1、 数学（理科）参考答案 第 1 页 （ 共 5 页 ） 株洲市 2018 届 高三 年级 教学 质量 统一 检测 （一） 理科 数学 参考答案及评分标准 一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C A D B C B B D A C 二、填空题 （ 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 3 14 4 15 512 16 7 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分 ） 17 （本小题满分 12 分） 【解析 】 解： （ ） 25BC ， 2CD ， 1 s i n
2、 42B C DS B C C D B C D ， 25sin 5BCD 5cos 5BCD； -5 分 （ ）在 BCD 中， 52 , 2 5 , c o s 5C D B C B C D ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 1 6D B C D B C C D B C B C D ，即 4DB ， 2 2 2DB CD BC， 90BCD ，即 ACD 为直角三角形， 30A， 24AC CD -12 分 18 （本题满分 12 分） 【解析 】 解： （ 1） 证明： 垂直 且 CB BE ， 的交线为 BE 所以， CB BDE面 ， -2 分 又 ED BDE面 数学（
3、理科）参考答案 第 2 页 （ 共 5 页 ） 所以， CB ED -3 分 在矩形 ADEF 中， ED AD 又四边形 ABCD 为梯形， AB CD 所以 AD 与 CB 相交 ， 故 ED ABCD 平 面 -5 分 （ 2） 由（ 1）知， ED 垂直 DA， ED 垂直 DC，又 AD 垂直 AB， AB 平行 CD，所以 DC 垂直 DA， 如图，以 D 为坐标原点， DA、 DC、 DE 分别为 x， y， z 轴建立空间坐标系。 -6 分 AD=AB=1， AB AD ， BD= 2 又 CB BD ， CDB= 045 ，所以 DC=2， -7 分 设 DE=a 则 B（
4、1， 1， 0）， C（ 0， 2， 0）， E（ 0， 0， a） BE=（ -1， -1， a）， BC=（ -1， 1， 0） 设平面 BEC 的法向量为 n =（ x， y， z） 00n BEn BC 00x y azxy ， 令 x=1，则 y=1， z=2a 所以平面 BEC 的法向量为 n =（ 1， 1， 2a ）， -9 分 易知，平面 ADEF 的法向量为 m =（ 0， 1， 0） -10 分 因为平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 66 ， 则 6cos ,6nm ， 即212 4a= 66 ， 解得 a=1，即 AF=DE=1-12 分 19 （
5、本题满分 12 分） 【解析 】 解： （ ） 由 对 B 服务机构 的频率分布直方图，得 对 B 服务机构 “满意度指数”为 0 的 频率为 ( 0 .0 0 3 0 .0 0 5 0 .0 1 2 ) 1 0 0 .2 ， -2 分 所以， 对 B 服 务机构 评价“满意度指数”为 0 的人数为 1000 0.2 200人 -3 分 （ ）设“ 对 B 服务机构 评价 满意度指数 比对 A 服务机构 评价 满意度指数 高 ”为 事件 C 记“对 B 服务机构 评价满意度指数为 1”为事件 1B ； “对 B 服务机构 评价满意度指数为 2 ”为事件 2B ； “对 A 服务机构 评价满意度
6、指数为 0 ”为事件 0A ； “对 A 服务机构 评价满意度指数为 1”为事件 1A EFBDCA 数学（理科）参考答案 第 3 页 （ 共 5 页 ） 所以 1( B ) ( 0 .0 2 0 .0 2 ) 1 0 0 .4P ， 2(B ) 0.4P ， -5 分 由用频率估计概率得： 0(A ) 0.1P 1(A ) 0.55P ， -7 分 因为事件 Ai 与 Bj 相互独立，其中 1,2i ， 0,1j 所以 1 0 2 0 2 1( C ) P ( B A B A B A ) 0 . 3P - 9 分 所以该学生对 B 服务机构 评价的“满意度指数”比对 A 服务机构 评价的“满
7、意度指数”高的概 率 为0.3 （ ）如果从学生 对 A， B 两 服务机构 评价的“ 满意度指数”的期望角度看： B 服务机构 “ 满意度指数” X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4 A 服务机构 “ 满意度指数” Y 的分布列为： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.35 因为 ( ) 0 0 . 2 1 0 . 4 2 0 . 4 1 . 2EX ； ( ) 0 0 . 1 1 0 . 5 5 2 0 . 3 5 1 . 2 5EY ， 所以 ( ) ( )E X E Y ， 会选择 A 服务机构 - 12 分 20. （本题满分 12 分） 【解析 】 解：
8、（ 1） 椭圆 C 的方程 为 22116 4xy -5 分 （ 2） 设直线 m 为： 12y x t， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立：22116 412xyy x t ，得 222 2 8 0x bx b 于是 21 2 1 22 8 , 2x x b x x b -6 分 设直线 MBMA, 的斜率为 ,MA MBkk ，要证 MEF 为等腰三角形，只需 0MA MBkk 1222,2 2 2 2M A M Byykkxx-8 分 数学（理科）参考答案 第 4 页 （ 共 5 页 ） 1 2 1 212( 2 2 ) ( )( 2 2 ) ( 2 2
9、 )M A M Bx x b x xkkxx 22122 8 4 2 2 4 2 8( 2 2 ) ( 2 2 )b b b bxx 0 所以 MEF 为等腰三角形 -12 分 21 （本小题满分 12 分） 【解析 】 解：（ 1） 2 2 2 1() ax axfx x ， -1 分 当 02a 时， ( ) 0fx ， y f x 在 (0, ) 上单调递增 -3 分 当 2a 时，设 22 2 1 0ax ax 的两个根为1 2 1 21, (0 )2x x x x ，且 221222,a a a a a axxaa y f x 在 12(0, ),( , )xx 单调递增，在 12(
10、 , )xx 单调递减。 -5 分 （ 2）依题可知 (1) 0f ， 若 fx在区间 (0,1) 内有唯一的 零点 0x ，由（ 1）可知 2a ， 且01 1(0, )2xx.-7 分 于是： 200ln ( 1) 0x a x . 2002 2 1 0ax ax . -9 分 由 得 00 01ln 02xx x，设 1( ) l n , ( (0 , 1 ) )2xg x x xx ， 则 221() 2xgx x，因此 ()gx在 1(0, )2 上单调递减 ， 又 33 22 4( ) 02ege ， 11 3( ) 02ege -12 分 根据零点存在定理，故 3 120e x
11、e . 数学（理科）参考答案 第 5 页 （ 共 5 页 ） 22 (本小题满分 10 分 ) 选修 4 4：坐标系与参数方程 【解析 】 解： （）有4cos得2 4 cos ，2 2xy，cosx ，siny， 曲线C的直角坐标方程为2240x y x ，即22( 2) 4 -5 分 （）将 1 cossinxtyt 代入圆的方程得 22( c o s 1 ) ( s in ) 4tt ， 化简得 2 2 cos 3 0tt ， 设 A， B两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 12122 cos ,3,tttt ， 221 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 4 4 c
12、o s 1 2 1 4A B t t t t t t 24cos 2，os 2 ，或34 -10 分 23 (本小题满分 10 分 ) 选修 4 5：不等式选讲 【解析 】 解：（）当 1a 时，不等式 ( ) 0fx 可化为： 2 1 1 0xx ， 解得： 2x 或 0x ， -5 分 （ ） 由 ( ) 2f x x 得： 2 2 1a x x x ， 令 ( ) 2 2 1g x x x x ， 作出函数 ()y gx 的图象如图示， 结合图象知：当 11-2a 时，函数 ya 与 ()y gx 的图象有三个不同交点，即方程 ( ) 2f x x 有三个不同的解 a 的取值范围为 1( 1,- )2 -10 分 -2o-1yxy=f (x)y= a
