1、- 1 -2019 届辽宁省大连渤海高级中学高三上学期期中考试数学（理）试题（word 版）考试时间：120 分钟 试题满分：150 分考察范围：复数 向量 不等式 函数 三角 数列概率 分布列 第卷 选择题（共 60 分）1、如果 ， ， ，那么 （ ）A B C D.2.已知复数 ，则（A） (B) (C) (D) 3.已知 ， ，由此推算：当n2 时，有（ ）A BC D4.设正数 x，y 满足 x+y=1，若不等式 对任意的 x，y 成立，则正实数 a 的取值范围是（ ）Aa4 Ba1 Ca1 Da45.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）A B C D6.已知两个单位向量 的
2、夹角为 ，且满足 ，则实数 的值为（ ）A-2 B2 C D17.函数 = 的图象大致为( )- 2 -A BC D8.已知 ，则 （ ）A B. C D. 9. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，不同的分派方法有（ ） A.150 种 B.180 种 C.200 种 D.280 种 10.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位）.这个
3、问题中，甲所得为（A） 钱 （ B） 钱 （ C） 钱 （D） 钱11、已知函数 的定义域为 ，当 时， ；当 时，；当 时， ，则 ( ) A B C D12、函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 且有，则不等式 的解集为（ ）A B C D- 3 -第卷（共 90 分）13. 数列 前 项和 ，则 .14.函数 的部分图象如图所示，则 .15.已知点 在曲线 上，则曲线在点 处的切线方程为_.16.如果对定义在 上的函数 ，对任意两个不相等的实数 都有，则称函数 为“ 函数”.下列函数 ； ； ；是“ 函数”的所有序号为 _.17.（本小题满分 10 分）已知函数 f(x)Asin(x
4、 )(其中 A0，0,0 Error!)的图象与 x 轴的相交点中，相邻两个交点之间的距离为Error!，且图象上一个最低点为 .（1）求 f(x)的解析式；（2）当 x 时，求 f(x)的值域18. （本小题满分 12 分）已知 分别为 三个内角 的对边， .（1）求 ；（2）若 ，求 的面积.19. （本小题满分 12 分）- 4 -已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， （1）求 的通项公式 和前 项和 ；（2）设 是等比数列，且 ，求数列 的前 n项和 20. （本小题满分 12 分）随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付为了解各年龄层的人使用手机支付的情况
5、，随机调查 50 次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄（岁）15，25 ） 25，35 ） 35，45 ） 45，55 ） 55，65 ） 65，75 ）频数 5 10 15 10 5 5手机支付 4 6 10 6 2 0(1)若从年龄在 55，65）的被调查者中随机选取 2 人进行调查，记选中的 2 人中使用手机支付的人数为 ，求 的分布列及数学期望；(2)把年龄在15，45）称为中青年，年龄在 45，75）称为中老年，请根据上表完 22 列联表，是否有 以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？手机支付 未使用手机支付 总计中青年中老年总计可能用到的公式：独立性检验临界值
6、表：- 5 -21（本小题满分 12 分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.22.（本小题满分 12 分）已知函数 ， .（1）若 与 在 处相切，试求 的表达式；（2）若 在 上是减函数，求实数 的取值范围；（3）证明不等式： .- 6 -高三数学（理科）答案1.A 2.C 3.D 4. C 5.D 6. B 7.B 8.C 9.A 10.B 11.D12.A13. 14.
7、 1 15. 16. 17.解 (1)由最低点为 MError!，得 A2.（2 分）由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为Error!得，Error! Error!，即 T，所以 Error! Error!2.（4 分）由点 M Error!在函数 f(x)的图象上，得 2sinError!2，即 sinError!1.故Error!2kError! ，kZ，所以 2kError!( kZ)又 Error!，所以 Error!，故 f(x)的解析式为 f(x)2sinError! .（6 分）(2)因为 xError!，所以 2xError! Error!.当 2xError!Error!
8、，即 xError!时，f (x)取得最大值 2；当 2xError!Error! ，即 xError!时，f (x)取得最小值1. 故函数 f(x)的值域为1,2 （10 分）18.解：().2 分4 分即 又.6 分().8 分又由题意知 ，当 时等式成立.).10 分- 7 -12 分19. （1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则由 ， ，得 ，解得 ，3 分所以 ，即 ，即 5 分20.（1）年龄在 55，65）的被调查者共 5 人，其中使用手机支付的有 2 人，则抽取的 2 人中使用手机支付的人数 X 可能取值为 0,1,2； ；所以 X 的分布列为X 0 1 2P- 8 -（2
9、）22 列联表如图所示手机支付 未使用手机支付 总计中青年 20 10 30中老年 8 12 20总计 28 22 50没有 以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联21.（ ）设比赛局数分别为 3,4,5 时, 甲获胜分别为事件 ，则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：， , ，.3 分所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为 6 分所以， 的分布列为3 4 5的数学期望 12 分 - 9 -22 解：（1）由已知 且 得： -(2 分)又 -(3 分) （2） 在 上是减函数，在 上恒成立. - (5 分)即 在 上恒成立，由 ，得 -(7 分)（3)由（1）可得：当 时： 得： -(9 分)当 时： 当 时： 当 时： 当 时： ，上述不等式相加得：即： -(12 分- 10 - 11 -
