2018年重庆市第八中学高考适应性月考（八）数学（理）试题（图片版）.rar

理科数学参考答案·第 1 页（ 共 9 页） 重庆市第八中学 2018 届高考适应性月考卷（八） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小 题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C C B D C A D A D B 【解析】 1 ． 3 2i 2i 111 i ( 1 i ) 1 i 1 i 1i 1i z     ，故选 A ． 2 ．结合韦恩 图可得阴影区域为() I A B   ，故选 B ． 3 ．因为简单 随机抽样和系统抽样都使得每个个体被抽到的概率相等，所以编号为 30 的个体 被抽到的概率为 10 1003 ，故选 C ． 4 ．∵ 12 ll ∥ ，∴ 3 a  ，从而 1 l ： 20 xy  ， 2 l ： 30 xy   ， 55 2 2 2 d ，故选 C ． 5．将 1021 a  ， 3 k  ， 4 n  代入程序框图运行，可得输出 34 b  ，故选 B ． 6．逐一检验 ，故选 D ． 7．因为 1 sin 3   ，且  为锐角，所以 2 tan 4   ， tan   tan tan( ) tan[ ( )] 1t a nt a n ( )         2 2  ，故选 C ． 8．实数 a 的 几何意义是如图 1 区域 中的点与点 (0 2) ， 连线的斜率， 从而 11 24 a  ≤ ≤ ，故选 A ． 9 ．根据题意 ，从上到下依次是圆台、圆柱、正方体， ∴ 1 117 π 42 π 11 π 333 v   ， 2 π 122 π v    ， 3 8 v  ，∴ 312 vvv ，故选 D ． 10．如图 2 ， EP FE E      是 FP 的中点 ， 2 FO F O   2 OE PF ∥， 2 OE FP PF FP  ， 2 228 2 3333 aaaa OE PF PF a    ， 222 22 FF PF PF  222222 6 441 71 71 7 4 99 9 9 3 caacae e   ，故选 A ． 图 1 图 2 理科数学参考答案·第 2 页（ 共 9 页） 11 ．如图 3，令 e () x gx x  ， 2 () ( 2) hx ax x   ，原问题即求 () g x 与 () hx 的图象有两个公共点时 a 的取值 集合，分别画出 () g x 与 () hx 的图象，注意到 () g x 与 () hx 有相同的极值点 1 x  ， 所以当且仅当 (1) (1) g h  时满足条件，故选 D ． 12．设 mk ab  ，m ， k  N ，即 1 232 m k    ， 1 22 3 m k     1 (3 1) 2 3 m   ， 当且仅当 m 为奇数时， k  N ， 从而两个数列中的相同项为 024 222 ，，， … ， 所以在数列{} n b 的前 2018 项 中，删去 1 ，4 ，16 ，64 ，256 ，1024 ，4096 这七项 ，剩余 的 项从小到大排列，则第 2018 项是 6073 ，故选 B ． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 339(3 4) ，①③④ 【解析】 13．由|3 | 3 ab   ，得 2 2 96 9 aa bb      ， 2 33||0 bb     ，因为||0 b   ，所以||33 b   ． 14．由 47 58 58 47 36 1 18 2 aa aa q aa aa          ， ，由 36 11 36 aq aq   ，得 11 1 11 36 256 86 4 aa a     ， 1 1 256 1 9 2 n n an         ． 15．设 1 0 x  ，则 由ya  及 |2 1| x y ，得 1 21 x a   ，设 2 0 x  ， 同理得 2 21 x a  ，所 以 1 2 x  2 22 x  ，又若ya  与曲线 |2 1| x y 相交于两点，则 (0 1) a  ，， 所 以2( 12 ) a  ， ，故 12 222( 34 ) xx a  ， ． 16．若为① ，即“甲、乙相邻，且丙站在最右边” ，共有 12 32 CA 6  种不同的排法；若为②，即 “甲、乙不相邻，且丙不在最右边” ，则甲、乙、丙三人的站位只能是：乙□甲丙□，共 有 2 2 A2  种不同排法； 若为③， 即 “甲、 乙不相邻， 且丙站在最右边” ，则 甲、乙 、丙 三 人的站位 可 以是：乙 □ 甲□丙， 乙 □□甲丙 ， □乙□甲 丙 ，共有 212 222 AC A6   种不 同 的 排法；若为④，即“甲、乙相邻，且丙不在最右边” ，则甲 、乙、丙三人的站位可以是： 图 3 理科数学参考答案·第 3 页（ 共 9 页） 乙甲□丙 □ ，乙甲丙 □ □，□乙 甲 丙□，共 有 12 2 22 2 CA A 6   种不同的 排 法，综上 ， 满 足 条件的情况是①③④． 三、解答题（共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 ． （本小题 满分 12 分） 解： （Ⅰ） 122 ( ) sin(2 ) 3 (sin cos ) (sin cos ) 222 fxxxxxx              22 13 sin(2 ) (sin cos ) 22 x xx    13 sin(2 ) cos(2 ) 22 x x    π sin 2 3 x      ， π T  ∵， ∴ 1   ， ∴ π () s i n2 3 fx x     ． …………………………………………………（3 分） 令 ππ 2 π 32 x k  ，得 5ππ 12 2 k x ， k Z ， ∴ () f x 的对称轴方程为 5ππ () 12 2 k xk   Z ． ………………………………（6 分） （Ⅱ） π sin 0 23 B fB           ，∴ π 3 B  ， 2 b  ， 由正弦定理： 4 sin sin sin 3 abc ABC  ， ∴ 44 π 2 (2sin sin ) 2sin sin 3 33 ac A C A A           45 3 47 sin cos sin( ) 22 33 AAA       ， 其中 π 0 2   ， 3 tan 5   ， 2 π 0 3 A  ∵， π 2 A   ∴ 时， max 42 1 (2 ) 3 ac  ． ………………………………………（12 分） 理科数学参考答案·第 4 页（ 共 9 页） 18 ． （本小题 满分 12 分） 解： （Ⅰ）因 为学生甲随机选取答题顺序，所以答题方案一共有 3 3 A6  种， 第一题是 A 类试题的答题方案有 12 12 AA2   种， ∴第一题是 A 类试题的概率为 21 63  ． …………………………………（3 分） （Ⅱ） （ⅰ） 方案一下的得分不低于 60 分必须三道 题都答对， 又三类试题回答正确与否互不影响，相互独立， 所以概率为 3113 4243 2   ， 方案二下第一题答对则得分不低于 60 分，所以概 率为 1 4 ， 所以方案二的概率大于方案一的概率． ……………………………………（6 分） （ⅱ）设方案一下答题的得分为 x ，x 的值有 0 ，10 ，40 ，100 四种情况， 第一题答错得 0 分，概 率为 1 4 ， 第一题答对，第二题答错，得 10 分 ，概率为 313 428   ， 第一题，第二题都答对，第三题答错得 40 分， 概率为 3139 4243 2   ， 第一题，第二题，第三题都答对得 100 分，概率 为 3113 4243 2   ， 所以 x 的分 布列为： x 0 10 40 100 p 1 43 89 323 321 3 9 3 60 180 150 390 195 () 0 1 0 4 0 1 0 0 4 8 32 32 16 16 16 16 8 Ex   ． ……………………………………………………………………（9 分） 设方案二下答题的得分为 y ，y 的值 有 0 ，60 ，90 ，100 四种情 况， 同理可得 y 的分布列为： y 0 60 90 100 p 3 41 81 323 32 理科数学参考答案·第 5 页（ 共 9 页） 3 1 1 3 120 45 150 315 ()0 6 0 9 0 1 0 0 4 8 32 32 16 16 16 16 Ey   ， () () Ex Ey  ，所以学生甲应选择方案一． ………………………………（12 分） 19 ． （本小题 满分 12 分） （Ⅰ）直线 l 与直线 BC 的 位置关系是平行，即lB C ∥． ………… …………………………（2 分） 证明：如图 4 ，取 AB 的中 点为 O ，连接 PO ， ∵ PAB △ 为正三角形，∴ POA B  ， 又平面 PAB  平面 ABC ， PO  平面 PA B ，平面 PAB  平面 ABC AB  ， ∴ POB C  ， 又lB C ∥， ∴ lP O ⊥． ……………………………………………………（4 分） ∵lB C ∥ ， BCA B  ，∴lA B  ， 又 PO ，AB 是平面 PA B 内的两条相交直线， ∴ l PAB  平面 ， PB  平面 PA B ， ∴lP B  ． …………………………………………………………………（6 分） （Ⅱ）解：作 OH BC ∥ 交 AC 于点 H ，以 O 为原点， OA    ， OH     ， OP    的正方向分别为 x ， y ，z 轴的正 方向建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz  ， 则 1313 (0 0 3) (1 0 0) ( 1 0 0) ( 1 4 0) 0 2 2222 PABCDE          ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， 假设存在点 F，设 (1 0 ) Fy ， ， ，平面 ADE 的法向量为 111 () mxyz    ，， ， 33 0 22 AD        ，， ， (0 2 0) DE    ，， ， 由 0 0 mA D mD E                  ， ， 得 11 1 33 0 22 20 xz y        ， ， 取 1 1 x  ，得 (1 0 3 ) m    ，， ， 又 (1 3 ) PF y    ， ， ，设直线 PF 与平面 ADE 所成的角为  ， 则 22 |1 3| 1 sin || || 424 PF m PF m yy               ， …………………………………（8 分） 图 4 理科数学参考答案·第 6 页（ 共 9 页） 设二面角 P AC B  的平面角为  ，且平面 PA C 的法向量为 1222 () nxyz     ， ， ，易知平面 ABC 的法向 量为 2 (0 0 1) n     ，， ， (240 ) AC   ，， ， (1 0 3 ) PA    ，， ， 由 1 1 0 0 nA C nP A                  ， ， 得 22 22 240 30 xy xz        ， ， 取 2 2 z  ，得 1 (2 3 3 2) n     ，， ， 12 12 22 cos || || 19 1 19 nn nn          ，  为锐角， 依题意：得 90    ，∴ sin cos    ， ∴ 2 12 19 4 y   ，解得 3 2 y  ， ∴l 上存在点 3 10 2 F     ，， 或 3 10 2 F      ，， 满足题意， ………………（11 分） ∴ 3 2 AF  ，故直线 l 上存在点 F，且 3 2 AF  满足题意． …………………………………………………………（12 分） 20 ． （本小题 满分 12 分） （Ⅰ）解：由题知， 3 AF a c  ，由于 (0 ) D b ，，(0 ) Fc ，， 又 5 3 DFF M      ，则 83 55 M cb     ，， 代入椭圆方程可得 1 2 c a  ，解得 2 a  ， 1 c  ，于是 3 b  ， 所以椭圆 E 的方程为 22 1 43 xy  ． ………………………………………………（5 分） （Ⅱ）证明：设直线 AP 的方程为 (2 ) ykx   ，则 (2 4 ) Qk ，， (2 2 ) Nk ， ，设点 00 (,) Pxy ， 由 22 (2 ) 1 43 ykx xy        ， ， 得 22 2 2 (3 4 ) 16 16 12 0 kx kx k   ， 则 2 0 2 16 12 2 34 k x k    ，从而 2 0 2 86 34 k x k    ， 于是 00 2 12 (2 ) 34 k yk x k   ， ……………………………………………（7 分） 理科数学参考答案·第 7 页（ 共 9 页） ①当 PFx  轴时， 0 1 x  ，此时 1 2 k   ， 所以 3 1 2 P     ，， (2 2) Q  ，， (2 1) N  ，， 此时点 N 在直 线 1 yx  或 1 yx   上，即满足 PFN NFB   ； ……………………………………………………（9 分） ②当 1 2 k  时，直线 FP 的斜率 为 0 2 0 4 114 PF y k k x k   ， 所以直线 FP 的方程为 2 4( 41 )40 kx k y k  ， 所以点 N 到直 线 FP 的距 离为 2 222 |8 2 (4 1 ) 4 | |2 | | | 16 (4 1) kkk k dk B N kk      ， 即点 N 到 PFB  两边的距离相等，从而 PFN NFB   ． …………………（12 分） 21 ． （本小题 满分 12 分） 解： （Ⅰ） () ( 3 2) f xxxa    ， 当 2 0 3 x a  时， () 0 fx   ；当 2 3 x a  时， () 0 fx   ， 所以 () f x 在 2 0 3 a    ， 上单调递减，在 2 3 a      ， 上单调递增， 所以当 0 x  时， 3 min 24 () 4 32 7 fxfa a      ， 故 3 4 40 03 27 aa     ． ……………………………………………（4 分） （Ⅱ） （ⅰ） 当 (0 1) x  ，时 ，() 0 gx  ，从而 () () 0 hx gx  ≤， 故 () hx 在 (0 1) ， 上无零点． （ⅱ）当 1 x  时， (1) 0 g  ， (1) 5 f a   ， 若 (1) 0 f ≥， 即05 a  ≤时 ， (1) (1) 0 hg   ，故 1 x  是 () hx 的零点； 若 (1) 0 f  ，即 5 a  时， (1) (1) 0 hf  ，故 1 x  不是 () hx 的零点． ……………………………………………………………………（6 分） 理科数学参考答案·第 8 页（ 共 9 页） （ⅲ）当 (1 ) x  ，时 ， () 0 gx  ，故只需考虑 () f x 在 (1 )   ， 上的零点个数， 由 （Ⅰ） 知 () f x 在 2 0 3 a    ， 上单调递减， 在 2 3 a      ， 上单调递增， 并注意到 () 4 0 fa ， ①若 2 0 3 fa     ，即03 a  时， () f x 在 (1 )   ， 上无零点； ②若 2 0 3 fa     ，即 3 a  时， () f x 在 (1 )   ，上 有 1 个零点； ③若 2 0 3 fa     且 (1) 0 f  ，即35 a   时， () f x 在 (1 )   ，上 有 2 个零点； ④若 2 0 3 fa     且 (1) 0 f ≤， 即 5 a≥时 ，() f x 在 (1 )   ，上 有 1 个零点， …………………………………………………………（10 分） 综上，当03 a  或 5 a  时， () hx 有 1 个 零点；当 3 a  或 5 a  时， () hx 有 2 个 零点； 当35 a  时， () hx 有 3 个零点． ……………………………………（12 分） 22 ． （本小题 满分 10 分） 【选修 4 −4 ： 坐标系与参数方程】 解： （Ⅰ） 1 C ： 22 2 (23 ) xya   ， 2 C ： 22 1 16 9 xy   ． …………………（5 分） （Ⅱ）直线 3 C 的普通方程为 33 4 yx  ， 由 22 1 16 9 33 4 xy yx          ， ， 得 2 C 与 3 C 在第一象限的公共点的坐标为 33 2 2     ， ， 代入曲线 1 C 得 19 2 a  ． ……………………………………………………（10 分） 23 ． （本小题 满分 10 分） 【选修 4 −5 ： 不等式选讲】 解： （Ⅰ）当 1 m  时， ()| 2|2| 1 |3 fx x x   ， 当 2 x≥时 ， 22 (1 )343 xxx   ，∴ 7 3 x  ； 当12 x  时，22 (1 )3 xxx   ，无解； 当 1 x≤时 ，22 ( 1) 4 33 xxx    ， 1 3 x  ∴， 综上所述，不等式的解集为 17 33           ，，． ………………………（5 分） 理科数学参考答案·第 9 页（ 共 9 页） （Ⅱ）根据题意， () ()|2 3 | gx fx m  存在零点等价于 min () |2 3 | fx m  ≤ ， 当 2 m  时， 3221 2 () 2 2 1 2 223 mx m x fx m x m x m mm x x m                ，≥， ，， ，≤ ， ∴ min () 2 fx m   ； 当 2 m  时， 2 322 2 () 2 21 223 1 mx m x m fx m x m x m mm x x             ，≥ ， ，， ，≤， ∴ min () 2 fxm   ； 当 2 m  时， () 6| 1 | fx x  ， min () 0 fx  ∴ ， 综上所述， min () | 2| fx m  ， ∴|2 | | 23 | mm  ≤， 22 (2 )( 23 ) mm  ≤ ， 故实数 m 的取值范围是 5 (0 1] 3          ，，． ………………………………（10 分） 页 1 第页 2 第页 3 第页 4 第