1、第二章 2.5 一、选择题1如图所示，若 ab0 且 ab，则 axyb0 与 bx2 ay2ab，所表示的曲线只可能是( )答案 C解析 由 A 图可知 a0，b0. 故曲线应为椭圆，排除 A.由 B 可知，a0，该曲线为双曲线，排除 D.故选 C.2若不论 k 为何值，直线 yk (x2) b 与曲线 x2y 2 1 总有公共点，则 b 的取值范围是( )A( ， ) B ， 3 3 3 3C(2,2) D 2,2答案 B解析 由题意可知，直线所过的定点(2，b) 应在双曲线上或内部，即y2x 21，b 23， b .3 33已知过抛物线 y26x 焦点的弦长为 12，则此弦所在直线的倾斜
2、角是( )A. 或 B. 或6 56 4 34C. 或 D.3 23 2答案 B解析 由焦点弦长公式|AB| 得2psin212， sin . 或 .故选 B.6sin2 22 4 344已知抛物线 y24x 上一点 P(x0，y 0)，若 y01,2 ，则| PF|的范围是( )A ，1 B ，214 54C1,2 D2,3答案 B解析 y 01,2，x 0 ，1，14由定义|PF|1x 0 ，2 54故选 B.5已知双曲线 1(a0，b0)与直线 y2x 有交点，则双曲线的离心率的取值x2a2 y2b2范围是( )A(1， ) B(1， )( ，)5 5 5C( ，) D ，)5 5答案
3、C解析 双曲线的一、三象限渐近线的斜率 k ，ba要使双曲线 1 和直线 y2x 有交点，x2a2 y2b2只要满足 2 即可，ba 2， 2，e .c2 a2a e2 1 56已知双曲线中心在原点，且一个焦点为 F( ，0)，直线 yx1 与双曲线交于7M，N 两点，MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线方程是( )23A. 1 B. 1x23 y24 x24 y23C. 1 D. 1x25 y22 x22 y25答案 D解析 由 c ，得 a2b 27.7焦点为 F( ，0)，7可设双曲线方程为 1，x2a2 y27 a2并设 M(x1，y 1)，N (x2，y 2)将 yx1 代入并整理得(
4、72a 2)x22a 2xa 2(8a 2)0，x 1x 2 ，2a27 2a2由已知得 2，解得 a22，得双曲线的方程为 1.2a27 2a2 23 x22 y25二、填空题7已知椭圆 C1： 1(ab0)的右顶点 A(1,0)，过 C1的焦点且垂直长轴的张长y2a2 x2b2为 1，则椭圆 C1的方程为_ 答案 x 21y24解析 由题意得Error!Error!所求的椭圆方程为 x 21.y248若抛物线 y22px (p0)上有一点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为 10，则点 M 的坐标为_答案 (9，6)或(9,6)解析 由抛物线方程 y2 2px(p0)，得其焦点坐标为 F
5、，准线方程为( p2，0)x ，设点 M 到准线的距离为 d，则 d|MF| 10，即 ( 9)10，p2 p2p2，故抛物线方程为 y24x.将 M(9，y)代入抛物线方程，得 y6，M(9,6) 或 M(9，6)三、解答题9已知双曲线的方程为 x2 1.y23(1)求以 A(2,1)为中点的弦所在直线的方程；(2)以点 B(1,1)为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由解析 (1)设 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)是弦的两个端点，则有 x 1，x 1.两21y213 2 y23式相减，得(x1x 2)(x1x 2) 0.y1 y2y1 y23A
6、(2,1) 为弦 P1P2的中点，x 1x 24，y 1y 22.代入得 4(x1x 2) .2y1 y23kP 1P26.故直线 P1P2的方程为 y16( x2) 即 6xy110.(2)假设这样的直线存在，同(1)可求得 3xy20.由Error!得 6x212x 70.12 24 670y2，|AF| 3|BF|， y 13y 2，由Error!解得 y2 ，y 12 .23 3m ，y1 y24 33直线 l 的方程为 x y1.33由对称性知，这样的直线有两条即 y (x1) 32过双曲线 1(a0，b0)的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该直线与双曲线x2a2 y2b2的两条渐近
7、线的交点分别为 B，C.若 ，则双曲线的离心率是( )AB 12BC A. B. 2 3C. D.5 10答案 C解析 由已知，直线方程为 xy a0，两渐近线为 0.xayb由Error!得 xB .a2a b由Error!得 xC .a2a b ， 2(xBx A)x Cx B，AB 12BC 3x B2x Ax C， 2a，解得 b2a，3a2a b a2a bc 2 5，e .a2 b2a2 5故选 C.3(2015天津理，6)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线过点(2 ， )，且x2a2 y2b2 3双曲线的一个焦点在抛物线 y24 x 的准线上，则双曲线的方程为 ( )7A.
8、 1 B. 1x221 y228 x228 y221C. 1 D. 1x23 y24 x24 y23答案 D解析 双曲线 1( a0，b0)的渐近线方程为 y x，由点(2， )在渐近线上，x2a2 y2b2 ba 3所以 ，双曲线的一个焦点在抛物线 y24 x 准线方程 x 上，所以 c ，由此ba 32 7 7 7可解得 a2，b ，所以双曲线方程为 1，故选 D.3x24 y234过抛物线 y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线( )A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条答案 B解析 设该抛物线焦点为 F，则|A
9、B| AF|FB |x A x B x Ax B132p2.所以符合条件的直线有且仅有两p2 p2条二、填空题5已知椭圆 C： y 21 的两焦点为 F1，F 2，点 P(x0，y 0)满足 y 1，则x22 x202 20|PF1| PF2|的取值范围为 _答案 2,2 2解析 当 P 在原点处时， |PF1|PF 2|取得最小值 2；当 P 在椭圆上时，| PF1|PF 2|取得最大值 2 ，故| PF1| PF2|的取值范围为2,2 2 26. 1 有两个动点 P，Q ，E(3,0)，EPEQ ，则 的最小值为_x236 y29 EP QP 答案 6解析 设 P(x0，y 0)， ( )
10、| |2( x03) 2y (x 03)EP QP EP EP EQ EP 2029 x x 6x 018 (x04) 216186，当 x04 时等号成立1420 3420 347已知点 P 在直线 xy 5 0 上，点 Q 在抛物线 y22x 上，则| PQ|的最小值等于_答案 924解析 设 l 平行于直线 xy50，且与抛物线相切，设 l：yxm，由Error!得 y22y2m 0，由 0 ，得 m ，两直线距离 d .即| PQ|min .12 |5 12|2 924 924三、解答题8过椭圆 y 21 的一个焦点 F 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，椭圆的中心为 O，x22当A
11、OB 的面积最大时，求直线 l 的方程解析 过椭圆焦点 F(1,0)的直线 l 垂直于 x 轴时，可知此时AOB 的面积等于 .22当 l 不垂直 x 轴时，可设直线 l 的方程为 yk (x1) 因为 |OF|是定值 1，所以AOB的面积可以用 1|y1y 2|(其中 y1，y 2是 A，B 的纵坐标) 来计算12将 ykxk 代入 y 21，消去 x，得(12k 2)y22ky k20.x22由根与系数的关系可得(y1y 2)2 2 0)得 1，p2所以抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 AB 的方程为 ykx1由Error!消去 y，整理得 x24kx40，所以 x1x 24k ，x 1x24.从而|x 1x 2|4 .由Error!k2 1解得点 M 的横坐标 xM .2x1x1 y1 2x1x1 x214 84 x1同理点 N 的横坐标 xN .84 x2所以|MN | |xMx N|2 | |284 x1 84 x28 | |2x1 x2x1x2 4x1 x2 16 82k2 1|4k 3|令 4k3t，t0，则 k .t 34当 t0 时，|MN|2 2 .225t2 6t 1 2当 t0 时，|MN|2 .25t 352 1625 852综上所述，当 t ，即 k 时，|MN|的最小值是 .253 43 852
