1、页 1 第2018 届广东省蕉岭县蕉岭中学高三 10 月月考理科数学试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 1,01AaBx,若 AB,则实数 a的取值范围是( )A. B. (,) C. (,0)D. 1, 2.“ 0a”是“复数 iz在复平面内对应的点在第三象限”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.函数 ),2|,0(),sin()( Rxxxf 的部分图象如上图所示，则 )(xf的解析式为（ ）A 48 B )48sin(f C )si()(xxf D
2、 )xx 4.执行如图所示的程序框图，如果输出 94S，则输入的 （ ）A 3 B 4 C. 5 D 65函数 dtxeg213)(的零点所在的区间是( )A(3，1) B(1,1) C(1,2) D(2,3)6设 z=4x2y中变量 x，y 满足条件 ，则 z 的最小值为（ ）A2 B4 C8 D167一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A1+ B1+2 C2+ D23 2 3 28.已知函数 1 ,2)(xabxf ,其中 ba,是常数,若对 ,Rx都有 1ff,则 ( ) A. 6 B. 3 C. D. 310页 2 第9. 已知点 0,1A是抛物线 2:0Cxpy准线
3、上的一点，点 F 是抛物线 C 的焦点，点 P 在抛物线C 上且满足 PFm，当 m 取最小值时，点 P 恰好在以原点为中心，F 为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为A 2 B 3 C. 21 D. 3110.“中国剩余定理”又称“孙子定理” 1852 年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲 1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2017 这 2016 个数中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数
4、按由小到大的顺序排成一列，构成数列 na，则此数列的项数为( )A.120 B. 134 C. 128 D. 14011三棱柱 ABCA 1B1C1的侧棱与底面垂直，AA 1=AB=AC=1，ABAC，N 是 BC 的中点，点 P 在 A1B1上，且满足|A 1P|=|A 1B1|，直线 PN 与平面 ABC 所成角 的正切值取最大值时 的值为（ ）A B C D12.已知定义在 R 上的函数 )(xf满足 ()ffx，且当 ,0时， )(xff0成立，若2ln),2(1.0.bfa， 221log(l),8c则 abc的大小关系是（ ）A c B a C c D b二、填空题（每题 5 分，
5、满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 10()xy的展开式中， 73xy的系数与 37xy的系数之和等于 14在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 ， , 则 = 15已知函数 sinfxxR，当,42时， (sin)(1)0fafa恒成立，则实数a的取值范围是 16. 设函数 yf的定义域为 D，若对于任意 1212,xDx、 当 时，恒有 12fxfb，则称点 ,b为函数 fx图象的对称中心研究函数 sinf的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 340332017017217fffff的值为 页 3 第三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、
6、证明过程或演算步骤 ） 17(本小题满分 12 分）在 ABC中，角 ， , 的对边分别是 a， b， c，其面积为 S，且 Sacb3422.（1）求 ； （2）若 5， 5cosB,求 c.18(本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 EABCD的底面为菱形，且 60ABC，2ABEC， 2BE（1）求证：平面 A平面 .（2）求二面角 D的余弦值.19(本小题满分 12 分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图规定：成绩不低于 120 分时为优秀成绩(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据
7、，求其中只有一 个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取 2 名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为 ，求 的分布列和数学期望 E20(本小题满分 12 分）已知椭圆 C：页 4 第21(0)xyab的离心率为 12，且过点 (3,)， A， B是椭圆 C上异于长轴端点的两点（1）求椭圆 C的方程；（2）已知直线 l： 8x，且 1Al，垂足为 1， l，垂足为 1，若 (3,0)D，且 1AB的面积 是 ABD面积的 5 倍，求 BD面积的最大值21 (本小题满分 12 分）已知函数 axxf 2)1ln()（ 为常数， 0a）.（1）若 2x是函数 )(xf的一个极值点，求 a
8、的值； （2）求证：当 0a时， f在 ),2上是增函数； （3）若对任意的 ),1(，总存在 10x，使不等式 )1()20amxf成立，求实数 m的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分23.（本题满分 10 分）在直角坐标系 xOy中，设倾斜角为 的直线： 2cos3inxty（t 为参数）与曲线 2cos:inxCy（ 为参数）相交于不同的两点 AB， （1）若 3，求线段 AB的长度；（2）若直线的斜率为 54，且有已知点 (23)P,，求 2|PABO24. （本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 |1|fxxa (1)（1
9、）若不等式 2的解集为 5|2或 x，求 a的值；（2） ,|1|xRfx，求实数 a的取值范围蕉岭中学 20172018 学年度高三第二次质检考试数学（理科）参考答案页 5 第一、选择题 1-5:CBABC 6-10: CCDCB 11、12：AB二、填空题 13 240 14 15 ,216 403三、解答题17.18 （1）证明：取 AB的中点 O，连接 E， C2AE， E为等腰直角三角形 OAB， 1E又 C， 60， AB是等边三角形. 3O， ， 22 E平面 ABD，又 EO平面 ，平面 E平面 ABCD4 分（2）解：以 的中点 为坐标原点， B所在直线为 y轴， O所在直线
10、为 z轴，如图建系则 0,1， 3,0C， 3,20， ,1 )0,13(，),(E， ),(设平面 DCE的法向量为 ,yxn，则 0nDCur，即 3102xy，8 分 解得：30y，)1,03(页 6 第同理求得平面 EAC的一个法向量为 )1,3(m27cos,mnur所以二面角 AECD的余弦值为 27.12 分19. 解：(1)设事件 A 表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，其中只有一个优秀成绩” 1235p 3 分（2） 的所有可能取值为 0，1，2，3 4 分23458905Cp， 2112343458105Cp12324451021458 分的分布列为0 1 2
11、 3p952531012510 分的数学期望为 160225E 12 分20解：（1）依题意 22,13,cabc解得4,3,ab故椭圆 C的方程为216xy4 分（2）设直线 AB与 x轴相交于点 (,0)Rr1|3|2ABDABSry， 115|2ADABSy，由于 15DS且 1|AByy，得 |3|r， 4（舍去）或 r，即直线 经过点 (2,0)F，6 分设 1(,)Axy， 2(,)， 的直线方程为： xmy，由 2348,m即 234130y， 1234， 12364ym，页 7 第212112|()4ABDSyyy21(34)m213()，8 分令 tm，所以 23ABDtSt
12、，9 分因为13()tt，所以 1t在 ,)上单调递增，所以在 1,)t上单调递增，所以 4t，所以 ABDS（当且仅当 21tm，即 0时“ ”成立） ，故 ABDS的最大值为 312 分21解：21()12() ,()1axafx xax1 分（1）由已知，得 1()02f即2a，2,.aa经检验， 满足条件.-3 分 （2）当 0时，221(2)10,aa1,a当 x时， 0.又 x， (),fx故 ()fx在 ,)2上是增函数. 7 分（3）当 (1,时，由（2）知， ()fx在 1,2上的最大值为 1()ln),2fa于是问题等价于：对任意的 ,a，不等式 ln()10am恒成立.记
13、 2()ln)1(1),)2gama则 ,a 当 0时，有 2(1)2(1)0aa，且0,()1ga在区间（1，2）上递减，且 (1)g，则 m不可能使 0g恒成立，故必有 .m当 m，且 (.2ma若 12，可知 )g在区间 1,in2,1)D上递减，在此区间 D上有 ()10ga，与()0ga恒成立矛盾，故 2，这时 ()0ga，即 (ga在（1，2）上递增，恒有 ()满足题设要求. 01m，即 14，页 8 第所以，实数 m的取值范围为 1,)4.-12 分22 【解析】 （1）由曲线 2cos.(1):inxCy得 C的普通方程是214xy当 3时，直线方程为23xty（t 为参数）
14、，代入曲线 的普通方程2xy，得 256480t，则线段 AB的长度为 221211564810|()4()33ABttt 5 分（2）将 cos3inxyt代入曲线 C的普通方程 21xy，得 2(cos4)(8si4cos)10t，因为222122(csin)(1tan)|in44PABt ，而直线的斜率为 54则 5tan4代入上式求得 |7PAB 已知点 (23)P,，所以 22+3=7OP,所以 2|OP 10 分23 【解析】 （1） 1|1|,2xafx，xa时， 2得 35a, 1x时， 12xa得 12ax综上得： 5 分（2） 由 ,|1|Rfx可得 2|当 xa时，只要 32a恒成立即可，此时只要 33212aa；当 1时，只要 1x恒成立即可，此时只要 +；当 时，只要 恒成立即可，此时只要 ，综上 2,a 10 分
