1、1第 5 节 定积分一、学习目标：1. 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等） ，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；会利用定积分求由曲线围成的平面区域的面积。2. 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系） ，直观了解微积分基本定理的含义。二、重点、难点重点：定积分的计算和简单应用。难点：利用定积分求由曲线围成的平面区域的面积。三、考点分析：定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分的基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中应用非常广泛，因此在高考试题中将呈现以下几个特点：1. 难度不会很大，注
2、意基本概念、基本性质、基本公式的考查及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；2. 定积分的应用主要是计算面积，如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。一、定积分概念定积分定义：如果函数 ()fx在区间 ,ab上连续，用分点0121iaxinb，将区间 ,ab等分成 n个小区间，在每一个小区间 1,ix上任取一点(,)i，作和 1()()i iifxf，当 n时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间 ,上的定积分，记作 ()bafd，这里 a、 b分别叫做积分的下限与上限，区间 ab叫做积分区间，函
3、数 x叫做被积函数， x叫做积分变量， ()fxd叫做被积式。二、定积分性质1. ()()bbaakffxd；2. 1212()bbaaxffxd3. ()()()cbacff c三、定积分求曲边梯形面积2由三条直线 x a， x b（ ab） ， x 轴及一条曲线 y f（ x） （ f（ x）0）围成的曲边梯形的面积 bdfS)(。如果图形由曲线 y1 f1（ x） ， y2 f2（ x） （不妨设 f1（ x） f2（ x）0） ，及直线x a， x b（a b）围成，那么所求图形的面积 S S 曲边梯形 AMNB S 曲边梯形 DMNCbafdf)()(21。四、微积分基本定理一般地，
4、如果 ()fx是在 ,ab上有定义的连续函数， ()fx在 ,ab上可微，并且()Fxf，则 ()badF，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常把 ()a记作 |baF，即()|bbaafdx。五、常见求定积分的公式1. 1|()bnnbaaxx2. |bacd（c 为常数）3. sios|bbaa4. inx5. 1l|(0)bbaad6. |xxe7. |(1)lnbbaa且知识点一：计算常见函数的定积分例 1 求下列定积分（1） 320xd（2） 0sinxd（3） 201dx3思路分析：根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为 2x， sin， 1x的函
5、数即可，这就要求对基本求导公式非常熟悉。解题过程：（1） 321()x323300| 9xd（2） (cos)in00in|cos02x（3） 2211l|llnd解题后反思：简单的定积分计算熟记公式即可。例 2 计算： 20sinxd思路分析：直接求 的原函数比较困难，但我们可以将 2sinx先变化为1cos1cos2xx，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行。解题过程： 2222200000011sin cos|sin|ddxxdx1sini44解题后反思：较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分。例 3 用定
6、积分的几何意义求值：（1） 22xd；（2） 102dx)(思路分析：（1）根据定积分的几何意义，利用平面几何知识可得面积；（2）可利用定积分的几何意义及公式一起解决。解题过程：（1） 22dx表示半圆 y 2x的面积，利用平面几何知识可得面积为 ， 2 。（2） 10dx)( 10102dx)(，前者被积函数 y)x(（0x1）恰是一个位于 x 轴上方的半圆，其面积为 2，而后者可用公式求得为 2，故 102)( 。解题后反思：根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积。4例 4 已知 120()(124),()3xaftdtFafxad，求函数
7、 ()Fa的最小值。思路分析：这里函数 f、 都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出 ()fx与 F，再用导数求法求出 ()的最小值。解题过程： (124)xatdt2 2264|664xat axa100()()3)f3212| 12()a当 时， ()Fa最小1解题后反思：这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数 a混合在一起的综合题，重点是要分清各变量间的关系。积分、导数、函数单调性，最值、解析式交汇出题是近几年高考的命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。知识点二：定积分的应用例 5 求在 0,2上，由 x轴及正弦曲线 sinyx围成的图形的面积。思
8、路分析：因为在 ,上， sin0，其图象在 轴上方；在 0,2上，sinx，其图象在 轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才能表示面积。解题过程：作出 iyx在 ,2上的图象如图所示， sinyx与 轴交于0、 、 2，所求面积 20 0sn|si|(co)|(c)|4Sdx解题后反思：利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形的交点坐标，确定积分的上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形的面积例 6 汽车以每小时 54 千米的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度 3米/秒
9、刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少千米？思路分析：汽车的刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动的变化式。解题过程：由题意， 054v千米/时15 米/秒0()13vtatt，令 ()0t得 153t0，t5，即 5 秒时，汽车停车。5所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 552500 03()(13)()|7.()0.375svtdtdt 米千米答：汽车走了 0.0375 千米。解题后反思：若做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为 ()0)vt，由定积分的物理意义可知，做变速运动的物体在 ,ab时间内
10、的路程 s 是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程 ()basvtd；如果 ()0)vtt，则路程 batd。如图，过抛物线 C：y3x 2（x0）上一点 A（t，3t 2）的切线为 l（0t1） ，S 1是抛物线 C 与切线 l 及直线 x1 所围成的图形面积；S 2是抛物线 C 与切线 l 及直线 x0 所围成的图形面积。（1）求切线 l 的方程；（2）用 t 表示 S1和 S2；（3）若 27 S2S 1，求 t 的值。常见错误：不能将有关知识点有效整合。对策：切线的斜率即是函数在点 A 处的导数值，再由定积分式算出 S1与 S2并用 t 表示，最后是代入方程中求出 t 的值。正解：（1）
11、y6x，故在 A 点处的导数值为 6t，此时切线的方程为：y3t 26t（xt） ，整理得 y6tx3t 2（0t1）（2）S 2 dx)t36(to22（x 33tx 23t 2x）| t0t 3， （0t1） ；S1 t3t （x 33tx 23t 2x）| 1t13t3t 2t 3（1t） 3 ， （0t1） 。（3）27 S 2S 127 （1t） 3t 3t 4。反思：本题考查了导数与定积分的几何意义，是一道不错的综合题，复习时应注意定积分的知识与其他知识的结合点。61. 定积分 ()bafxd是一个常数。2. 用定义求定积分的一般方法是：（1）分割：n 等分区间a，b；（2z）近似
12、代替：取点 1,iix；（3）求和：()iibf；（4）取极限： ()bafxd1lim()nibaf3. 利用微积分基本定理（即牛顿莱布尼兹公式）求定积分，关键是找到满足F（x）f（x）的函数 F（x） ，即找被积函数 f（x）的原函数 F（x） ，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出 F（x） 。4. 利用定积分求曲边梯形的面积，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上、下限。5. 几种典型的曲边梯形的计算方法：（1）由三条直线 xa，xb（ab） ， x 轴和曲线 yf（x） （f（x） 0）围成的曲边梯形的面积 S ()fd（如图）（2）由三条直线 xa，xb（ab） ， x 轴和曲线 yf（x） （f（x） ）围成的曲边梯形的面积 S |()baffd（如图）（3）由两条直线 xa，xb（ab）和两条曲线 yf（x） ，yg（x） （f（x）()gx）围成的曲边梯形的面积 S ()bafxg（如图）6. 借用定积分的求法与意义，可与其他知识结合，比如可与导数，解析几何，二次函数等知识内容构成综合题。下一讲开始新一章的学习推理和证明。请大家阅读课本思考：1. 合情推理与演绎推理的特点分别是什么？2. 如何运用它们进行简单的推理呢？
