1、页 1 第2019 届 江 苏 省 常 州 市 武 进 区 高 三 上 学 期 期 中 考 试高三文科数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分， 请将答案填写在答题卡相应的位置上）1若命题“ Rx， 210mx”是真命题，则实数 m的取值范围是 2已知集合 1,A， ,Bn，若 1,2AB，则 n 3函数 0()2lg(4)3fxx的定义域为 4函数 23sincos()yR的最小正周期是 5已知函数 ,0,()1)xfxf ，则 7()6f的值为 6已知 (1,)a， (2,b，若向量 2ab与 (8,)c共线，则实数 的值为 7底面半径都是 3且高都是 4的圆
2、锥和圆柱的全面积之比为 8设不等式组01xy表示的平面区域为 D， ,Pxy是区域 D上任意一点，则 2xy的最大值与最小值之和是 9定义在 R 上的偶函数 ()fxaxb（其中 a、 b为常数）的最小值为 2，则 2=ab 10在等腰梯形 ABCD中， ， 2AB， 1D， 60AB，若 3CE，F，且 1EF，则实数 的值为 11将函数 ()sin2fx的图像向右平移 (0)2个单位后得到函数 ()gx的图像，若对满足 1()g的 1x、 2，有 1min3x，则 12在等比数列 na中，已知 1423)()aa，若 1(N)na，则 65a的最小值是 201811页 2 第 13在 AB
3、C中， 3， 12BAC，当角 A 最大时，则 BC的面积为 14已知函数 ,xf，若关于 x的函数 21yfxmf有 6个不同的零点，则实数 m的取值范围是 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答 应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）15 （本小题满分 14 分）已知向量 (cos,1)， (2,sin)，其中 (0,)2，且 m n. 求 2的值； 若 0sin()1，且 (,)2，求角 .16（本小题满分 14 分）如图，在四棱柱 1ABCD中，底面 ABCD为等腰梯形， A BC，2， M为边 的中点， 1底面 . 求证： 1平面 1； 平面 B平面 ACB. D1
4、B1A1C1DABCM页 3 第17（本小题满分 14 分）如 图，在海岸线 l一侧 P处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在 l上设立了 M，N两个报名接待点， ， M， N三点满足任意两点间的距离为 20km公司拟按以下思路运作：先将 ， 两处游客分别乘车集中到 之间的中转点 Q处(点 异于 ， N两点) ，然后乘同一艘游轮由 Q处前往 岛据统计，每批游客报名接待点 M处需发车 辆， 处需发车 4辆，每辆汽车的运费为 20元/ km，游轮的运费为 120元/ k设 P，每批游客从各自报名点到 P岛所需的运输总成本为 T元 写出 T关于 的函数表达式，并指出 的取值范围； 问：中转
5、点 Q距离 M处多远时， 最小？18（本小题满分 16 分）已知函数 32()1(R)fxa 若函数 在 0,)内有且只有一个零点，求此时函数 ()fx的单调区间； 当 a时，若函数 (fx在 ,上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a的值lNQMP页 4 第19（本小题满分 16 分）在数列 na， b中，已知 12a， 14b，且 na， b， 1n成等差数列， nb， a， 1n也成等差数列，数列 n的前 项和为 nS 求证： 是等比数列； 求 na及 S； 设 m是不超过 10的正整数，求使 114nma成立的所有数对 (,)mn20（本小题满分 16 分）已知函数 1lnaxfx，
6、R 若 3是函数 ()f的极值点，求曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程； 若函数 f在区间 ,32上为单调递减函数，求实数 a的取值范围； 设 ,mn为正实数，且 n，求证： 2lnm2019 届 第 一 学 期 期 中 考 试高三文科数学试题参考答案及评分标准一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分， 请将答案填写在答题卡相应的位置上）1 , 2 1, 3 2,4, 4 , 5 32, 6 , 7 ， 8 25， 9 ， 10 1， 11 6，201811页 5 第12 12， 13 3， 14 (3,2)，二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答
7、应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）15、(本题满分 14 分)解：(1) (cos,1m， (2,sin)，且 m n. 2in0，即 co， 2 分又 2ss， 25s1，即 5s， 3 分又 (0,)， co， in， 4 分则 2253coss1()1， 6 分(2) (0,)， ,， 2，即 cos()0 8 分又 10sin()， 22103co()sin()()，10 分则 siniicoscsin()253102， 13 分又 (,)， 4， 14 分16、(本题满分 14 分)证明：（1）几何体 1ABCD为四棱柱，四边形 1为平行四边形，即 ，且 1，2 分又底面
8、ABC为等腰梯形， BC AM，即 M 1， 3 分又 2D，且 为边 D的中点， ，即 1，4 分页 6 第则四边形 1AMCB为平行四边形，即 1CM 1AB， 5 分又 1平面 1， 平面 ， 平面 1， 7 分（2） ，且 ，四边形 ACB为平行四边形，又 DM，四边形 AMCB为茭形，则 AC， 9 分又 1底面 ，且 底面 D， 1B， 11 分又 AB，且 平面 1， 平面 ， 平面 1C， 13 分又 底面 ，平面 1B平面 1AC 14 分17、(本题满分 14 分)解：(1) 由题知在 MPQ中， 3， ， 20， 2，由正弦定理知 0sinsini()3， 2 分即 10
9、siPQ，203siM，则n()2iN， 4 分由题意可得 408120TQNP8sin()36sin()31203sin，co40()si，其中 (,)， 7 分(2) 由 Ts3(3)in，其中 (,)3得，2401co)si，令 0T解得 1cos， 9 分 (,)3，存在唯一的 02(,)3，使得 0s3，lNMQP页 7 第当 1cos3时， 0T，即函数 S在区间 0(,)3上为单调递减，当 时， ，即函数 在区间 2上为单调递增，故当 cs（即 0）时， T最小， 11 分则 2in3，2sin()103cosin56310i2MQ13 分答：当中转点 距离 处 5610()2k
10、m时， S最小，14 分18、(本题满分 16 分)解：（1） 32(,()fxaRx，由 2)6)0 ，得到 1， 23ax， 1 分 当 0a时， ()3fx在区间 (,)上恒成立，即函数 ()f在区间 ,上单调递增，又因为函数 x的图象过点 (0,1)，即 ()10f，所以函数 ()f在 ,内没有零点，不合题意， 3 分 当 0a时，由 ()fx得 3a，即函数 ()fx在区间 (,)3a上单调递增，由 ()fx得 ，即函数 ()fx在区间在 0,上单调递减， 4 分且过点 ,1，则由函数 ()f的图象（略）可知，要使函数 ()fx在 0,内有且只有一个零点，则须 ()3af，即3217
11、9a，解得 3a，综上可得函数 ()fx在 0,)内有且只有一个零点时 3a， 6 分此时函数 的单调递增区间为 (,0)， (1,)，单调递减区间为 (0,1)7 分（2）当 a时，函数 ()fx在 ， 3上单调递增，在 3a上单调递减，此时函数 ()fx有两个极值点，极大值为 (0)1f，极小值为 ()127f，且 (1)fa，1)3fa， 8 分页 8 第1、 当 013a时，即 03a时，若 ()f，即 1，也即 02a时，此时 max()(1)3ffa， 又31027af， ()f in()fxf由 maxin()()ff可得 (1a，即 12a，符合题意 10 分若 10，即 3，
12、也即 23时，此时 max()(0)1ff，min()()fxf，由 amin1x可得 ()1a，即 ，不符合题意舍去 12 分2、 当 3时，即 3时， max(0ff，又3327()1()(1)2277aff 39(6()aa， 13 分若 (1)ff，即 60，也即 3时，此时 min()(1)fxfa， 由 maxin()可得 (1)a，即 1，不符合题意舍去 15 分若 (1)3ff，即 60，也即 6时，此时3min()()127afxf， 由 maxin()()ff可得3(1)27a，即 3，不符合题意舍去，综上所述可知所求实数 的值为 。 16 分19、(本题满分 16 分)解
13、：（1）由 na， b， 1n成等差数列可得， 12nnba，由 ， ， 成等差数列可得， ， 得， 13()nna， 2 分即 1nab，（其中 N），又因为 16所以 nab是以 6 为首项、 3为公比的等比 数列， 4 分页 9 第（2）由（1）知， 16(3)nnab， 得， 1，（其中 N），即 1 12nnab， 得， 6(3)(3)12nn，（ ）， 6 分即 1() ()n nna，（ N），则 2()S2(3)1(3) nn13()4nn， 8 分（3）把 nna代入 114nma，得 1()(3)mn，所以 11(3)()(3)(3)nm，整理得， 30mn，即 1n，10
14、 分由 是不超过 100 的正整数，可得 20，即 12(3)0n ，且 1Z，所以 2或 4， 12 分 当 m时，即 12(3)()9nm，此时 8，则 9n，符合题意； 14 分当 14n时， 14()()8n，此时 0，则 3，符合题意综上可知使得 114nma成立的所有数对 (,)mn为 (,9， 80,3) 16 分20、(本题满分 16 分)解：（1） ()(ln1axf R， 21)()fx222()()1.1axax 1 分页 10 第 3x是函数 ()fx的极值点， (3)0f，解得83a， 2 分经检验，当 8a时， 是函数 x的极小值点，符合题意。 3 分此时切线的斜率
15、为 1()3kf，切点为 ,，则所求切线的方程为 0xy 5 分（2）由（1）知22()().1axf因为函数 fx在区间 ,3上为单调递减函数，所以不等式 ()0f在区间 (,)2上恒成立. 6 分即 21xax在区间 ,3上恒成立，当 (,3)时，由 2()10ax可得 12ax，设 1gx， ,3x， g，当且仅当 时，即 时， min()2x，又因为函数 1()gx在区间 ,上为单调递减，在区间 (1,3)上为单调递增，且 152， 03，所以当 (,)x时， 10()3gx恒成立，即 1023a，也即 8a则所求实数 的取值范围是 ,)3 10 分（3） ,mn为正实数，且 n，要证 2l，只需证 21lm，即证 (1)ln.m只需证 ()ln0.1 12 分页 11 第设 2(1)()lnxhx， (0,)，则224()() 在 (,)上恒成立，即函数 1lnxhx在 0,上是单调递增， 14 分又 1m， ()h，即2(1)ln)0m成立，也即 ln2n成立， 16 分
