1、2016-2017 学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷一.填空题1不等式 的解集是 2已知直线 l1： xy+2=0，l 2：3x + y5=0，则直线 l1 与 l2 的夹角是 3函数 f（x）= 的最大值是 4i 为虚数单位，z= 对应的点在第二象限，则 是第 象限的角5已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4 ，5.5，则该组数据的方差是 6从二项式（1+x） 11 的展开式中取一项，系数为奇数的概率是 7命题“对任意 ，tanx m 恒成立”是假命题，则实数 m 取值范围是 8函数 f（x）=log a（x 24x+3） （a0，a1）在 xm，+）上存在反函数，则 m
2、 的取值范围是 9若平面向量 满足 ， ，则 的取值范围为 10已知数列a n，a 1=1， ，n N*，则 = 11已知函数 f（x ）=x + （a0） ，若对任意的 m、n 、 ，长为 f（m） 、f （n） 、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数 a 的取值范围是 12已知数列a n满足：对任意的 nN*均有 an+1=kan+2k2，其中 k 为不等于 0 与 1 的常数，若 ai272，32，2，8，88，888，i=2、3、4、5，则满足条件的 a1 所有可能值的和为 二.选择题13已知实数 m、n，则“mn0”是“方程 mx2+ny2=1 代表的曲线是椭圆”的（ ）A充
3、分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件14将半径为 R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗） ，则其容积为（ ）A B C D15已知数列a n通项公式为 an= ，其前 m 项和为 ，则双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= xCy= x Dy= x16已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则下列一定成立的是（ ）A若 a30，则 a20160 B若 a40，则 a20170C若 a30，则 S20170 D若 a40，则 S20160三.解答题17如图，用一平面去截球 O，所得截面面积为 16，球心 O 到截面的距离为 3，O 1 为
4、截面小圆圆心，AB 为截面小圆的直径；（1）计算球 O 的表面积和体积；（2）若 C 是截面小圆上一点，ABC=30，M、N 分别是线段 AO1 和 OO1 的中点，求异面直线 AC 与 MN 所成的角；（结果用反三角表示）18ABC 中，角 A、B、 C 所对边分别为 a、b、c ，cosA= ，tan ，c=21；（1）求 sinC 的值；（2）求ABC 的面积19已知函数 f（x ）=x 24x+a+3，aR ；（1）若函数 y=f（x）在 1，1上存在零点，求 a 的取值范围；（2）设函数 g（x）=bx +52b，b R，当 a=3 时，若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使
5、得 g（x 1）=f（x 2） ，求 b 的取值范围20已知抛物线 ：y 2=2px 上一点 M（3，m ）到焦点的距离为 4，动直线 y=kx（k0）交抛物线 于坐标原点 O 和点 A，交抛物线 的准线于点 B，若动点 P 满足 ，动点 P 的轨迹C 的方程为 F（x，y）=0；（1）求出抛物线 的标准方程；（2）求动点 P 的轨迹方程 F（x，y ）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线 C 的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：对称性；图形范围；渐近线；y0 时，写出由 F（x，y）=0 确定的函数 y=f（x）的单调区间，不需证明21已知无穷数列a n，满足 an+2=|
6、an+1an|，nN *；（1）若 a1=1，a 2=2，求数列前 10 项和；（2）若 a1=1，a 2=x，x Z，且数列a n前 2017 项中有 100 项是 0，求 x 的可能值；（3）求证：在数列a n中，存在 kN*，使得 0 ak12016-2017 学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1不等式 的解集是 x|0x 1 【考点】其他不等式的解法【分析】将不等式 1 移项后通分，即可求得不等式的解集【解答】解： 1， 1= 0， 0，0x1不等式 的解集为 x|0x 1故答案为：x|0x12已知直线 l1： xy+2=0，l 2：3x + y
7、5=0，则直线 l1 与 l2 的夹角是 【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角【解答】解：因为直线 l1 的斜率为 ，故倾斜角为 60，直线 l2 的斜率为 ，倾斜角为 120，故两直线的夹角为 60，即两直线的夹角为 ，故答案为 3函数 f（x）= 的最大值是 5 【考点】三角函数的最值【分析】f（x）= =3sinx+4cosx=5sin（x +） ，即可得出结论【解答】解：f（x）= =3sinx+4cosx=5sin（x+） ，函数 f（x ）= 的最大值是 5，故答案为 54i 为虚数单位，z= 对应
8、的点在第二象限，则 是第 一、三 象限的角【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用共轭复数的意义可得 z= =cos2+isin2 对应的点在第二象限，可得 cos20，sin20，解出 即可得出结论【解答】解：z= = =cos2+isin2 对应的点在第二象限，cos20，sin20， 22k+，kZ解得 k+ k + ，kZ k=2n（n Z）时，2n+ 2n + ， 为第一象限角k=2n1（nZ）时，2n 2n ， 为第三象限角综上可得： 是第一、三象限的角故答案为：一、三5已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4 ，5.5，则该组数据的方差是 0.1 【考点】极差、方差与
9、标准差【分析】先求出数据 4.7，4.8 ，5.1，5.4 ，5.5 的平均数，由此能求出该组数据的方差【解答】解：数据 4.7，4.8 ，5.1，5.4 ，5.5 的平均数为：= （ 4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，该组数据的方差：S2= （4.75.1） 2+（4.85.1 ） 2+（5.1 5.1） 2+（5.45.1） 2+（5.55.1） 2=0.1故答案为：0.16从二项式（1+x） 11 的展开式中取一项，系数为奇数的概率是 【考点】二项式系数的性质【分析】二项式（1+x） 11 的展开式中通项公式 Tr+1= xr， （r=0 ，1，2，11） 其中r=0，1
10、，2 ，3，8，9，10，11， 为奇数即可得出【解答】解：二项式（1+x） 11 的展开式中通项公式 Tr+1= xr， （r=0 ，1，2，11） 其中 r=0，1， 2，3，8，9，10，11， 为奇数系数为奇数的概率= = 故答案为： 7命题“对任意 ，tanx m 恒成立”是假命题，则实数 m 取值范围是 （，1 【考点】命题的真假判断与应用【分析】由 x 的范围求出 tanx 的范围，再由 tanxm 恒成立求出 m 的范围，结合补集思想求得命题“对任意 ，tanxm 恒成立”是假命题的 m 的取值范围【解答】解：当 时，tanx 0，1，若 tanxm 恒成立，则 m1命题“对任
11、意 ，tanxm 恒成立”是假命题，m1实数 m 取值范围是（，1故答案为：（，18函数 f（x）=log a（x 24x+3） （a0，a1）在 xm，+）上存在反函数，则 m 的取值范围是 （3，+） 【考点】反函数【分析】由反函数性质得函数 f（x ）=log a（x 24x+3） （a 0，a1）在 xm，+）单调，由此能求出 m 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）=log a（x 24x+3） （a0 ，a1）在 xm，+）上存在反函数，函数 f（x ）=log a（x 24x+3） （a0，a1）在 xm，+）单调，函数的定义域为（， 1）（3，+） ，y=x 24x+3 的对
12、称轴为 x=2，m（3，+ ） ，故答案为：（3，+） 9若平面向量 满足 ， ，则 的取值范围为 2，6 【考点】平面向量数量积的运算；向量的模【分析】利用 4| |+ ，及 4| |，求出| |的取值范围【解答】解：设 的夹角为 ， =22| |cos+ 4| |+ ，| |2 或| |6（舍去） 又 =22| |cos+ 4| |，6| |2综上，6| |2，故答案为：2，610已知数列a n，a 1=1， ，n N*，则 = 【考点】数列的求和；极限及其运算【分析】先根据数列关系式得到 a1+（a 2+a3）+（a 4+a5）+ +（a 2n2+a2n1）=1+ + +，再根据等比数列
13、的求和公式计算，最后求极限【解答】解： ，n N，a 1+（a 2+a3）+（a 4+a5）+（a 2n2+a2n1） ，=1+ + + ，=1+ ，=1+ ，= ， = （ ）= ，故答案为：11已知函数 f（x ）=x + （a0） ，若对任意的 m、n 、 ，长为 f（m） 、f （n） 、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数 a 的取值范围是 （ ， ）1， ） 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】求出 f（x）的导数，讨论当 1 即 a 1 时；当 1 且 f（ ）f（1）即 a 时；当 1 且 f（ ）f（1）即 a 1 时；当 ，即 0a 时由单调性可得最小值和最大值，
14、由题意可得最小值的 2 倍大于最大值，解不等式即可得到所求a 的范围【解答】解：函数 f（x） =x+ （a0）的导数为 f（x）=1 ，当 x 时，f（x）0，f（x）递增；当 x 时，f（x）0，f（x ）递减当 1 即 a1 时， ，1为减区间，即有 f（x）的最大值为 +3a；最小值为 1+a由题意可得只要满足 2（1+a） +3a，解得 1a ；当 1 且 f（ ）f（1）即 a 时， ， 为减区间， （ ，1）为增区间，即有 f（ x）的最大值为 1+a；最小值为 2 由题意可得只要满足 1+a4 ，解得 0a74 ，不成立；当 1 且 f（ ）f（1）即 a1 时， ， 为减区间
15、， （ ，1）为增区间，即有 f（ x）的最大值为 +3a；最小值为 2 由题意可得只要满足 +3a4 ，解得 0a ，不成立；当 ，即 0a 时， ，1为增区间，即有 f（x）的最小值为 +3a；最大值为 1+a由题意可得只要满足 2（ +3a）1+a，解得 a 综上可得，a 的取值范围是（ ， ）1， ） 故答案为：（ ， ）1， ） 12已知数列a n满足：对任意的 nN*均有 an+1=kan+2k2，其中 k 为不等于 0 与 1 的常数，若 ai272，32，2，8，88，888，i=2、3、4、5，则满足条件的 a1 所有可能值的和为 【考点】数列递推式【分析】依题意，可得 an
16、+1+2=k（a n+2） ，再对 a1=2 与 a12 讨论，特别是 a1 2 时对公比 k分|k|1 与|k |1，即可求得 a1 所有可能值，从而可得答案【解答】解：a n+1=kan+2k2，a n+1+2=k（ an+2） ，若 a1=2，则 a1+1+2=k（a 1+2）=0，a 2=2，同理可得，a 3=a4=a5=2，即 a1=2 复合题意；若 a12 ，k 为不等于 0 与 1 的常数，则数列a n+2是以 k 为公比的等比数列，a i272，32，2，8，88，888，i=2，3，4，5，an+2 可以取270，30，10，90，若公比|k|1，则 k=3，由 a2+2=1
17、0=3（a 1+2）得：a 1= ；若公比|k|1，则 k= ，由 a2+2=270= （a 1+2）得：a 1=808综上所述，满足条件的 a1 所有可能值为 2， ，808a 1 所有可能值的和为： 2 = 故答案为： 二.选择题13已知实数 m、n，则“mn0”是“方程 mx2+ny2=1 代表的曲线是椭圆”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先根据 mn0 看能否得出方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆，根据椭圆的方程
18、的定义，可以得出mn 0，即可得到结论【解答】解：当 mn0 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不一定是椭圆，例如：当 m=n=1 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不是椭圆而是圆；或者是 m，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆时，应有 m，n 都大于 0，且两个量不相等，得到 mn0；由上可得：“mn0” 是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件故选 B14将半径为 R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗） ，则其容积为（ ）A B C D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】推导出设这个
19、盖圆锥形底面半径 r= ，母线长 l=R，高 h= = ，由此能求出这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积【解答】解：将半径为 R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器，设这个盖圆锥形底面半径为 r，则 R=2r，解得 r= ，这个盖圆锥形母线长 l=R，这个盖圆锥形的高 h= = ，这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积：V= = 故选：A15已知数列a n通项公式为 an= ，其前 m 项和为 ，则双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= xCy= x Dy= x【考点】双曲线的简单性质【分析】利用数列求和，推出 m，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：数列a n通项公式为 an
20、= ，其前 m 项和为 ，可得 1 = ，即 1 = 解得 m=9双曲线 =1 的渐近线方程： y= x故选：C16已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则下列一定成立的是（ ）A若 a30，则 a20160 B若 a40，则 a20170C若 a30，则 S20170 D若 a40，则 S20160【考点】等比数列的通项公式【分析】设等比数列a n的公比为 q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，若 a30 ，则 0，则 a10S 2017= 0a 2016= 与 0 的大小关系不确定若 a40 ，则 0，则 a1 与 q 同号，则 a2017=
21、 ，S 2016= 与 0 的大小关系不确定故选：C三.解答题17如图，用一平面去截球 O，所得截面面积为 16，球心 O 到截面的距离为 3，O 1 为截面小圆圆心，AB 为截面小圆的直径；（1）计算球 O 的表面积和体积；（2）若 C 是截面小圆上一点，ABC=30，M、N 分别是线段 AO1 和 OO1 的中点，求异面直线 AC 与 MN 所成的角；（结果用反三角表示）【考点】球的体积和表面积【分析】 （1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为 3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积（2）由 MNOA 得， OAC 为异面直线 AC 与 MN 所成的角（
22、或补角） ，连接 OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可【解答】解：（1）连接 OA，由题意得，截面小圆半径为 4，在 RtOAO 1 中，O 1A=4，OO 1=3，由勾股定理知，AO=5，球 O 的表面积为：425=100（2）由 MNOA 得， OAC 为异面直线 AC 与 MN 所成的角（或补角） 在 RtABC 中，AB=8，ABC=30，则 AC=4，连接 OC，在OAC 中，OA=OC=5，由余弦定理知：cosOAC= = = ，OAC= ，异面直线 AC 与 MN 所成的角为 18ABC 中，角 A、B、 C 所对边分别为 a、b、c ，cosA=
23、 ，tan ，c=21；（1）求 sinC 的值；（2）求ABC 的面积【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用【分析】 （1）先根据弦切之间的关系对 tan 进行化简，再由二倍角公式可得到sinB 的值，结合 cosA 的值可判断 B 为锐角，进而由 sinC=sin（A+B）根据两角和与差的正弦公式和（1）中的 sinB，sinA，cosB，cosA 的值可求得 sinC 的值（2）再由正弦定理可求得 a 的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案【解答】解：（1）由 tan = = ，得 sinB= ，cosA= ，sinA= sinB，B 为锐角，可得 cosB= ，sin
24、C=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= + = （2）c=21，a= = =20，S ABC = acsinB= 2021 =12619已知函数 f（x ）=x 24x+a+3，aR ；（1）若函数 y=f（x）在 1，1上存在零点，求 a 的取值范围；（2）设函数 g（x）=bx +52b，b R，当 a=3 时，若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使得 g（x 1）=f（x 2） ，求 b 的取值范围【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义【分析】 （1）根据 f（x）在 1，1上单调递减且存在零点可得 f（1）f（1）0，从而解出a 的范围；（2）对 b
25、 进行讨论，判断 g（x ）的单调性，分别求出 f（x） ，g（x）在1，4上的值域，令g（ x）的值域为 f（x）的值域的子集列出不等式组得出 b 的范围【解答】解：（1）f（x ）=x 24x+a+3 的函数图象开口向上，对称轴为 x=2，f（ x）在1，1上是减函数，函数 y=f（x）在1，1 上存在零点，f（ 1）f（1）0，即 a（8+a）0，解得：8a 0（2）a=3 时，f（x）=x 24x+6，f（ x）在1，2上单调递减，在 2，4上单调递增，f（ x）在2，4上的最小值为 f（2）=2，最大值为 f（4）=6即 f（x）在2，4上的值域为 2，6设 g（ x）在1，4上的值
26、域为 M，对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使得 g（x 1）=f（x 2） ，M2，6当 b=0 时，g（x）=5，即 M=5，符合题意，当 b0 时，g（x）=bx+5 2b 在1，4上是增函数，M=5b，5+2b， ，解得 0b 当 b0 时，g（x）=bx+5 2b 在1，4上是减函数，M=5+2b，5b， ，解得1b0综上，b 的取值范围是 20已知抛物线 ：y 2=2px 上一点 M（3，m ）到焦点的距离为 4，动直线 y=kx（k0）交抛物线 于坐标原点 O 和点 A，交抛物线 的准线于点 B，若动点 P 满足 ，动点 P 的轨迹C 的方程为 F（x，y）=0；（1）求
27、出抛物线 的标准方程；（2）求动点 P 的轨迹方程 F（x，y ）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线 C 的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：对称性；图形范围；渐近线；y0 时，写出由 F（x，y）=0 确定的函数 y=f（x）的单调区间，不需证明【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程【分析】 （1）利用抛物线的定义，可得抛物线 的标准方程；（2）求出 A，B 的坐标，利用动点 P 满足 ，求出动点 P 的轨迹 C 的方程；（3）根据方程，可得结论【解答】解：（1）由题意，3+ =4，p=2 ，抛物线 的标准方程为 y2=4x；（2）设 P（x，y ） ，则 y=
28、kx，与抛物线方程联立，可得 x= ，y= ，即 A（ ， ） ，与 x=1 联立，可得 B（1，k） ， ，（x，y ）=（ +1， +k） ，x= +1，y= +k，消去 k 可得 ；（3）由 ，可得关于 x 轴对称； x （1，+） ，y（，44，+） ；渐近线 x=1；在（1，2上递减，在2，+）上递增21已知无穷数列a n，满足 an+2=|an+1an|，nN *；（1）若 a1=1，a 2=2，求数列前 10 项和；（2）若 a1=1，a 2=x，x Z，且数列a n前 2017 项中有 100 项是 0，求 x 的可能值；（3）求证：在数列a n中，存在 kN*，使得 0 ak
29、1【考点】数列递推式；数列的求和【分析】 （1）由条件分别计算前 10 项，即可得到所求和；（2）讨论 x=1，2，3，计算得到数列进入循环，求得数列中 0 的个数，即可得到所求值；（3）运用反证法证明，结合条件及无穷数列的概念，即可得证【解答】解：（1）数列a n，满足 an+2=|an+1an|，n N*；a 1=1，a 2=2，则 a3=1，a 4=1，a 5=0，a 6=1，a 7=1，a 8=0，a 9=a10=1数列前 10 项和 S10=1+2+6=9（2）当 x=1 时，数列数列a n的各项为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0所以在前 2017 项中恰好含有 67
30、2 项为 0；当 x=2 时，数列数列a n的各项为 1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0所以在前 2017 项中恰好含有 671 项为 0；当 x=3 时，数列数列a n的各项为 1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0所以在前 2017 项中恰好含有 671 项为 0；当 x=4 时，数列数列a n的各项为 1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，所以在前 2017 项中恰好含有 670 项；当 x=5 时，数列数列a n的各项为 1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0所以在前 2017 项中恰好含有 670 项为 0；由上面可以得到当 x=1144 或 x=1145 时，在前 2017 项中恰好含有 100 项为 0；当 x=1141 或 x=1140 时，在前 2017 项中恰好含有 100 项为 0；（3）证明：假设数列a n中不存在 ak（kN *） ，使得 0a k1，则 ak 0 或 ak1（k=1，2，3，） 由无穷数列a n，满足 an+2=|an+1an|，n N*，可得 ak1，由于无穷数列a n，对于给定的 a1，a 2，总可以相减后得到 0，故假设不成立在数列a n中，存在 kN*，使得 0a k12017 年 5 月 8 日
