1、湖南省株洲市 2018 届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 2,1xAxB，则 AB（ ）A |0x B 2 C 0x D 2x 2.已知 21ia，其中 i为虚数单位， aR，则 （ ）A B1 C2 D 2 3.已知等比数列 n是递增数列， nS是 的前 n项和.若 13135,4a，则 6S（ ）A31 B32 C63 D644.如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角
2、形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为 30，若向弦图内随机抛掷 1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A134 B866 C300 D5005.已知 fx是定义在 R上的奇函数.当 0x时， 2fx，则不等式 0fx的解集用区间表示为（ ）A 1, B ,1, C ,10, D 1,6. 02x展开式中 3x的系数为（ ）A10 B30 C45 D2107.某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为 1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A 4 B 8 C 12 D 16 8.已知 x表示不超过 x的最大整数，如 .52.40,.执行如图所
3、示的程序框图，则输出 S的值为（ ）A450 B460 C495 D5509.已知函数 mxfne（ ,为整数）的图像如图所示，则 ,mn的值可能为（ ）A 2,1mn B 2,1mn C 1,mn D 1,mn10.已知 co),(s0fx的图像关于点 3,04对称，且 fx在区间 20,3上单调，则 的值为（ ）A1 B2 C 13 D 23 11.已知抛物线 1:4yx和圆 22:1xy，直线 1ykx与 2,C依次相交于12,xy34,CD四点（其中 1234xx），则 ABD的值为（ ）A1 B2 C 4k D 2k 12.已知直三棱柱 1ABC的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的
4、正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱11,A，分别交于三点 ,MNQ，若 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A 2 B3 C 23 D4第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ABC是边长为 2 的等边三角形， E为边 BC的中点，则 AEB 14.已知实数 ,xy满足10xy，则 2zxy的最大值为 15.已知双曲线 E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线 E的离心率为 16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列， ija表示位于第 i行第 j列的数.则 112 在这“等差数阵
5、”中出现的次数为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 ABC中， 30,25BC，点 D在 AB边上，且 CD为锐角， 2,BCD的面积为 4.（1）求 cosD的值；（2）求边 的长.18.如图,在几何体 ABEF中，四边形 AEF为矩形，四边形 AB为梯形, /AB,平面 BE与平面BE垂直，且 C.（1）求证： ED平面 ABC；（2）若 ,1AB,且平面 E与平面 ADF所成锐二面角的余弦值为 6,求 AF的长.19.某协会对 ,两家服务机构进行满意度调查，在 ,B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000 人，
6、每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为 60 分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成 6 组： 0,1,20,3,40,5,6，得到 A服务机构分数的频数分布表， B服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:（1）在抽样的 1000 人中，求对 B服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数；（2）从在 ,AB两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 B服务机构评价的“满意度指数”比对 服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从 ,服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由_20.已知椭圆 2:10xyCab与
7、直线 :0lbxay都经过点 2,M.直线 m与 l平行，且与椭圆 交于 ,AB两点，直线 ,MAB与 轴分别交于 ,EF两点.（1）求椭圆 的方程； （2）证明： EF为等腰三角形.21.已知函数 2ln10fxax.（1）讨论 的单调性；（2）若 fx在区间 0,1内有唯一的零点 0x，证明：3120ex.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程是 4cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 m的参数方程是 1cosinxty (t为参数).（1）将曲线
8、 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 C相交于 ,AB两点，且 14，求直线 m的倾斜角 的值.23.选修 4-5:不等式选讲.已知函数 21fxxa.（1）若 a，求不等式 0f的解集；（2）若方程 2fx有三个不同的解，求 a的取值范围试卷答案一、选择题1-5: ABCAD 6-10:BCBBD 11、12：AC二、填空题13. 3 14. 4 15. 512 16. 7三、解答题17. 解：（1） 25BCD， ， 1sin42BCDSBCD， sinD. cos；（2）在 中， 525,cos, ，由余弦定理得： 2 16BCDBC，即 4DB， 22D， 90，即 A
9、为直角三角形， 30A， 4. 18.解：（1)证明：因为平面 BE与平面 垂直且 CBE，平面 与平面 D的交线为 BE 所以 面 D，又 面所以， BE在矩形 AF中， A 又四边形 CD为梯形， /BCD 所以 A与 B相交，故 E平面 （2）由（1）知， E垂直 ， 垂直 ，又 D垂直 A， B平行 CD，所以 垂直 DA，如图，以 为坐标原点， A、 、 分别为 xyz,轴建立空间坐标系12ADBADB,又 45C，所以 C，设 Ea 则 1,0,20,BEa ,1,aC设平面 的法向量为 ,nxyz0nBEC0xyaz，令 1x，则 2,yza所以平面 的法向量为 2,n易知，平面
10、 ADEF的法向量为 0,1m，因为平面 BC与平面 所成锐二面角的余弦值为 6，则 6cos,nm，即 2164a，解得 1a，即 1AFDE 19.解：（1）由对 B服务机构的频率分布直方图，得对 B服务机构“满意度指数”为 0 的频率为 .03.50.120.，所以，对 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数为 .人.（2）设“对 服务机构评价满意度指数比对 A服务机构评价满意度指数高”为事件 C.记“对 B服务机构评价满意度指数为 1”为事件 1B；“对 服务机构评价满意度指数为 2” 为事件 2；“对 A服务机构评价满意度指数为 0”为事件 0；“对 A服务机构评价满意度指数为 1
11、”为事件 1.所以 2 0.2.10.4()0.()PBPB,，由用频率估计概率得： 01.,.5A，因为事件 iA与 j相互独立，其中 ,20,ij.所以 1021.3PCB所以该学生对 服务机构评价的“满意度指数”比对 A服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3 .（3）如果从学生对 ,A两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B服务机构“满意度指数” X的分布列为：A服务机构“满意度指数” Y的分布列为:因为 0.21.40.12EX； .5.35Y，所以 ()，会选择 A服务机构.20.解：（1）椭圆 C的方程为2164xy（2）设直线 m为： 1yt， 12,Bxy联立:2
12、164xyt，得 22 80xb 于是 22 8,xb 设直线 ,MAB的斜率为 ,MABk，要证 EF为等腰三角形，只需 0MABk12,2AByykxx1122MABb2128448bx0所以 MEF为等腰三角形21.解：（1） 21axf，当 02a时， 0， ()yfx在 0,上单调递增当 时，设 2 1xa的两个根为 1212()xx,，且2212,ax()yf在 120,x单调递増，在 12,x单调递减.（2）依题可知 f，若 f在区间 0,内有唯一的零点 0x，由（1）可知 2a，且 01,2x.于是： 0()lnax 201x由得 0ln2x，设 1ln,0,2xg，则 g，因
13、此 在 0,上单调递减，又3240e， 132eg根据零点存在定理，故3120x.22.解：（1）有 =4cos得 4cos， 22xy， cos,inxy，曲线 C的直角坐标方程为 20xy，即 4(). （2）将 1cosinxty代入圆的方程得 22cos1sintt，化简得， 2s30t，设 ,AB两点对应的参数分别为 12,t，则 12cos,3,t 2212114s4ttt. 4cos,s， 或 3. 23.解：（1）当 1a时，不等式 0fx可化为： 210x，解得： 2x或 0，（2）由 f得： 21x，令 1gx，作出函数 y的图象如图示，结合图象知：当 12a时，函数 ya与 gx的图象有三个不同交点，即方程 2fx有三个不同的解 a的取值范围为 1,.
