1、2017 届北京西城八中高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1已知全集 ，若集合 ，则 （ ） A 或 B ，或C D 【答案】A【解析】分析：先解一元二次不等式得集合 A，再根据补集定义得结果.详解：集合 ， 或 ，故选 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2设 为虚数单位，则复数 的模 （ ） A B C D 【答案】B【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解： ， 故选 点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为3下列函数中，在区间 上为增函数的是
2、（ ） A B C D 【答案】A【解析】分析：根据对数函数、幂函数、指数函数以及对勾函数单调性进行判断.详解： 选项， 在 上是增函数，所以在 上为增函数，故 正确；选项， 在 上是减函数，故 错误；选项， 在 上是减函数，故 错误；选项在 和 上是增函数，在 和 上是减函数，故 错误综上，故选 点睛：本题考查对数函数、幂函数、指数函数以及对勾函数单调性等知识点，考查应用知识解决问题的能力.4在数列 中， “对任意的 ， ”是数列 “ 为等比数列” 的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：先举反例说明充分性不成立，
3、再根据等比数列性质证明必要性成立.详解：充分性：若 ，那么数列 满足 ，但是 不是等边数列，故充分性不成立；必要性：若数列 是等比数列，那么根据等比数列的性质可知 成立，故必要性成立所以在数列 中， “对任意 ， ”是数列 为等比数列的必要不充分条件，故选 点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件5将函数 的图像
4、向左平移 个单位后，与函数 的图像重合，则函数（ ） A B C D 【答案】D【解析】分析：根据图像平移即得 解析式.详解：由题意可知 ，故选 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.6已知 为双曲线 的左、右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，顶,ABEMEAB角为 ，则 的离心率为( )120A B 2 C D 532【答案】D【解析】试题分析：依题意可知 ， ，故 ，ABMa13BF2,3Ma代入双曲线标准方程得 ，为等轴双曲线，离心率为 .2431,ab【考点】双曲线离心
5、率.7函数 且 的图象可能为（ ） A B C D 【答案】D【解析】分析：先根据函数奇偶性排除 ， ，再取特殊值排除 ，即得结果.详解： ，函数 为奇函数，函数 的图象关于原点对称，故排除 ， ，又当 时， ，排除 ，故选 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题8某市乘坐出租车
6、的收费办法如下：“不超过 4 千米的里程收费 12 元；超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元”，相应系统收费的程序框图如图所示，其中 （单位：千米）为行驶里程， （单位：元）为所收费用，用 表示不大于 的xyxx最大整数，则图中处应填（ ）A 124yxB 5C 2yxD 1【答案】D【解析】试题分析：由已知该程序的功能是出租车的收费系统，里程不超过 千米收4元，超过毎 千米，按每千米 元收费，小于 千米则不收费，若其大于或等于12420.
7、5千米则按 千米收费,而 的含意就是“小于 千米不收费，大于 千米0.51x.0.5按 千米收费” ，由于当车程超过 千米时，另收燃油附加费 元，因此应选 D.141【考点】程序框图的条件结构流程图.9圆 与 轴相交于 两点，则弦 所对的圆心角的大22:()()8Cxyy,AB小为 【答案】 90【解析】试题分析：由题可知，根据圆的标准方程 ，令22:()()8Cxy，解得 ，因此 , ,在 中，x4,21x)40(,BA|AOB, , ,因此 为直角三角形，即 ,|OB|A|O90A故弦 所对的圆心角的大小为 ；9【考点】圆的标准方程10一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该
8、四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 1 1 正 视 图 侧 视 图俯 视 图 【答案】 ，6347【解析】试题分析：由题可知，由四棱锥的三视图还原成立体图形，即此时的四棱锥底面是边长为 1 的正方形，高为 ，通过棱锥体积公式 ，得出23hsV31；在四棱锥 中，最大的侧面是 ，通过三视623VABCDOOBC图，我们可以得到 ,因此 ,即三角形1ABDOA2OC的面积为 ；OBC4721【考点】柱锥台的表面积与体积二、填空题11抛物线 的焦点坐标为_【答案】【解析】抛物线焦点坐标（-p/2，0 ） ，带入得12已知向量 ， ， ，且 ，则实数 _【答案】【解析】分析：先根据向量加法
9、求 ，再根据向量数量积为零得方程，解得实数值.详解： ， ， ，解得 点睛：(1)向量平行： ， ,(2)向量垂直： ，(3)向量加减乘： 13某堆雪在融化过程中，其体积 （单位： ）与融化时间 （单位： ）近似满足函数关系： （ 为常数） ，其图像如图所示记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 那么 ， ， ， 中，瞬时融化速度等于 的时刻是图中的_【答案】【解析】分析：先求平均融化速度，再观察 ， ， ， 处切线斜率，选最接近平均融化速度的点.详解： ，反映的是 图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知 处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致点睛：本题考查瞬时变化率与平均变化率的概念与区别
10、，考查识别与应用基本概念解决问题的能力.14区域 由不等式组 给定，若 为 上的动点，点 ， 为坐标原点，则 的最大值为_【答案】【解析】分析：先作可行域，再根据向量数量积得 ，视作直线，结合图像可得直线经过点 时 轴上的截距最大，从而 最大详解：由不等式组确定的平面区域如图所示， ，即 ，首先做出直线 ，将直线 平行移动，当经过点 时 轴上的截距最大，从而 最大因为 ，故 的最大值为 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或
11、最小值会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题15已知函数 （）求函数 的定义域和最小正周期（）当 时，求函数 的值域【答案】 （1）定义域为 ，最小正周期 （2）【解析】分析：（1）先根据正切函数定义域得原函数定义域，再根据同角三角函数关系、二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期， （2）根据，确定正弦函数范围，再根据正弦函数性质求值域.详解：解：（）函数 的定义域为 ， 的最小正周期 （） ， ， ， ，故当 时，函数 的值域为 点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观
12、察角、函数名、结构等特征16已知数列 的前 项和 满足 ，其中 （）求证：数列 为等比数列（）设 ，求数列 的前 项和 【答案】(1)见解析（2）【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论， （2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列 的前 项和详解：解：（） ，当 时， ，解得 ；当 时， ，由-得 ， ， ，由 得 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列（）由（）知， ， ，则 的前 项和，点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如） ，周期
13、型 （如 ）17椭圆 的左顶点为 ， 是椭圆上 上异于点 的任意一点，点 与点 关于点 对称（）求点 的坐标和椭圆 的离心率（）若椭圆 上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出 横坐标的取值；若不存在，说明理由【答案】 （1） 点坐标为 ，离心率 （2）不存在【解析】分析：（1）先根据椭圆方程得 ， ， ，再根据左顶点定义以及离心率公式求结果， （2）设 点坐标，由对称得 P 坐标，根据向量数量积为零得，与点 M 在椭圆上，联立方程组解得 无解.详解：解：（）椭圆 ， ， ， ，故 点坐标为 ，离心率 （）在椭圆 上不存在点 ，使 ，理由如下：假设存在点 使 ，设 点 ，则 且 ， ， ，化简得
14、， ，方程无解故在椭圆 上不存在点 ，使得 点睛：研究直线和圆锥曲线的交点个数，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.18某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生” 和 “高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5组：0，10） ， 10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.（I）写出 a 的值；（II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小
15、时的学生人数；（III）从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人，并用 X 表示其中初中生的人数，求 X 的分布列和数学期望.【答案】 （I）.a=0.03.（II）.870 人. （III）所以 X 的分布列为：X 1 2 3P 303510E（X）= . 95【解析】试题分析：（1）根据各矩形面积之和为 ，可求得 的值；（2）先根据直1a方图算出初中生中，阅读时间不小于 个小时的学生频率以及高中生中，阅读时间不30小于 个小时的学生频率，结合总人数可估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3） 的可能取值 ，利用组合知识结合古典概型概率X1,2公式求出各随
16、机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学X期望.试题解析：（I）.a=0.03. （II）由分层抽样，知抽取的初中生有 60 名，高中生有 40 名.因为初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为（ 0.02+0.005）10=0.25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 0.251800=450 人，同理，高中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为（ 0.03+0.005）10=0.35，学生人数约有 0.351200=420 人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有 450+420=870 人.（III
17、）.初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.00510=0.05，样本人数为0.0560=3 人.同理，高中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生样本人数为（ 0.00510）40=2 人.故 X 的可能取值为 l，2，3.则 P（X=1）= ， P（X=2 ）= ，P（X=3）= .1350C2135C3510C所以 X 的分布列为：X 1 2 3P 303510所以 E（X）=1 +2 +3 = . 15919已知函数（）若曲线 在点 处切线的斜率为 ,求函数 的单调区间;（）若函数 在区间 上单调递增,求 的取值范围 .【答案】 （）单调递增区间为 ,单调递减区间为 ；（）
18、 .【解析】试题分析：（）求导，利用导数的几何意义求出 ，再通过研究导函数的符号变化研究函数的单调性；（）将函数 在区间 上单调递增转化为对 恒成立，进一步转化为求函数的最值问题.试题解析：（）因为 所以曲线 经过点 ,又 曲线 在点 处的切线的斜率为 ,所以 所以 .当 变化时, 的变化情况如下表：增 极大值 减 极小值 增所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;（）因为函数 在区间 上单调递增,所以 对 ,只要在 上的最小值大于等于 0 即可.因为函数 的对称轴为当 时, 在 上的最小值为 ,解 ,得 或 所以此种情况不成立；当 时, 在 上的最小值为解 得综上,实数 的取值范围是
19、20已知椭圆 的左、右焦点坐标为别为 ， ，离心率是 椭圆 的左、右顶点分别记为 ， 点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，直线 ， 与直线分别交于 ， 两点（）求椭圆 的方程（）求线段 长度的最小值（）当线段 的长度最小时，在椭圆 上的点 满足： 的面积为 试确定点的个数【答案】 （1） （2） （3）2【解析】分析：（1）先根据焦点坐标得 ，再根据离心率得 a，解得 b,（2）设直线 的方程为 ，解得 S，得直线 的方程，与直线 联立解得 M,N 坐标，即得，最后根据基本不等式求最值， （3）当线段 的长度最小时，求出S，由 的面积得点 到直线 的距离等于 ，与点 T 在椭圆上，联立方程组，根
20、据解的个数确定点 的个数详解：解：（） ，且 ， ， ，椭圆 的方程为 （）易知椭圆 的左、右顶点坐标为 ， ，直线 的斜率 显然存在，且，故可设直线 的方程为 ，从而 由 得 设 ，则 ，得 ，从而 ，即 又 ，故直线 的方程为 ，由 得 ， ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立故当 时，线段 的长度取最小值 （）由（）知，当线段 的长度最小值时， ，此时 的方程为 ， ， ，要使 的面积为 ，只需点 到直线 的距离等于 ，所以点 在平行于 且与 距离等于 的直线 上设 ，则由 ，解得 或 当 时，由 得 ， ，故直线 与椭圆 有两个不同交点当 时，由 得 ， ，故直线 与椭圆 没有交点综上所述，点 的个数为 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 .
