12 32DH=a a，32CN=CHNH= a（a a）=（ 1）a，32 32 3MNC 的面积= （ 1）a= a2，122 3 314故选：C【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键二.填空题（共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分）13 （4 分） （2018自贡）分解因式：ax 2+2axy+ay2= a （x+y） 2 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式 a，再根据完全平
25、方公式进行二次分解完全平方公式：（a +b） 2=a2+2ab+b2【解答】解：原式=a（x 2+2xy+y2）（提取公因式）=a（x+y） 2（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底第 17 页（共 33 页）14 （4 分） （2018自贡）化简 + 结果是 1+1 221 11【考点】6B：分式的加减法【专题】1 ：常规题型【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式= +1(+1)(1)221=11故答案为：11【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型15
26、 （4 分） （2018自贡）若函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 1 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点【专题】536：二次函数的应用【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值【解答】解：函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，=2 241（m）=0，解得：m=1故答案为：1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，牢记“ 当=b 24ac=0 时，抛物线与 x轴有 1 个交点”是解题的关键16 （4 分） （2018自贡）六一儿童节，某幼儿园用 100 元钱给小朋友买了甲、第 1
27、8 页（共 33 页）乙两种不同的玩具共 30 个，单价分别为 2 元和 4 元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 10 、 20 个【考点】9A：二元一次方程组的应用【专题】521：一次方程（组）及应用【分析】根据二元一次方程组，可得答案【解答】解：设甲玩具购买 x 个，乙玩具购买 y 个，由题意，得，+=302+4=100解得 ，=10=20甲玩具购买 10 个，乙玩具购买 20 个，故答案为：10，20【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键17 （4 分） （2018自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20
28、18 个图形共有 6055 个【考点】38：规律型：图形的变化类【专题】2A ：规律型【分析】每个图形的最下面一排都是 1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案【解答】解：观察图形可知：第 1 个图形共有：1+13，第 2 个图形共有：1+23，第 3 个图形共有：1+33，第 19 页（共 33 页）第 n 个图形共有：1+3n，第 2018 个图形共有 1+32018=6055，故答案为：6055【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化18 （4 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，AC=BC=2，AB=1 ，将它
29、沿 AB 翻折得到ABD ，则四边形 ADBC 的形状是 菱 形，点 P、E、F 分别为线段AB、AD、DB 的任意点，则 PE+PF 的最小值是 154【考点】PB：翻折变换（折叠问题） ；KH：等腰三角形的性质；PA：轴对称最短路线问题【专题】15 ：综合题【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，求出 ME 即可【解答】解：ABC 沿 AB 翻折得到ABD，AC=AD，BC=BD，AC=BC，AC=AD=BC=BD，四边形 ADBC 是菱形，故答案为菱；第 20 页（共 33 页）如
30、图作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF最小，此时 PE+PF=ME，过点 A 作 ANBC ，ADBC，ME=AN，作 CHAB，AC=BC，AH= ，12由勾股定理可得，CH= ，152 ，12=12可得，AN= ，154ME=AN= ，154PE+PF 最小为 ，154故答案为 154【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键第 21 页（共 33 页）三、解答题（共 8 个题，共 78 分）19 （8 分） （2018自贡）计算：| |+（ ） 12cos4521
31、2【考点】2C：实数的运算；6F ：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【专题】1 ：常规题型【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式= +22222= +22 2=2故答案为 2【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算20 （8 分） （2018自贡）解不等式组： ，并在数轴上表示其解351133 4集【考点】CB：解一元一次不等式组；C4 ：在数轴上表示不等式的解
32、集【专题】524：一元一次不等式(组)及应用【分析】分别解不等式、求出 x 的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解【解答】解：解不等式，得：x2；解不等式，得：x1，不等式组的解集为：1x2 将其表示在数轴上，如图所示第 22 页（共 33 页）【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出 x 的取值范围是解题的关键21 （8 分） （2018自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供
33、的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有 1500 名，估计爱好运动的学生有 600 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 25【考点】X8：利用频率估计概率；V2 ：全面调查与抽样调查；VB：扇形统计图；VC：条形统计图【专题】54：统计与概率【分析】 （1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数（4）根据爱好阅读的学生人数
34、所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的第 23 页（共 33 页）学生的概率【解答】解：（1）爱好运动的人数为 40，所占百分比为 40%共调查人数为：4040%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为 10%爱好上网人数为：10010%=10，爱好阅读人数为：10040 2010=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为 40%，估计爱好运用的学生人数为：150040%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比 30%，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为310故答案为：（1）100；（3）600；（4）310【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是
35、正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型22 （8 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，BC=12，tanA= ，B=30；求 AC34和 AB 的长第 24 页（共 33 页）【考点】T7：解直角三角形【专题】552：三角形【分析】如图作 CHAB 于 H在 Rt求出 CH、BH，这种 RtACH 中求出AH、AC 即可解决问题；【解答】解：如图作 CHAB 于 H在 RtBCH 中，BC=12 ，B=30，CH= BC=6， BH= =6 ，12 22 3在 RtACH 中，tanA= = ，34AH=8，AC= =10，2+2AB=AH+BH=8+6 3【点评】本题考查解直角三角
36、形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型23 （10 分） （2018自贡）如图，在ABC 中，ACB=90（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的O （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若O 的直径为 5，BC=4；求 DE 的长 （如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（ 2）问）第 25 页（共 33 页）【考点】N3：作图复杂作图； ME：切线的判定与性质【专题】13 ：作图题；559：圆的有关概念及性质【分
37、析】 （1）作ABC 的角平分线交 AC 于 E，作 EOAC 交 AB 于点 O，以 O为圆心，OB 为半径画圆即可解决问题；（2）作 OHBC 于 H首先求出 OH、EC 、BE，利用BCEBED，可得 =，解决问题；【解答】解：（1）O 如图所示；（2）作 OHBC 于 HAC 是O 的切线，OEAC，C=CEO=OHC=90，四边形 ECHO 是矩形，OE=CH= ，BH=BCCH= ，52 32在 RtOBH 中，OH= =2，(52)2(32)2EC=OH=2，BE= =2 ，2+2 5EBC=EBD，BED=C=90，BCEBED ，第 26 页（共 33 页） = ， = ，2
38、 525DE= 5【点评】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型24 （10 分） （2018自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNplcr，15501617 年） ，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，17071783 年）才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若 ax=N（a0，a1 ） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：x=log aN比如指数式 24=16 可以转化
39、为 4=log216，对数式 2=log525 可以转化为 52=25我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（MN）=logaM+logaN（a0 ，a1，M0，N0） ；理由如下：设 logaM=m，log aN=n，则 M=am，N=a nMN=a man=am+n，由对数的定义得 m+n=loga（MN）又m+n=log aM+logaNlog a（MN）=log aM+logaN解决以下问题：（1）将指数 43=64 转化为对数式 3=log 464 ；（2）证明 loga =logaMlogaN（a0，a1，M0 ，N0）（3）拓展运用：计算 log32+log36log
40、34= 1 第 27 页（共 33 页）【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法【专题】21 ：阅读型；23 ：新定义【分析】 （1）根据题意可以把指数式 43=64 写成对数式；（2）先设 logaM=m，log aN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=a n，计算 的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a（MN ）=log aM+logaN 和 loga =logaMlogaN 的逆用，将所求式子表示为：log 3（2 64） ，计算可得结论【解答】解：（1）由题意可得，指数式 43=64 写成对数式为：3=log 464，故答案为：3
41、=log 464；（2）设 logaM=m，log aN=n，则 M=am，N=a n， = =amn，由对数的定义得 mn=loga ， 又mn=log aMlogaN，log a =logaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ；（3）log 32+log36log34，=log3（26 4） ，=log33，=1，故答案为：1【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系25 （12 分） （2018自贡）如图，已知AOB=60 ，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个 120角的顶点与点 C
42、 重合，它的两条边分别与直线 OA、OB 相交于点 D、E（1）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1） ，请猜想 OE+OD 与 OC第 28 页（共 33 页）的数量关系，并说明理由；（2）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，到达图 2 的位置， （1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图 3 中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 OD、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【考点】RB：几何变换综合题【专题】15 ：综合题【分析
43、】 （1）先判断出OCE=60，再利用特殊角的三角函数得出 OD= OC，32同 OE= OC，即可得出结论；32（2）同（1）的方法得 OF+OG= OC，再判断出 CFDCGE，得出 DF=EG，3最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论【解答】解：（1）OM 是AOB 的角平分线，AOC=BOC= AOB=30 ，12CDOA，ODC=90，OCD=60，OCE=DCEOCD=60，第 29 页（共 33 页）在 RtOCD 中，OD=OCcos30= OC，32同理：OE= OC，32OD+OE= OC；3（2） （1）中结论仍然成立，理由：过点 C 作 CFOA 于
44、 F，CG OB 于 G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120 ，同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC，32 32OF+OG= OC，3CF OA，CGOB，且点 C 是AOB 的平分线 OM 上一点，CF=CG ，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=OD+DF=OD+EG，OG=OEEG ，OF+OG=OD+EG+OEEG=OD+OE ，OD+OE= OC；3第 30 页（共 33 页）（3） （1）中结论不成立，结论为：OE OD= OC，3理由：过点 C 作 CFOA 于 F，CG OB 于 G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120 ，同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC，32 32OF+OG= OC，3CF OA，CGOB，且点 C 是AOB 的平分线 OM 上一点，CF=CG ， DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=DFOD=EGOD ，OG=OE EG，OF+OG=EGOD+OEEG=OE OD，OEOD= OC3【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键
