1、第 1 页 共 17 页2019 届重庆市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 则 （ ）A B C D 【答案】D【解析】化简集合 ，根据并集运算即可.【详解】因为 ， ，所以 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2等比数列 中，若 ，则 （ ）A 6 B C 12 D 18【答案】A【解析】根据等比数列可知， ，所以 ，故 可求出.【详解】因为 ，所以 ，故 ，所以选 A.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.3计算 的结果是（ ）A B C D 【答案】B【解析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】第 2 页 共 1
2、7 页因为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，属于中档题.4下列函数为奇函数的是（ ）A B C D 【答案】D【解析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【详解】A 选项中 故不是奇函数， B 选项中 故不是奇函数, C 选项中故不是奇函数, D 选项中 ，是奇函数，故选 D.【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.5已知非零向量 的夹角为 ，且 则 （ ）A B C D 【答案】B【解析】根据数量积的性质， ，展开计算即可. 【详解】因为 ，所以选 B.【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，属于中档题.6圆 半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆
3、的方程为（ ）A B C D 【答案】C第 3 页 共 17 页【解析】设圆心为 ，则圆心到直线的距离 ，可解出圆心，即可写出圆的方程.【详解】设圆心为 ,因为圆与直线 相切，所以圆心到直线距离等半径，即，解得 ，所以圆的方程为 ，即 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了直线和圆的相切，属于中档题.7过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线，与抛物线在第一象限内交于点 ，若 ，则 （ ）A 4 B 2 C 1 D 【答案】B【解析】设 A ，根据抛物线的定义知 ，又 ，联立即可求出 p.【详解】设 A ，根据抛物线的定义知 ,又 ，联立解得 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属
4、于中档题.8已知双曲线 过点 且其渐近线方程为 ， 的顶点 恰为 的两焦点，顶点 在 上且 ，则 （ ）第 4 页 共 17 页A B C D 【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 ，由过点 ，可得双曲线方程，利用正弦定理可知 ,根据双曲线方程即可求出.【详解】设双曲线方程为 ，因为过点 ，代入得 ，即双曲线方程为 ，故 ，由正弦定理可知 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和简单性质以及正弦定理，属于中档题.9若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】令 得出 ，在同一坐标系内画出 和 ，利用图象求出曲线过原点的切线方
5、程，即可求出.【详解】函数 ，其中 ，令 得出 ，在同一坐标系内画出 和 的图象，如图所示：第 5 页 共 17 页设曲线 上点 ，则 ，所以过点 P 的切线方程为 ，因为直线过原点，所以 ，解得 ，所以切线斜率为 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了函数零点的应用问题，也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题，属于中档题.10已知 ， 的导函数 的部分图象如图所示，则下列对 的说法正确的是（ ）A 最大值为 且关于点 中心对称B 最小值为 且在 上单调递减C 最大值为 且关于直线 对称D 最小值为 且在 上的值域为【答案】D【解析】根据函数图象与性质，求出 A、T、
6、与 的值，写出函数 的解析式，判断选项即可.【详解】,由图象可知 , , ，所以 ，又又 ，所以 ，所以 ，最小值为 ，第 6 页 共 17 页，则 ，所以在 上的值域为 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用，属于中档题 .11已知双曲线 的右顶点为 , 以 为圆心的圆与双曲线 的某一条渐近线交于两点 .若 ,且 （其中 为原点） ，则双曲线 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】双曲线一条渐近线为 ，求出 Q 坐标，得 PQ 的中点坐标，由两直线垂直可得 ，应用圆的弦长公式计算即可得 的关系，即可求出离心率.【详解】设双曲线一条渐近线为
7、 ，由 ，可得 Q ,圆的半径为 ，PQ 的中点为 H ，由 可得 解得 ，第 7 页 共 17 页A 到渐近线的距离为 ，则 ，即 ，即有 ， 可得 ， ，故选 A.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，注意应用中点坐标公式和直线垂直斜率之积为以及圆的弦长公式，属于中档题.12已知 的内角 满足 ，且 的面积等于 ，则 外接圆面积等于（ ）A B C D 【答案】C【解析】化简条件可得 ,化简可得 ,由正弦定理可得：,根据面积公式 ,代入可知 ，即可求出 R.【详解】由三角形内角和定理可得： ，即 ，即 ，所以 ，由正弦定理可得： ，根据面积公式第 8 页 共 17 页可得： ，即 ，所
8、以 ，外接圆面积 ,故选 C.【点睛】本题主要考查了三角函数的和差化积公式，三角恒等变换，正弦定理，三角形面积公式，属于中档题.二、填空题13直线 的倾斜角为_；【答案】【解析】把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角.【详解】由 可得： ，所以斜率 ，即 ，所以倾斜角为 ，故填 .【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于中档题.14已知 是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点且满足，则 的值为_；【答案】36【解析】根据椭圆的定义知 , ,再由余弦定理可得 ，即可解出.【详解】由椭圆定义可知 ，且 ，第 9 页 共 17 页根据余弦定理得： ，所以 解得 ，故填 36.【点
9、睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆方程，余弦定理，属于中档题 .15数列 满足 前 项和为 ，且 ，则 的通项公式_；【答案】【解析】根据递推关系式 可得 ，两式相减得：，即 ，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式.【详解】因为所以两式相减得：即所以 从第二项起是等比数列，又 ，所以故 ，又所以 .【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题 .第 10 页 共 17 页16已知函数 满足 ，且对任意 恒有 ，则_【答案】【解析】根据 可归纳出函数为周期函数，利用周期函数的性质求解即可.【详解】令 ,可得 ，所以 令 ，可得 ，所以 令 ，可得 ，所以
10、 令 ，可得 ，所以 令 ， 可得 ，所以 令 ，可得 ，所以 令 ， 所以 故函数是 6 为周期的周期函数所以 ， .【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性，属于中档题.三、解答题17在 中，角 所对的边分别为 ，且 .第 11 页 共 17 页（）证明： 成等比数列；（）若 ，且 ，求 的周长.【答案】(1)见解析；（2） 的周长为 .【解析】（1）根据正弦定理可得 ，化简得 ，由正弦定理即证（2）由条件可得 利用余弦定理及 于即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理得： 所以 成等比数列(2)由 由余弦定理得： ，又 ，所以 于是得：所以 的周长为 .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦
11、定理的应用，属于中档题.18已知数列 满足 ，数列 满足 ，且 .（）求 及 ；（）令 ，求数列 的前 项和 【答案】 （1） ；（2） .【解析】（1）根据题意判断 等差数列， 等比数列，联立方程即可求解（2）根据数列通项公式，可用错位相减法求和即可.第 12 页 共 17 页【详解】（1）由题意可得 为等差数列， 为等比数列，设 的公差为 ，则 由题意可得： 于是 ，而 ，（2）由题意： ，由错位相减法，得：两式相减，得：于是：【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，错位相减法求和，属于中档题.19如图 1，在直角 中， ， 分别为 的中点，连结 并延长交 于点 ，将 沿
12、 折起，使平面 平面 ，如图 2 所示（）求证： ；（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】（1）根据条件证明 平面 即可（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计第 13 页 共 17 页算二面角余弦值即可.【详解】（1）证明：由条件可知 ，而 为 的中点， ， 又面 面 ，面 面 ，且 ， 平面又因为 平面 ， （2）由（1）可知， 两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则： 易知面 的法向量为 ， 设平面 的法向量为 ，则： ，易得 设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，属
13、于中档题 .20已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 为抛物线的焦点， 的准线被椭圆 和圆 截得的弦长分别为 和 .（）求 和 的方程；（）已知动直线 与抛物线 相切（切点异于原点） ，且 与椭圆 相交于 两点，若椭圆 上存在点 ，使得 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】（1）根据题意 ， ，即可求出方程（2）设出直线，联立直线与椭圆、抛物线方程，运用韦达定理及向量运算即可求解.【详解】第 14 页 共 17 页（1）由题得 ，故 （2）由题知 存在斜率且不为 0，设 联立，因为 与 相切，故 联立 ，两根为 ，所以 ，又，因此 由 ，由韦达定理，代入计算得 而点
14、在椭圆上，即 ，代入得令 ，则【点睛】本题主要考查了椭圆、抛物线的方程的求法，考查存在性问题的处理方法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题.21已知函数 .（）求 的单调区间；（）若 ，证明： （其中 是自然对数的底数， ） 【答案】(1) 在 上单调递减，在 上也单调递减；(2)见解析.【解析】第 15 页 共 17 页（1）求导后分析导数的分子的正负，构造 ，利用导数可分析 的正负，即可得到函数单调区间（2）因 故 ，因此只需证明，先证明 时的情况，构造 可证明，再证明 时的情况,证明 即可.【详解】（1）定义域 ， 令 ，则 ，所以 在 ，故 时， ，也即
15、 ，因此， 在 上单调递减，在上也单调递减； （2）因 故 ，因此只需证明 （记为 ）先证明 时的情况：此时 ，令 令，故 在 ，故 在 ，于是 在 ，因此， 时 ，即下面证明 时的情况：令 ，故 在 ，于是 时 ，令 ，故 在第 16 页 共 17 页故 时， 即 即 ，证毕；【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，属于难题 .解决不等式的证明问题，主要是构造合适的函数，利用导数研究其单调性，求其最值，分析函数的正负，得到所研究的不等式.22在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，曲线
16、 的极坐标方程为，设直线 与曲线 相交于 两点（）写出直线 和曲线 的直角坐标方程；（）求 的值【答案】(1)见解析；（2）1.【解析】（1）对直线的参数方程消参数 t 即可，曲线 C 根据 转化即可（2）利用参数的几何意义得 ，利用 的意义可得 ，即可求解.【详解】（1） ，曲线 ，即（2）点 的直角坐标为 ，发现 在直线 上且 ，直线 的极坐标方程为联立 的参数方程与 的直角方程得： ，则 联立 及曲线 的极坐标方程得： ，则 ，故所求=1.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义及极径的几何意义，属于中档题.第 17 页 共 17 页23已知函数 （）解不等式 ；（）记函数 的最大值为 ，若 ，证明： 【答案】(1) 解集为 ;(2)见解析.【解析】（1）去绝对值号转化为分段函数即可求解（2）由（1）知 ，根据，构造后利用均值不等式即可.【详解】（1） ，易得 的解集为 .（2）由（1）知 ，于是 因为，移项即得证.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，均值不等式在证明中的应用，属于中档题 .
