2018年湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题（图片版）.rar

数学（理科）参考答案 第 1 页 （ 共 5 页 ） 株洲市 2018 届 高三 年级 教学 质量 统一 检测 （一） 理科 数学 参考答案及评分标准 一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C A D B C B B D A C 二、填空题 （ 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 3 14． 4 15． 512 16． 7 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分． ） 17． （本小题满分 12 分） 【解析 】 解： （ Ⅰ ） ∵ 25BC ， 2CD ， 1 s i n 42B C DS B C C D B C D     ， ∴ 25sin 5BCD ． ∴ 5cos 5BCD； ----------------5 分 （ Ⅱ ）在 BCD 中， 52 , 2 5 , c o s 5C D B C B C D   ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 1 6D B C D B C C D B C B C D      ，即 4DB ， ∵ 2 2 2DB CD BC， ∴ 90BCD   ，即 ACD 为直角三角形， ∵ 30A， ∴ 24AC CD． ----------------12 分 18． （本题满分 12 分） 【解析 】 解： （ 1） 证明： 垂直 且 CB BE ， 的交线为 BE 所以， CB BDE面 ， -----------------2 分 又 ED BDE面 数学（理科）参考答案 第 2 页 （ 共 5 页 ） 所以， CB ED -----------------3 分 在矩形 ADEF 中， ED AD 又四边形 ABCD 为梯形， AB ∥ CD 所以 AD 与 CB 相交 ， 故 ED ABCD 平 面 -----------------5 分 （ 2） 由（ 1）知， ED 垂直 DA， ED 垂直 DC，又 AD 垂直 AB， AB 平行 CD，所以 DC 垂直 DA， 如图，以 D 为坐标原点， DA、 DC、 DE 分别为 x， y， z 轴建立空间坐标系。 -----------------6 分 AD=AB=1， AB AD ， BD= 2 又 CB BD ，  CDB= 045 ，所以 DC=2， -----------------7 分 设 DE=a 则 B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 2， 0）， E（ 0， 0， a） BE=（ -1， -1， a）， BC=（ -1， 1， 0） 设平面 BEC 的法向量为 n =（ x， y， z） 00n BEn BC   00x y azxy      ， 令 x=1，则 y=1， z=2a 所以平面 BEC 的法向量为 n =（ 1， 1， 2a ）， -----------------9 分 易知，平面 ADEF 的法向量为 m =（ 0， 1， 0） -----------------10 分 因为平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 66 ， 则 6cos ,6nm  ， 即212 4a= 66 ， 解得 a=1，即 AF=DE=1-----------------12 分 19． （本题满分 12 分） 【解析 】 解： （ Ⅰ ） 由 对 B 服务机构 的频率分布直方图，得 对 B 服务机构 “满意度指数”为 0 的 频率为 ( 0 .0 0 3 0 .0 0 5 0 .0 1 2 ) 1 0 0 .2   ， ------2 分 所以， 对 B 服 务机构 评价“满意度指数”为 0 的人数为 1000 0.2 200人 ． ------3 分 （ Ⅱ ）设“ 对 B 服务机构 评价 ‘ 满意度指数 ’ 比对 A 服务机构 评价 ‘ 满意度指数 ’ 高 ”为 事件 C． 记“对 B 服务机构 评价‘满意度指数’为 1”为事件 1B ； “对 B 服务机构 评价‘满意度指数’为 2 ”为事件 2B ； “对 A 服务机构 评价‘满意度指数’为 0 ”为事件 0A ； “对 A 服务机构 评价‘满意度指数’为 1”为事件 1A ． EFBDCA 数学（理科）参考答案 第 3 页 （ 共 5 页 ） 所以 1( B ) ( 0 .0 2 0 .0 2 ) 1 0 0 .4P ， 2(B ) 0.4P ， ---------------------5 分 由用频率估计概率得： 0(A ) 0.1P 1(A ) 0.55P ， ---------------------7 分 因为事件 Ai 与 Bj 相互独立，其中 1,2i ， 0,1j ． 所以 1 0 2 0 2 1( C ) P ( B A B A B A ) 0 . 3P ---------------------- 9 分 所以该学生对 B 服务机构 评价的“满意度指数”比对 A 服务机构 评价的“满意度指数”高的概 率 为0.3 ． （ Ⅲ ）如果从学生 对 A， B 两 服务机构 评价的“ 满意度指数”的期望角度看： B 服务机构 “ 满意度指数” X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4 A 服务机构 “ 满意度指数” Y 的分布列为： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.35 因为 ( ) 0 0 . 2 1 0 . 4 2 0 . 4 1 . 2EX       ； ( ) 0 0 . 1 1 0 . 5 5 2 0 . 3 5 1 . 2 5EY       ， 所以 ( ) ( )E X E Y ， 会选择 A 服务机构 ． ---------------------- 12 分 20. （本题满分 12 分） 【解析 】 解：（ 1） 椭圆 C 的方程 为 22116 4xy ----------------5 分 （ 2） 设直线 m 为： 12y x t， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立：22116 412xyy x t  ，得 222 2 8 0x bx b    于是 21 2 1 22 8 , 2x x b x x b     ---------------6 分 设直线 MBMA, 的斜率为 ,MA MBkk ，要证 MEF 为等腰三角形，只需 0MA MBkk 1222,2 2 2 2M A M Byykkxx----------------8 分 数学（理科）参考答案 第 4 页 （ 共 5 页 ） 1 2 1 212( 2 2 ) ( )( 2 2 ) ( 2 2 )M A M Bx x b x xkkxx   22122 8 4 2 2 4 2 8( 2 2 ) ( 2 2 )b b b bxx      0 所以 MEF 为等腰三角形 ----------------12 分 21． （本小题满分 12 分） 【解析 】 解：（ 1） 2' 2 2 1() ax axfx x ， ----------------1 分 ① 当 02a 时， '( ) 0fx ，  y f x 在 (0, ) 上单调递增 ----------------3 分 ② 当 2a 时，设 22 2 1 0ax ax  的两个根为1 2 1 21, (0 )2x x x x  ，且 221222,a a a a a axxaa    y f x 在 12(0, ),( , )xx 单调递增，在 12( , )xx 单调递减。 ----------------5 分 （ 2）依题可知 (1) 0f  ， 若 fx在区间 (0,1) 内有唯一的 零点 0x ，由（ 1）可知 2a ， 且01 1(0, )2xx.----------------7 分 于是： 200ln ( 1) 0x a x  …………… . ① 2002 2 1 0ax ax   …………… .② ----------------9 分 由 ① ② 得 00 01ln 02xx x，设 1( ) l n , ( (0 , 1 ) )2xg x x xx  ， 则 '221() 2xgx x，因此 ()gx在 1(0, )2 上单调递减 ， 又 33 22 4( ) 02ege ， 11 3( ) 02ege  ----------------12 分 根据零点存在定理，故 3 120e x e . 数学（理科）参考答案 第 5 页 （ 共 5 页 ） 22． (本小题满分 10 分 ) 选修 4— 4：坐标系与参数方程 【解析 】 解： （Ⅰ）有4cos得2 4 cos  ，∵2 2xy，cosx ，siny， ∴曲线C的直角坐标方程为2240x y x  ，即22( 2) 4  ． ----------------5 分 （Ⅱ）将 1 cossinxtyt  代入圆的方程得 22( c o s 1 ) ( s in ) 4tt  ， 化简得 2 2 cos 3 0tt   ， 设 A， B两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 12122 cos ,3,tttt  ， ∴ 221 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 4 4 c o s 1 2 1 4A B t t t t t t        ． ∴24cos 2，os 2 ，或34． --------------10 分 23． (本小题满分 10 分 ) 选修 4— 5：不等式选讲 【解析 】 解：（Ⅰ）当 1a 时，不等式 ( ) 0fx 可化为： 2 1 1 0xx   ， 解得： 2x 或 0x ， ----------------5 分 （ Ⅱ ） 由 ( ) 2f x x 得： 2 2 1a x x x    ， 令 ( ) 2 2 1g x x x x   ， 作出函数 ()y gx 的图象如图示， 结合图象知：当 11-2a   时，函数 ya 与 ()y gx 的图象有三个不同交点，即方程 ( ) 2f x x 有三个不同的解 ∴ a 的取值范围为 1( 1,- )2 ----------------10 分 -2o-1yxy=f (x)y= a Ç « ç ç ñ ª ¥ µ Å É ì ¶ ¶ þ À À Å º