1、2017 届重庆市南开中学高三 10 月月考数学（文）试题一、单选题1设 ，则 =A 4 B 2 C 0 D 【答案】A【解析】【分析】先求导，再代 x=1 求值.【详解】由题得 .故答案为：A【点睛】本题主要考查考查求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.2己知 ， ，则A B C D 【答案】C【解析】【分析】由函数的定义域和值域的定义，化简集合 A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合【详解】=x|x1，=x|x11=x|x2，则 AB=x|x2=2，+）故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查函数的定义域和值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析
2、推理计算能力.(2) 解答集合的问题，先要看“|”前的元素的一般形式， ，由于“|”前是 y,所以集合表示的是函数的值域. 集合由于“|”前是 x,所以集合表示的是函数的定义域.3命题“对 ，都有 ”的否定为A 对 ，都有B 在 R 上的最小值小于 在 R 上的最大值C 使得D 使得【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，直接写出即可.【详解】由于全称命题的否定为特称命题，所以“对 ，都有 ”的否定为“ 使得 ”，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题 ： ，全称命题 的否定（ ）： .特称命题 ,特称命
3、题的否定 ,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.4已知函数 ，则 =A 2 B 4 C 6 D 8【答案】C【解析】【分析】利用分段函数以及函数的解析式，直接求解函数值即可【详解】函数 ，则 f（3）=2+f（3+2）=2+f（1）=2+2+f（1+2）=4+f（1）=4+2=6故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)分段函数求值的关键是确定自变量在分段函数的哪一段.5已知函数 且曲线 在 处的切线为 ，则曲线 在处的切线的斜率为A 2 B 4 C 6 D 8【答案】B【解析】【分析】先根据曲线 y=g（x
4、）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 y=2x+1，可得 g（1）=2，再利用函数 f（x）=g（x）+2x，可知 f（x）=g（x）+2，从而求出 f（1） ，即可得到所求切线的斜率【详解】曲线 y=g（x）在点（1，g（1 ） ）处的切线方程为 y=2x+1，g（1）=2，函数 f（x）=g（x）+2x，f（x）=g（x）+2，f（1）=g（1）+2，f（1）=2+2=4，即曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线的斜率为 4故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜
5、率，相应的切线方程是 .6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知该三棱锥的底面三角形的底边为 1，高为 1，三棱锥的高为 1【详解】由三视图可知：该三棱锥的底面三角形的底边为 1，高为 1，三棱锥的高为 1该三棱锥的体积 V= 故答案为:A 【点睛】(1)本题主要考查三视图找几何体原图,考查几何体体积的计算 ,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法.(3)模型法第一步：画出一个长方体或正方体或其他几何体；第二步：补点；第三步：结合三视图排除某些点；第四步
6、：确定那些排除的点附近的点是否是几何体的顶点；第五步：结合实线虚线和确定的点找到几何体的顶点，从而找到符合三视图的原图.7已知函数 对任意 满足 ，且当 时， ，设 ， ，则A B C D 【答案】D【解析】【分析】由 得函数图像的对称轴为 x=，又函数当 时， ，是一个增函数，所以函数在（，+）是减函数，再数形结合分析得解.【详解】由 得函数图像的对称轴为 x=，又函数当 时， ，是一个增函数，所以函数在（，+）是减函数.因为 ，所以 ，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查函数图像的对称性和单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是分析出函数图像
7、的对称性和单调性.8函数 的部分图象大致为A B C D 【答案】B【解析】【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到 f（x）为偶函数，再根据极限可得当 x ，即得解【详解】函数的定义域为（，0）（0，+），f（x）= =f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于 y 轴对称， ，根据极限可得当 x ，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证.9已知函数 若 ，则 的取值范围是A B C D 【答案】A【解析】【分析】根据 f（x）的对称性可知 a+b=1 且 ，从而得出 a2+
8、b2 关于 a 的二次函数，根据单调性得出答案【详解】，f（x）的定义域为（0，1） ，且 f（x）在（0，1）上单调递减f（ ）+f（ ）=ln（ ）+ln（ ）=ln1=0f（x）的图象关于点（ ，0）对称f（a）+f（b）=0（ab），b=1a，a（0， ），a2+b2=a2+（1a）2=2a22a+1=2（a ）2+ y=2（a ）2+ 在（0， ）单调递减， a 2+b21故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查函数图像的对称性和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键分析可以得到 f（x）的图象关于点（ ，0）对称10己知 ，
9、 ，则 =A B C D 【答案】D【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式求得 lg2 及 lg3 的值，再由对数的运算性质求得 lg6【详解】log23=a，log35=b，解得lg6= 故答案为：D【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.11已知函数 ，则关于 的方程 的解个数不可能为A 3 B 4 C 5 D 6【答案】A【解析】【分析】令 t=x2+x，求出 t 的范围为 ，+），作出 f（t）在 ， +）上的函数图象，根据图象与一元二次解的情况判断各种情况【详解】令 t=x2+x=（x+ ）2 ，则 t ，作出 f（t）在 ，+）上的函数图
10、象如图所示：由图象可知（1）当 4alog 27+3 或 a6 时，f （t）=a 有 2 解，而 x2+x=t 有 2 解，故而 f（x2+x）=a 有 4 解（2）当 log27+3a6 时，f（t ）=a 有 3 解，而 x2+x=t 有 2 解，故而 f（x2+x）=a 有 6 解（3）当 a=log27+3 时，f（t）=a 有 3 解，不妨设为 t1，t2，t3，且 t1t 2t 3，则 t1= ，而x2+x=t1 只有一解， x2+x=ti（i=2，3）各有 2 解，故而 f（x2+x）=a 有 5 解故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查换元法和零点问题，意在考查学生对这些知识
11、的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有三点，其一是换元，其二是准确画出函数 f（t）在 ，+）上的函数图象，其三是数形结合和方程分析得到零点的个数.12设函数 ，若有且仅有一个正实数 ，使得 对任意的正实数 都成立，则 =A B 1 C 2 D 3【答案】D【解析】【分析】构造函数 g（m）=4mx02 ，判断 g（m）的单调性，求出 g（m）的极大值点 ，从而有 =16【详解】令 g（m）=4mx02 ，则 g（m）=4x03 ，令 g（m）=0，则 m= ，当 m 时，g（m）0，当 m 时，g（m ）0，g（ ）为函数 g（m）=3mx02 的最大值若有且仅有一个正实数 x0，
12、使得 h16（x0）hm（x0）对任意的正实数 m 都成立，则 g（16）为 g（m）的唯一最大值， =16，又x 0 为正实数，故 x0=3故答案为：D【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中构造以 m 为自变量的新函数，并分析函数的单调性，进而将已知转化为 =16 解答的关键二、填空题13若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为 _【答案】【解析】【分析】将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式，求出 a 的范围【详解】“axa+2”是“x 3” 的充分不必要条件x|axa+2 x|x3a3，故答案为：3，+）【点睛】本题考查利用集合
13、关系来判断条件关系当 AB 时，A 是 B 的充分条件；当 AB 时，A 是 B 的充分不必要条件；当 A=B 时，A 是 B 的充要条件14设实数 满足 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求 的最值，再利用导数求函数的取值范围得解.【详解】由实数 x，y 满足 ，得到可行域如图：由图象得到 的范围为k OB，kOA，A（1，1），B（ ，）即 ，1， 1，7， 1， 所以则 ，设 =t,则 函数单调递增，所以 ，故答案为：【点睛】(1)本题主要考查线性规划，考查导数求函数的单调性和换元法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
14、(2)解答本题的关键有两点，其一是数形结合求出 的范围，其二是利用导数求函数的单调性.15己知直三棱柱 的各顶点都在球 的球面上，且 , ，若球 的体积为 ，则这个直三棱柱的体积等于_【答案】【解析】【分析】根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心 O 是ABC 和A 1B1C1 的外心连线段的中点，连接 OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C在ABC 中利用正、余弦定理算出 O1A=，由球 O 的体积算出 OA=2，然后在 RtO1OA 中，用勾股定理算出 O1O= ，得三棱柱的高 O1O2=2 ，最后算出底面积 SABC=2，可得此直三棱柱的体积【详解】设ABC 和A 1B1C1 的外心分
15、别为 O1、O2，连接 O1O2，可得外接球的球心 O 为 O1O2 的中点，连接 OA、OB、OC、O1A、O1B、O1CABC 中，cosA= =0，A（0，），A= ，根据正弦定理，得ABC 外接圆半径 O1A= =球 O 的体积为 V= ，OA=R=2，RtO1OA 中， O1O= = ，可得 O1O2=2O1O=2 ，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面积 SABC= ABACsin =2，直三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 SABCO1O2=4 故答案为：4【点睛】本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的
16、对称性等知识16若过点 可作曲线 的切线恰有两条，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】求出 f（x）的导数，设切点（ x0，f（x0） ） ，求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x03（3+3a）x02+6ax0+b=0（）由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根令 u（x）=2x3（3+3a）x2+6ax+b，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为 0，可得 3a+b=1，运用乘 1 法和基本不等式，计算即可得到所求最小值【详解】f（x）=3x26x，过点 P（a，b）作曲线的切线，设切点（x 0，f（x0） ） ，则切线方程为：yb=（3x 026x0）（xa），将（x 0，f（x0）
17、 ）代入得：f（x 0）=（3x026x0）（x0a）+b=x033x02，即 2x03（3+3a）x02+6ax0+b=0（） 由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根令 u（x）=2x3（3+3a）x2+6ax+b，u（x）=6x2（6+6a）x+6a=6（xa）（x1），可得 u（1）=0 或 u（a）=0，即有 3a+b=1 或 b=a33a2（舍去） ，则 =（3a+b）（ ）=4+ +4+2 =4+2 ，当且仅当 b= a= 时，取得等号即有 的最小值为 4+2 ，故答案为：4+2【点睛】（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1 法），考查转化思
18、想和化简整理的运算能力 （2）本题的解题关键是常量代换，即把化成 =（3a+b）（ ），再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等” ，三个条件缺一不可.三、解答题17设函数（1）求 的单调区间；（2）求函数 在区间 上的最小值。【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值.【详解】（1）定义域为 ， ，由 得 ， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2） ，由 得 ， 在 上单调递减，在（1，2）上单调递增， 的最小值为 .【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数单
19、调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间：求函数的定义域 求导 解不等式 0 得解集 求 ,得函数的单调递增（减）区间.18已知函数 ， ， ，其中 ，（1）求（2）若 且 ，求 的取值范围【答案】 （1）4；（2）【解析】【分析】（1）根据 ， 求出 a 和 b 的值，即得 a+b 的值.(2)解不等式且 即得 x 的取值范围.【详解】（1）由题得 ，得 或 1， （舍去）或 2， ，即 ， ， ；（2） ，因此，的取值范围是（0，1）.【点睛】本题主要考查对数方程和解对数不等式，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分
20、析推理能力.19如图在四棱锥 中，底面 是等腰梯形，且 平面 ， ， 平行四边形 的四个顶点分别在棱的中点（1 ）求证：四边形 是矩形；（2 ）求四棱锥 的体积【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证明四边形 是平行四边形，再证明 QMMN，即证四边形 TQMN 是矩形.(2)利用体积变换 求四棱锥 的体积.【详解】（1）MN 平行且相等于 ，TQ 也平行且相等于 ，TQMN 为平行四边形又 ABCD 是等腰梯形，AB=AD=CD=1，BAD=ADC=120ABCDCB60，作 AEBC，DFBC，则 , ,EF=AD=1，所以 BC=BE+EF+FC=2，BN=NC=1,AB
21、N 为正三角形，又M 为 AB 中点，NMABPA平面 ABCD，所以 MQ 在面 ABCD 的投影为 MA，QMMN平面四边形 TQMN 是矩形.（2）【点睛】(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体的体积常用的有公式法、割补法和体积变换法.20已知椭圆 C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ， .（1 ）求椭圆 C 的方程;（2 ）设椭圆 C 在 A、B 两点的切线分别为 、 ，P 为椭圆 C 上任意一点，点 P 到直线、 的距离分别为 、 ，证明：存在直线 ，使得点 P 到 的距离 d（其中）满
22、足 恒为定值，并求出这一定值【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆经过两点 ， 求出椭圆的方程.(2)先求出 ， ，再计算 为定值得到 m 的值，得到直线的方程.【详解】（1）由题得椭圆的焦点在 x 轴上，由题得 a=2,b=1,所以椭圆 C： .（2） ： ， ：设 ， ，则 ， ， ，当，即 m=1 时， 为定值此时直线 l： .【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出后分析推理出 m 的值.21设函数（1 ）若 ，讨论函数 的单调性并求极值；
23、（2 ）若 在 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间和极值.(2)先求导 ，再对 a 分类讨论证明 f(x)的最小值大于零,即得实数 a 的取值范围.【详解】（1）若 ， ， ， ，（0，1） 1- 0 +单调递减 极小值 单调递增极小值为（2）函数 ， ， ，方程 ，且两根之积为 .所以 有一正一负两个不同实根，注意到 ，令当 时， 图像开口向上，若 ，即 时， ，所以 ， 单调递减， ，成立.若 ，即 时，则 ，则 ， ，所以 ， 单调递增， ，不成立.a0 时， 图像开口向下， ，所以 ，所以 ， 单调递增， ，不成立.
24、综上所述：【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数研究恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出 后对 a 分类讨论求函数的最小值.22在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 、直线 的参数方程为 （t 为参数）设直线 与圆 C 交于 A，B 两点，点 P 的直角坐际为 （1 ）求直线 与圆 C 的直角坐标方程；（2 ）求 的值【答案】 （1） ， ；（2）4【解析】【分析】(1)直接消参得到直线 l 的直角坐标方程，代极坐标公式把圆 C 的极坐标方程化成直角坐标方程.(2
25、) 记圆心 C（1，0） ，半径 r1，过 C 作 于点 M，再化简得解.【详解】（1）由题圆 C： ，即 ， ，l： 消去参数 t 得 l： ；（2）记圆心 C（1，0） ，半径 r1，过 C 作 于点 M，M 为 AB 中点，设 ， .【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查直线参数方程 t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.（2）本题的第 2 问也可以利用直线参数方程 t 的几何意义解答.23设 ， .（1 ）若 的最大值为 ，解关于 的不等式 ；（2 ）若存在实数 使关于 的方程 有解，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)先求出 f(x)的最大值 m=2,再利用零点分类讨论法解不等式 2.(2)由题得解不等式得解.【详解】（1）由 ，最大值为 .即解不等式 ，所以不等式的解集为 ；（2） ，若存在实数 y 使关于 x 的方程 有解，则必须满足 ，即 ，y 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查零点分类讨论法解绝对值不等式，考查方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
