1、1.5.2 定积分明目标、知重点 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义1定积分的概念一般地，设函数 f(x)在区间a，b 上有定义，将区间a，b 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x(x )，在每个小区间上取一点，依次为 x1，x 2，x i，x n.作和b anSnf(x 1)xf(x 2)xf( xi)xf(x n)x，如果当 x0(亦即 n) 时，S nS(常数)，那么称常数 S 为函数 f(x)在区间a，b 上的定积分，记为：S f(x)dx，ba其中，f(x) 称为被积函数，a，b 称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限2定积分的几何意义一
2、般地，定积分 f(x)dx 的几何意义是，在区间 a，b上曲线与 x 轴所围图形面积的代数ba和(即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积)探究点一 定积分的概念思考 1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近思考 2 怎样正确认识定积分 f(x)dx?ba答 (1)定积分 f(x)dx 是一个数值它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外 f(x)ba badx 与积分区间 a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)函数 f(x)在区间 a，b上连续这一条件是不能忽视的，
3、它保证了定积分的存在 (实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例 1 利用定积分的定义，计算 x3dx 的值10解 令 f(x)x 3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入 n1 个分点，把区间0,1等分成 n 个小区间 ， i 1n in(i1,2，n)，每个小区间的长度为 x .in i 1n 1n(2)以直代曲、作和取 i (i1,2 ，n) ，则in x3dxS n f( )x10 n i 1 in ( )3n i 1 in 1n i3 n2(n1) 2 (1 )2.1n4 n i 1 1n414 14 1n(3)逼近n时， 2 .14(1 1n) 14 x3dx .
4、1014反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“ 分割、以直代曲、作和、逼近”这一过程，需要注意的是在本题中将以直代曲、作和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤(2)从过程来看，当 f(x)0 时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积跟踪训练 1 用定义计算 (1x)dx.21解 (1)分割：将区间1,2 等分成 n 个小区间 (i1,2，n) ，每个小区间的1 i 1n，1 in长度为x .1n(2)以直代曲、作和：在 上取点 i1 (i1,2，n)，于是 f(i)1 i 1n，1 in i 1n11 2 ，从而得 (i)x (2 ) i 1n i 1n ni 1f ni 1 i
5、 1n 1n ni 1(2n i 1n2) n 012( n1)2n 1n22 2 .1n2nn 12 n 12n(3)逼近：n时，S n (i)x2 .ni 1f 12 52因此 (1x)dx .2152探究点二 定积分的几何意义思考 1 从几何上看，如果在区间a，b 上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0，那么 f(x)dx 表示什ba么？答 当函数 f(x)0 时，定积分 f(x)dx 在几何上表示由直线 xa，x b(a0，f (i)0，故b anf(i) 0.从而定积分 f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即b an ba f(x)dxS.ba当 f(x)在区间a
6、，b上有正有负时，定积分 f(x)dx 表示介于 x 轴、函数 f(x)的图象及直线baxa，xb(ab)之间各部分面积的代数和( 在 x 轴上方的取正，在 x 轴下方的取负) (如图)，即 f(x)dxS 1S 2S 3.ba例 2 利用几何意义计算下列定积分：(1) dx；(2) (3x1)dx.3 39 x2 3 1解 (1)在平面上 y 表示的几何图形为以原点为圆心，以 3 为半径的上半圆，9 x2其面积为 S 32.12由定积分的几何意义知 dx .3 39 x292(2)由直线 x1，x3，y 0，以及 y3x1 所围成的图形，如图所示： (3x1)dx 表示由直线 x 1，x3，
7、y0 以及 y3x1 所围成的图形在 x 轴上方的面3 1积减去在 x 轴下方的面积， (3x1)dx (3 )(331) ( 1)2 16.3 112 13 12 13 503 23反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练 2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1) xdx；(2) cos xdx；(3) |x|dx.1 1 20 1 1解 (1)如图(1)， xdx A1A 10.1 1(2)如图(2)， cos xdxA 1A 2A 30.20(3)如图(3)
8、，A 1A 2， |x|dx2A 12 1.1 112(其中 A1，A 2，A 3 分别表示图中相应各处面积)1定积分 (3)d x_.31答案 62定积分 f(x)dx 的大小，以下说法正确的是_ba与 f(x)和积分区间a，b有关，与 i 的取法无关与 f(x)有关，与区间a，b以及 i 的取法无关与 f(x)和 i 的取法有关，与区间 a，b无关与 f(x)、积分区间a，b和 i 的取法都有关答案 3根据定积分的几何意义，用不等号连结下列式子： xdx_ x2dx；10 10 dx_ 2dx.204 x2 20答案 x 2，由定积分的几何意义知 xdx x2dx；10 10当 dx 对应
9、的面积为半圆，204 x2小于 2dx 对应的矩形的面积，20所以 dxbc解析 根据定积分的几何意义，易知 x3dxbc.10 10 10135计算定积分 dx_.1 14 4x2答案 解析 由于 dx2 dx 表示单位圆的面积 ，所以 dx.1 14 4x2 1 11 x2 1 14 4x26用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算) ：(1)S1_( 如图 1)；图 1(2)S2_( 如图 2)；图 2答案 (1) sin xdx (2) dx3 2 4x227若 |56x|dx2 016，求正数 a 的最大值a a解 由 |56x|dx56 |x|dx2 016，得 |x|dx36，
10、 |x|dx2 xdxa 236，a a a a a a a a a0即 0a6.故正数 a 的最大值为 6.二、能力提升8. (2x4)dx _.60答案 12解析 如图 A(0，4) ，B(6,8)SAOM 244，12SMBC 4816，12 (2x4)dx 16412.609由 ysin x，x0，x ，y0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 S_.答案 sin xdx0 解析 由定积分的意义知，由 ysin x，x0，x ，y0 围成图形的面积为S sin xdx.0 10计算 dx_.4016 x2答案 4解析 dx 表示以原点为圆心，4016 x24 为半径的 圆的面积，14
11、dx 424.4016 x21411用定积分的意义求下列各式的值：(1) (2x1)d x；(2) dx.30 1 x2解 (1)在平面上，f (x)2x1 为一条直线， (2x1)dx 表示直线 f(x)2x1，x0，x330与 x 轴围成的直角梯形 OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为 S (17)312.根据定积12分的几何意义知 (2x1)dx 12.30 (2)由 y 可知，x 2y 21( y0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知1 x2dx 等于圆心角为 120的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和1 x2S 弓形 12 11sin ，12 23 12 23
12、3 34S 矩形 |AB|BC |2 ，32 12 32 dx .1 x23 34 32 3 3412利用定积分的定义计算 (x 22x )dx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么21解 令 f(x)x 22x .(1)分割在区间1,2上等间隔地插入 n1 个分点，把区间1,2等分为 n 个小区间1 ，1 i 1n in(i1,2，n)，每个小区间的长度为 x .in i 1n 1n(2)以直代曲、作和取 i1 (i 1,2，n) ，则inSn f(1 )x (1 )22(1 )n i 1 in n i 1 in in 1n (n1) 2(n2) 2(n3) 2(2 n)2 (n1)( n
13、2)(n3) 2n1n3 2n2 1n32n2n 14n 16 nn 12n 16 2n2nn 1 2n2 (2 )(4 ) (1 )(2 )3 .13 1n 1n 16 1n 1n 1n(3)逼近当 n时，S (x 2 2x)dx21 3 ，13(2 1n)(4 1n) 16(1 1n)(2 1n) 1n 23 (x 22x)d x 的几何意义为由直线 x1，x2，y0 与曲线 f(x)x 22x 所围成的曲2123边梯形的面积三、探究与拓展13已知函数 f(x)Error!，求 f(x)在区间 2,2 上的积分解 由定积分的几何意义，知 x3dx0， 2xdx 24，2 2 2 22 42 cos xdx0，2由定积分的性质得 f(x)dx x3dx 2xdx cos xdx2 2 2 2 2 2 24.
